謝 愷,秦鵬程

(陸軍炮兵防空兵學院,安徽 合肥 230031)

炮位偵校雷達是保障炮兵全天候、全天時獲取戰(zhàn)場情報信息不可或缺的重要偵察裝備[1]。數據處理方法是決定炮位偵校雷達性能的關鍵技術之一[2]。隨著新型炮位偵校雷達技術的發(fā)展,可以精確測量彈丸多普勒信息。由于多普勒信息中包含了彈丸的位置、速度等信息,充分利用多普勒信息可完善傳統彈丸測量模型。由于技術原因,傳統的炮位偵校雷達數據處理中,通常沒有應用多普勒信息[2-3]。針對上述問題,王庭輝等提出了一種基于最小二乘擬合并充分利用徑向速度數據的新的目標運動參數估計策略[4];WU等也是將徑向速度納入彈道方程,建立了一種新的彈道運動模型[5]。但上述算法沒有針對炮位偵校雷達對多普勒信息進行詳細建模,且未用真實的炮位偵校雷達數據對算法進行分析驗證。

為了進一步提高外推算法的優(yōu)化性能,本文對炮位偵校雷達高精度的多普勒信息進行建模處理,并將速度信息作為第四維觀測向量納入測量方程,完善彈道模型,以提高彈道目標參數估計的精度,構建基于多普勒信息的七維狀態(tài)向量彈道外推模型[6]。并在此基礎上進行無跡卡爾曼濾波處理,以充分利用測量信息,提高算法的定位精度。最終提出了基于多普勒信息的七維狀態(tài)向量無跡卡爾曼濾波算法(七態(tài)DB-UKF算法),并結合真實彈道數據進行了仿真實驗。

1 彈道模型

1.1 狀態(tài)方程

通常情況下,彈丸運動系統狀態(tài)空間表達式要結合彈丸運動模型來選取,對于射程不大的火炮,通常使用質點彈道模型,取彈丸位置和速度變量作為狀態(tài)變量[7]?，F有的卡爾曼濾波方法中彈道系數是在每次濾波過程中以其為常數的條件下,將相鄰兩點的速度、加速度濾波值代入彈道方程進行粗略估計求得的,這種估計形式存在較大的誤差,甚至超出了彈道系數的理論范圍,只能采用硬限幅的方式對其進行限制。

本文采用非線性估計的方式求解彈道系數,將其納入彈道方程,進行濾波處理和參數估計[6]。為此,定義狀態(tài)向量為

x=(x1x2x3x4x5x6x7)=(xyzvxvyvzCb)

(1)

式中:(x,y,z)為彈道的位置(坐標)諸元;vx,vy,vz為彈道的速度諸元;Cb為彈道系數。

彈丸質心運動微分方程可當作狀態(tài)方程寫為

(2)

1.2 觀測方程

通常情況觀測量是狀態(tài)變量的線性組合,一般為雷達到彈丸的距離Rr、方位角α、俯仰角β,加入速度信息v后,可表示為

y=(Rrαβv)

(3)

雷達系統的測量方程可寫成如下的形式[4-5]:

(4)

式中:U為零均值高斯白噪聲,其方差為Q。為得到測量向量中的速度信息,對多普勒信息作出以下處理。

任意t時刻運動目標的多普勒頻率fd(t)(隱含t)為[8-9]

(5)

式中:λ=c/fc為雷達的工作波長信號,傳播速度取為光速c。因此,彈丸的徑向速度可表示為

(6)

多普勒頻率fd可通過雷達多普勒濾波器組數據加權得到。

某新型炮位偵校雷達的俯仰項測量采用頻掃體制,頻率fc與天線俯仰角θ存在映射關系[10],可表示[9]為

(7)

式中:θ為波束指向方向,λ0為基準波長,f0為基準頻率,l為連接相鄰頻向單元的線長度,d為線陣間隔距離,l/d為重疊因子。頻率、方向的對應關系在實際雷達裝備的工程實踐中常以表格形式體現,如表1所示。

