郝 峰,王鵬飛,張 棟

(1.西北工業(yè)大學 航天學院,陜西 西安 710072;2.西北工業(yè)大學 陜西省空天飛行器設計實驗室, 陜西 西安 710072;3.中國兵器工業(yè)第二○三研究所,陜西 西安 710065)

末制導律設計的目的是使導彈在擊中目標時獲得最小脫靶量。此外,為使導彈在命中目標時姿態(tài)最佳,進而使戰(zhàn)斗部發(fā)揮最大效能,取得最佳毀傷效果,往往還需要對目標進行定向打擊,即滿足落角約束[1-7]。如希望反坦克導彈能夠以接近垂直下落的方式命中目標的頂裝甲以獲得最大穿深。文獻[8]利用自適應比例制導律對高超聲速飛行器進行導引,通過改變比例系數(shù)來對靜止目標進行垂直打擊。文獻[9]提出了一種基于偏置比例導引法的帶落角約束打擊地面運動目標的制導律。該制導方案擴大了導彈的捕獲域。然而,當采用該制導方案以尾追方式攻擊目標時,導彈的制導性能會下降。文獻[10]提出了一種間接作用角控制的偏置比例制導律。文獻[11]提出了一種通過調(diào)節(jié)偏置項來滿足終端角度約束以及導引頭視場范圍限制的偏置比例制導律。文獻[12]通過設計偏差反饋項來獲得了一種基于比例導引法的攔截角控制制導律。通過調(diào)整比例導引法中導引系數(shù)的值,文獻[13]分2個階段調(diào)節(jié)比例導引系數(shù),在二維平面內(nèi)分別實現(xiàn)碰撞角約束條件下對固定目標的攻擊。文獻[14]進而又將該制導方案擴展到全向打擊地面運動目標的情況。但這兩種制導方案均需要改變制導模式。由于可能會造成控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定,因而制導指令的突然改變是不可取的。雖然以上研究均包含落角約束打擊靜止目標或運動目標,但其制導方案較難同時實現(xiàn)全向打擊及具有寬松的初始發(fā)射條件。

為了解決該問題,本文提出了一種打擊運動目標的偏置比例制導律。首先,通過導彈與目標的相對運動,將目標視為一個虛擬的靜止目標。進而,可將打擊運動目標問題降階為打擊該虛擬靜止目標的問題。對于飛行軌跡角的約束控制,可間接地通過控制相對飛行軌跡角來實現(xiàn)。通過相對關系以及引入偏置相對比例導引的思想,要求相對飛行軌跡角速率與視線角速率成比例,并利用瞬時變換以及小角度假設對偏置項進行設計以控制約束角。由于所提制導方案進行落角約束時需要獲取剩余時間信息,在本文所設計制導方案的基礎上,推導得到了一種較為精確的針對運動目標并同時考慮比例和偏置項影響的剩余時間估計方法。

1 問題描述

導彈與目標的相對幾何關系如圖1所示,其中Oxy為慣性坐標系,vm和vt分別為導彈和目標的速度,并認為其大小為常值。

如圖1所示,假設目標背離導彈從左向右運動,即認為目標的運動軌跡角為0。根據(jù)幾何關系,導彈與目標的相對運動方程可寫為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:γm為導彈的飛行軌跡角,am為導彈的法向加速度,φ為視線角。導彈與目標的相對速度矢量vR為

vR=vm-vT

(6)

定義γR為導彈與目標的相對飛行軌跡角,其為相對速度矢量與基準線之間的夾角(逆時針為正),如圖1所示。根據(jù)幾何關系,可以得到相對飛行軌跡角γR的表達式為

(7)

定義速度比β=vt/vm,則式(7)可以簡化為

(8)

對式(8)進行求導,可得:

(9)

(10)

通過觀察可以分析出,式(10)建立了導彈實際的飛行軌跡角速率與相對飛行軌跡角速率之間的關系,也意味著建立了實際的制導指令與虛擬指令之間的關系。對于式(10)的分子項可知,其滿足:

1-2βcosγm+β2≥(1-β)2>0

(11)

定義相對前置角σR為

σR=γR-φ

(12)

結(jié)合以上處理,式(3)和式(4)可以簡化為

(13)

(14)

