郭新俊

[摘? 要] 求線段和最小值問(wèn)題是初中階段的重要考點(diǎn)也是難點(diǎn). 文章旨在解決一個(gè)含三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題，利用化動(dòng)為靜的思想先固定其中一個(gè)點(diǎn)，再利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想將其轉(zhuǎn)化為含兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題[1]，最終依托點(diǎn)與直線的連線中垂線段最短得以解決.

[關(guān)鍵詞] 線段和;對(duì)稱點(diǎn);垂線段;轉(zhuǎn)化

在學(xué)習(xí)完蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第二章軸對(duì)稱圖形時(shí)，一天數(shù)學(xué)課代表來(lái)辦公室咨詢一個(gè)含有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)求線段和最小值問(wèn)題. 從學(xué)習(xí)新課到講解習(xí)題課，學(xué)生遇到的多是含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或者兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題，像這種含三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度過(guò)大. 但筆者所帶的這個(gè)班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)較好，能力較強(qiáng)，有好幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)十分感興趣的學(xué)生建議將此題拿到班級(jí)講解. 恰逢筆者所在學(xué)校的教研組正實(shí)施初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的校本化研究，需要筆者開(kāi)設(shè)一節(jié)活動(dòng)課，于是經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的構(gòu)思，筆者在校內(nèi)上了關(guān)于此題的一節(jié)活動(dòng)課，現(xiàn)將其部分課堂實(shí)錄及一些不太成熟的思考整理出來(lái)，請(qǐng)同仁們批評(píng)指正.

教學(xué)實(shí)錄

1. 原題呈現(xiàn)

教師先用幾何畫(huà)板出示題目，請(qǐng)同學(xué)們先思考.

如圖1，請(qǐng)?jiān)凇鰽BC的三邊AB，AC，BC上分別確定一點(diǎn)E，F(xiàn)，D，使△DEF周長(zhǎng)最小.? （學(xué)生思考幾分鐘基本上一臉茫然）

[圖1][B][C][A]

2. 洞察本質(zhì)

師：求三角形周長(zhǎng)最小值在數(shù)學(xué)中屬于什么問(wèn)題？

生1：線段最小值問(wèn)題.

生2：線段和最小值問(wèn)題.

師：補(bǔ)充得很好，解決這類問(wèn)題最終的落腳點(diǎn)在哪里？

生3：兩點(diǎn)之間線段最短.

師：正確，還有補(bǔ)充的嗎？

生4：點(diǎn)與直線的所有連線中，垂線段最短.

師：非常好.

3. 經(jīng)驗(yàn)回顧

師：請(qǐng)你寫(xiě)出以前學(xué)過(guò)的類似的問(wèn)題并思考解決方案. （學(xué)生思考并在學(xué)習(xí)單上書(shū)寫(xiě)共5分鐘）

生5：我想到的是“將軍飲馬”問(wèn)題，如圖2，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.

[圖2][l][A][B]

師：非常好，你是如何解決這個(gè)問(wèn)題的？

生5：如圖3，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.

[圖3][l][A][B][P][A′]

師：很好，你是怎么想到的？

生5：兩點(diǎn)之間線段最短.

師：能具體展開(kāi)解釋嗎？

生5：額……

生6：這里有個(gè)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)對(duì)稱變換將同側(cè)PA+PB轉(zhuǎn)化為異側(cè)PA′+PB，從而實(shí)現(xiàn)兩點(diǎn)之間線段最短.

師：非常棒，請(qǐng)坐. 哪位同學(xué)能解釋為什么此時(shí)PA+PB就是最小的？

生7：如圖4，在直線l上任意取一點(diǎn)P′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊易證：A′B

[圖4][l][A][B][P][A′][P′]

師：好，思維很縝密. 還有想到別的問(wèn)題的嗎？

生8：我想到的是這樣一個(gè)題目：如圖5，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OA，OB上分別找一點(diǎn)M，N，使得△PMN周長(zhǎng)最小.

[圖5][A][B][P][O]

師：這是一個(gè)含有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題，你如何解決這個(gè)問(wèn)題？

生8：如圖6，過(guò)點(diǎn)P分別作OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2分別交OA，OB于點(diǎn)M，N. 點(diǎn)M，N即為所求.

[圖6][A][B][N][O][M][P][P2][P1]

師：生8找到的△PMN的周長(zhǎng)是不是最小，為什么？

生9：是的，如圖7，在OA，OB上再分別任意找一點(diǎn)M′，N′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短不難說(shuō)明PN′+M′N(xiāo)′+PM′>PP，而PP的長(zhǎng)即為△PMN的周長(zhǎng).

師：兩位同學(xué)說(shuō)得都非常好，那你們有誰(shuí)能告訴我，為什么要向兩邊作對(duì)稱點(diǎn)？

生9：記模型背公式. （全班一陣歡笑）

師：還有哪位同學(xué)有想法的？（全班陷入一片寂靜）

師：還記得剛才在解決將軍飲馬問(wèn)題時(shí)所考慮的數(shù)學(xué)思想方法嗎？（有幾個(gè)學(xué)生在下面小聲答道：轉(zhuǎn)化）

師：對(duì)，就是轉(zhuǎn)化，這時(shí)我們也可以將它轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題，再想想. （這時(shí)有一位同學(xué)很激動(dòng)地舉起手）

生10：如圖8，先在OB上任意找一點(diǎn)固定為N，此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了將軍飲馬問(wèn)題，原△PMN的周長(zhǎng)就是圖9中線段PN+PN的和. 由于點(diǎn)N1位置的任意性，也可以另取一點(diǎn)N，如圖10，此時(shí)原△PMN的周長(zhǎng)就是圖中線段PN+PN的和，這樣的點(diǎn)N有無(wú)數(shù)個(gè).