表1 頻掃天線頻率、方向對照表

表1中顯示了34個頻點對應的指向角正弦值。頻掃天線電磁信號的頻率fc對應各波束指向θ,表中最低頻率點為9 GHz,步進頻率為20 MHz。

隨著新型炮位偵校雷達技術的發(fā)展,測角精度得到有效提高,按表1對應得到的信號頻率準確度也相應提升;此外,隨著雷達信號處理硬件資源更豐富,多濾波器組組數增加,得到的多普勒頻率測量精度更高。因此,由式(6)得到的多普勒速度信息具有較高的精度。為驗證多普勒速度信息的精度,對式(6)求導:

(8)

將某新型炮位偵校雷達的典型參數代入式(8),可得多普勒速度誤差約為0.5 m/s。

2 無跡卡爾曼濾波(UKF)方法

UKF通過使用確定性采樣點來近似非線性分布的矩,它以UT變換為基礎,采用線性最小均方估計的更新框架來進行時間遞推。UKF的計算量與擴展卡爾曼濾波(EKF)處于同一量級,但不需要求導計算Jacobian矩陣,可以處理不可導的非線性函數,而且非線性分布統計量的計算精度至少達到2階,性能優(yōu)于EKF[11-12]。以下為UKF算法。

將式(2)、式(4)離散化,可得非線性高斯離散時間系統:

(9)

式中:x(k)∈Rnx為系統在k時刻的狀態(tài),y(k)∈Rny為k時刻的觀測量;V(k)和U(k)分別為加性過程噪聲和測量噪聲,其協方差分別為R和Q?？紤]一個L維高斯隨機變量x,經過非線性變換后得到:

y=g(x)

(10)

(11)

(12)

(13)

通過下列方法可以計算變量y的均值和方差:

Yi=g(Xi),i=0,1,…,2L

(14)

(15)

(16)

針對式(9)～式(16)描述的系統,UKF算法流程如下。

①初始化。

(17)

②計算樣點。

(18)

③時間更新。

Xk|k-1=f[Xk-1]

(19)

(20)

(21)

Yk|k-1=h[Xk|k-1]

(22)

(23)

④測量更新。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

3 仿真及分析

本文以122榴彈為例,利用靶場彈道精密測量雷達數據,進行數值仿真計算,主要仿真條件如下。①彈丸發(fā)射條件:初速v0=700 m/s,射角θ0=19.5°;②取雷達測量誤差:σr=6.5 m,σβ=σε=1.5 mil,σvr,d=0.4 m/s;③雷達距離炮位15 km,雷達初始采樣點的俯仰角為3.1°,采樣間隔300 ms,從初始采樣點繼續(xù)探測18個彈道點后采樣中止。采用兩點差分法對狀態(tài)進行初始化。

分別建立六維狀態(tài)向量三維觀測向量、七維狀態(tài)向量三維觀測向量的彈道模型,用EKF、UKF對雷達測量數據進行處理[14],同時,在以上算法觀測信息中加入多普勒速度形成基于多普勒速度信息的濾波算法,并重復上述過程,得到外推起點,用龍格-庫塔法[15]外推發(fā)射點。進行10 000次蒙特卡洛仿真實驗,得到每種算法的定位精度圓中間誤差(Ecp)[16]、算法所需時間、彈道系數誤差、位置誤差以及速度誤差。

表2 外推算法仿真對照表

接下來對應用多普勒信息的各算法進行分析,比較其優(yōu)化效果。

表3 多普勒信息優(yōu)化效果對照表

由表3可以看出:上述各算法的計算量處于同一量級,應用多普勒信息后,使用EKF的外推算法定位精度優(yōu)化幅度比使用UKF外推算法的優(yōu)化幅度要高;使用七態(tài)濾波外推算法定位精度優(yōu)化幅度比使用六態(tài)濾波外推算法的優(yōu)化幅度要高。為分析以上算法改進項取得的優(yōu)化效果,對考慮多普勒信息前后,各算法位置、速度、彈道系數誤差進行了比較,圖1～圖3所示。