此外,通過式(13)和式(14),可將地面運動目標視為一個虛擬靜止目標,從而將整個制導問題簡化。假設整個過程被理想跟蹤,便可以通過控制相對飛行軌跡角γR而間接實現(xiàn)對飛行軌跡角γm的控制,進而實現(xiàn)對運動目標的定向打擊。

打擊目標是末制導階段制導律設計的第一要務。此外,為增強導彈的殺傷威力,一般還要求可以對目標進行定向打擊。通常情況下,約束角可以定義為Γimp=γm,f,γm,f為導彈飛行軌跡角的終端值。將式Γimp代入式(8)中,整理后可以得到終端相對飛行軌跡角γR,f的表達式為

(15)

2 偏置比例制導律設計

aRM=aRPN+aRB

(16)

式中:aRPN為相對比例制導指令,aRB為所需要設計的相對偏置項。

(17)

(18)

對式(18)進行求導,可以得到相對比例制導指令表達式為

(19)

定義ρ為飛行器當前位置到參考基準之間的距離,將式(19)代入式(16)中,整理后可得:

(20)

已知tgo=tf-t,將M1位置所對應的飛行器狀態(tài)作為初始狀態(tài),求解上述微分方程,整理后可得:

(21)

式中:

(22)

(23)

假設在t1時刻飛行器完成落角約束,則在t時刻的剩余時間tgo=0,則有γR(t1)=γR,f,即:

(24)

將tgo1換成tgo可以得到每一時刻約束角的值為

(25)

結(jié)合式(25)和式(19)可以得到aRB為

(26)

(27)

(28)

(29)

由于在推導制導律的時候進行了小角度假設,會影響制導精度,為此對偏置項補償一個系數(shù)κ,則式(27)可以表示為

(30)

通過式(28)可以得到實際的制導指令為

(31)

由式(31)可以看出,導彈的法向加速度指令主要由兩部分組成:第一部分主要是建立運動目標與靜止目標之間的轉(zhuǎn)化關系;第二部類似于含落角約束打擊靜止目標時的偏置比例制導律。另外,第二部分同樣也可以分為2塊:第一塊主要抑制視線旋轉(zhuǎn),從而保證導彈能夠擊中目標;第二塊通過引入角偏差項,形成一個反饋,通過實時調(diào)整制導指令來滿足所要求的角度約束。

此外,由于該制導方案主要針對高速導彈打擊低速目標的情況,即β<1。因而,在整個制導過程中始終滿足關系1-βcosγm>0,即采用制導律(31)在制導過程中不會出現(xiàn)制導指令奇異的情況出現(xiàn)。

3 附加參數(shù)的選取及剩余時間估計

上一節(jié)通過小角度假設推導了本文所提的制導方案,然而小角度假設只是一種理想情況,其會對制導精度以及加速度收斂特性造成較大的影響。為此,本文在偏置項前補償一個系數(shù)κ來解決小角度假設所帶來的制導性能下降等問題。此外,在執(zhí)行本文所提制導方案時需要獲知剩余時間tgo,剩余時間的估計精度將直接影響制導精度。然而,絕大多數(shù)傳統(tǒng)剩余時間方案主要針對靜止目標或緩慢移動目標,以及只考慮比例指令對剩余時間的影響。當考慮落角約束時,約束角控制指令也會對彈道造成較大幅度的影響,進而影響實際的剩余時間。因此,在考慮落角約束時,不僅要考慮比例指令對剩余時間的影響,還要考慮偏置項指令對剩余時間的影響幅度。

將εR對時間求導,并將式(30)代入其中,可得:

(32)

已知tgo=tf-t,對上式進行積分可得:

(33)

將式(33)求導,可得:

(34)

可見,當κ>1時,初始角偏差及其變化率會隨著時間的推移而逐漸收斂到0。需要說明的是,κ應在合適的范圍取值。原因主要有:一是飛行器執(zhí)行能力有限,制導指令不能過大;二是在推導過程中進行了一定的簡化,這會帶來一定的偏差,κ取值過大會放大這些偏差,可能會造成在執(zhí)行制導方案過程中,制導偏差無法及時消除,進而導致任務失敗。

文獻[15]給出了一種針對靜止目標常比例導引系數(shù)的剩余時間tgo計算方法,具體表達式為

(35)

然而,對于運動目標及具有變比例導引系數(shù)的本文所提制導律,該剩余時間并不合適。為此,需要結(jié)合本文所提制導方案,對式(35)的剩余時間估計方案進行改進。具體方案為:需要在相對坐標系中,將目標作為一個虛擬靜止目標,采用相對量,如γR,σR以及vR等替換式(35)中的實際量。根據(jù)以上分析,對于本文所提制導方案,比例指令對剩余時間的影響幅度為

(36)

式中:

(37)

根據(jù)文獻[12]可知,對于靜止目標,偏置項對彈道長度的影響幅度為

(38)

式中:aPN和aB分別為常系數(shù)比例項和偏置項產(chǎn)生的制導指令。

類似地,采用相對量,式(38)可以表示為

(39)

此外,根據(jù)式(19)可知,相對比例項產(chǎn)生的制導指令可近似寫為

(40)

根據(jù)式(30),由偏置項產(chǎn)生的制導指令具體形式為

(41)

將式(40)和式(41)代入式(39)中,整理后可得:

(42)

進而,由偏置項引起的剩余時間表達式可通過sRB/vR計算獲得,將其與式(36)結(jié)合,可以得到總的剩余估計值為

(43)

4 仿真結(jié)果

以地地導彈打擊運動目標為例,驗證本文所提出制導律的性能。導彈速度大小為300 m/s,目標以50 m/s大小的速度沿x軸正方向運動。另外,導彈的初始位置的坐標為(0,0),目標的初始位置坐標為(5 000,0),合成導引系數(shù)N為4。

圖3為所提制導方案與文獻[14]中的打擊勻速直線運動目標的兩階段制導方案的對比結(jié)果。導彈的初始飛行軌跡角為90°,落角約束分別為-60°和-120°。表1為不同制導方案性能對比結(jié)果。表中,r(tf)為脫靶量,γm(tf)為落角。從仿真結(jié)果和表1可以看出,所提制導方案與兩階段制導方案均具有較高的制導精度。然而,所提制導方案彈道軌跡收斂快,且中間過程不需要制導指令大幅度切換。因而,所提制導方案優(yōu)于該兩階段制導方案。

γm,f/(°)本文所提方案r(tf)/mγm(tf)/(°)兩階段方案r(tf)/mγm(tf)/(°)-601.02-59.992.21-60.01-1201.23-119.991.90-120.01

圖4為采用本文所提剩余時間估算方案與傳統(tǒng)剩余時間估算算法r/vm在對目標進行垂直打擊時的對比結(jié)果。從結(jié)果中可以看出,利用所提方案,導彈飛行高度更低,射程更近,彈道軌跡收斂更快。

為驗證本文所提制導方案對約束角的全域捕獲能力,約束角γm,f分別取為-30°,-90°,-120°,-150°和-180°時,所對應的仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)可以看出,在不同落角約束情況下,導彈均能成功命中目標,從而驗證了本文所提出的制導律對運動目標具有全向打擊能力。圖5(b)給出了不同情況下的導彈法向加速度曲線。從圖中可以看出,當落角約束比較大時,在導彈接近目標時,導彈的法向加速度幅值越大,導彈的需用過載越大,但最終都收斂到0附近,展現(xiàn)了良好的收斂能力。圖5(c)給出了導彈飛行軌跡角γm隨時間的變化曲線,圖5(d)給出了相應的導彈飛行軌跡角與期望落角之間偏差隨時間的變化曲線。從圖中可以看出,角度偏差均收斂到0。

5 結(jié)束語

針對含落角約束打擊運動目標的問題,本文提出了一種偏置相對比例制導律。利用導彈與目標的相對關系,將目標視為一虛擬靜止目標,利用偏置相對比例的設計思想,通過對相對飛行軌跡角的設計,從而間接地實現(xiàn)對運動目標的打擊以及落角約束。剩余時間的估計直接影響落角控制的精度及制導性能。針對運動目標落角約束問題,在本文所提制導方案的基礎上,得到了考慮具有時變系數(shù)的比例項以及偏置項影響的剩余時間估計方法。此外,該制導方案能夠保證導彈在末制導前期盡可能地充分利用導彈的機動能力,以使制導律盡快地收斂;在制導中后期可快速完成落角控制。在保證脫靶量的同時,能夠迅速將約束角控制完成,進而保證加速度曲線收斂。大量的數(shù)值仿真驗證了采用所提制導方案良好的制導性能及加速度收斂特性,并驗證了較為寬松的初始發(fā)射條件以及對運動目標的全向打擊能力。