圖1給出了10 000次蒙特卡洛仿真中,濾波得到19個雷達采樣點(N)位置均值與精密測量雷達數據相應各點差的均方根值Rp。由圖1可以看出:將多普勒信息納入觀測方程后,六態(tài)EKF外推算法的位置誤差略有上升;六態(tài)UKF外推算法的位置誤差有較大幅度的下降;七態(tài)EKF、七態(tài)UKF外推算法的位置誤差有少量增加。

圖2給出了10 000次蒙特卡洛仿真中,濾波得到19個雷達采樣點速度均值與精密測量雷達數據相應各點的差的均方根值Rv。由圖2可以看出:應用多普勒信息的六態(tài)算法和七態(tài)EKF外推算法可以有效降低濾波終點的速度誤差,而應用多普勒信息的七態(tài)UKF外推算法濾波終點的速度誤差與原來處在同一水平。

將靶場彈道精密測量雷達數據相鄰兩點的速度、加速度濾波值代入彈道方程,求得彈道系數[4],作為仿真中的真實彈道系數。六態(tài)算法利用仿真雷達數據,按上述方式求得彈道系數;七態(tài)算法通過濾波得到彈道系數,彈道系數性能對比如圖3所示,圖中S為仿真次數。是否加入多普勒信息對六態(tài)算法中彈道系數精度基本沒有影響,如圖3(a)、圖3(b)所示。而由圖3(c)、圖3(d)可以看出:考慮多普勒信息的七態(tài)濾波外推算法的彈道系數誤差RC有較大幅度降低,且誤差值均低于0.05。

綜上所述,可以得到以下結論:①EKF濾波估計精度相對較低,加入高精度的多普勒信息后能大幅度降低估計誤差,提高定位精度,結果如表3中六態(tài)EKF、七態(tài)EKF外推算法結果所示。②七態(tài)濾波外推算法將彈道系數納入狀態(tài)方程。因此,彈道方程中考慮多普勒信息,能有效提高彈道系數的估計精度,進而降低外推誤差。但加入多普勒信息對六態(tài)算法的彈道系數精度沒有太大影響,而UKF算法本身又具有較高的估計精度,因此,加入多普勒信息后參數估計優(yōu)化效果較小,會出現表3中六態(tài)UKF定位精度提高幅度不大的現象。③由于位置誤差造成的影響將會直接疊加在外推落點上,而外推過程中的彈道系數誤差、速度誤差卻通過誤差累積使其影響不斷擴大。雖然在圖1中六態(tài)EKF、七態(tài)外推算法應用多普勒信息后算法的位置誤差稍有增加,但位置誤差主要是平移到定位誤差上,與速度誤差、彈道系數誤差等放大到定位誤差的累積效應相比,基本可以忽略。因此,外推得到的炮位仍然具有較高的定位精度。

4 結論

本文針對傳統炮位偵校雷達觀測信息中對多普勒信息利用不完整的情況,提出針對具體炮位偵校雷達的多普勒速度信息作為第四觀測維,綜合各算法改進項建立基于多普勒信息的七態(tài)UKF外推算法。對新算法位置誤差、速度誤差、彈道系數誤差進行分析,總結取得外推精度、效率優(yōu)化效果的影響因素。該算法提高了彈道系數等參數估計精度,仿真分析與實驗結果表明:在同一計算水平下,該方法具有更高的定位精度。

本文基于單個系統模型進行了彈道外推,如果遇到目標運動狀態(tài)與模型不符時,會引起較大誤差。下一步將對交互多模(IMM)算法進行研究,使用2個或更多的模型來描述彈道外推過程中的系統狀態(tài),最后通過有效的加權融合進行系統狀態(tài)估計,增強了模型的適應性。