[圖8][A][B][P][O][N1]

[圖9][A][B][P][O][N1][M1][P2]

[圖10][A][B][P][O][N1][M1][P2][N2][M2]

師：這位同學(xué)給我們做了一個(gè)十分漂亮的轉(zhuǎn)化，但是問(wèn)題還是沒(méi)解決?。∩倌陚冞€需努力?。。ㄍ瑢W(xué)們都被逗樂(lè)了）

師：現(xiàn)在把OA擦去，如圖11，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：原△PMN的周長(zhǎng)最小就是求在OB上找一點(diǎn)N，使PN+PN最小，這又是將軍飲馬問(wèn)題，作法如圖12. 作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PP交直線OB于點(diǎn)N，交直線OA于點(diǎn)M，點(diǎn)N，M即為所求，如圖13.

師：非常好，此處應(yīng)該有掌聲?。ㄈ喙恼疲?/p>

4. 解決問(wèn)題

師：同學(xué)們，回顧以上求解過(guò)程，帶著解題經(jīng)驗(yàn)讓我們來(lái)看今天的問(wèn)題，你有什么新的想法？

生12：本題有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，我們也可以像剛才一樣先在BC上固定一個(gè)點(diǎn)D，原題就變成在AB，AC上分別確定一點(diǎn)E，F(xiàn)，使△DEF周長(zhǎng)最小，從而變成了生8想到的那個(gè)題目. 作法如圖14，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)M，N，連接MN，線段MN的長(zhǎng)就是所求三角形的周長(zhǎng). 當(dāng)然這樣的D也不止一個(gè)，還可以找D，如圖15，線段MN的長(zhǎng)就是所求三角形的周長(zhǎng). 也就是說(shuō)，求三角形的最小周長(zhǎng)就是找一條最短的線段MN，這是我想到的.

師：說(shuō)得太好了，他用了一個(gè)類比的數(shù)學(xué)思想帶我們朝著目的地前進(jìn)了一大步. 正如他所說(shuō)，求三角形的最小周長(zhǎng)就是找一條最短的線段MN，如何找呢？（同學(xué)們又一次陷入了疑云中）

師：我們先思考以上那些線段MN有什么共同之處？先獨(dú)立思考完，小組之間交流一下. （同學(xué)們進(jìn)入激烈的討論中，此時(shí)教師在巡視的過(guò)程中依然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的成果）

師：請(qǐng)同學(xué)們看一下我們?cè)?jīng)做過(guò)的這個(gè)題目，對(duì)你有什么啟示？（此時(shí)教師利用多媒體呈現(xiàn)了一道學(xué)生作業(yè)中的習(xí)題）

習(xí)題呈現(xiàn)：如圖16，∠AOB及平面內(nèi)一點(diǎn)P，試畫(huà)出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，再畫(huà)出點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，在畫(huà)圖的過(guò)程中你有什么發(fā)現(xiàn)？

[圖16][A][O][B][P]

生13：我想起來(lái)了，把所有的點(diǎn)M和N都和點(diǎn)A連接起來(lái)，如圖17，這樣就得到了無(wú)數(shù)個(gè)以線段MN為底邊的等腰三角形.

[圖17][B][D1][C][N1][A][M1][D2][N2][M2]

師：很好，還有補(bǔ)充的嗎？

生14：這些等腰三角形的頂角都一樣大，都等于∠CAB的兩倍.

師：棒極了，還有嗎？（教師的熱情也被點(diǎn)燃了）

生15：這些等腰三角形的腰長(zhǎng)都等于相應(yīng)的線段AD長(zhǎng).

師：完美，頂角相等的等腰三角形底邊的長(zhǎng)短跟哪個(gè)因素相關(guān)呢？

生16：腰長(zhǎng)（齊聲答）.

師：剛才求最短的線段MN就是求什么？

生17：最短的線段AD.

師：線段AD什么時(shí)候最短？

生18：垂線段最短（齊聲答）.

師：今天你們的表現(xiàn)真太精彩了……

教學(xué)板書(shū)

[三動(dòng)點(diǎn)線段和最小][垂線段最短][轉(zhuǎn)化][單動(dòng)點(diǎn)線段和最小

——將軍飲馬問(wèn)題][兩點(diǎn)之間線段和最小][比較等腰三角形

的腰長(zhǎng)][比較等腰三角形

的底邊長(zhǎng)][?][雙動(dòng)點(diǎn)線段和最小][轉(zhuǎn)化][?][轉(zhuǎn)化][?][?][?][?][?][圖18]

幾點(diǎn)思考

1. 放手：基于學(xué)生學(xué)情

本節(jié)課上下來(lái)，總體上比較流暢. 首先，得力于對(duì)學(xué)生學(xué)情的充分認(rèn)識(shí)和了解. 筆者在備課時(shí)，一直都想著這個(gè)班學(xué)生的知識(shí)掌握情況，哪里可以完全放手，哪里需要適當(dāng)引導(dǎo)都必須提前預(yù)設(shè)好. 即在經(jīng)驗(yàn)回顧環(huán)節(jié)，筆者成功預(yù)設(shè)到學(xué)生能想到將軍飲馬問(wèn)題和含兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)線段和的問(wèn)題，這樣就自然調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性. 這樣的放手就比教師直接給引例讓學(xué)生去思考的效果好了許多.

對(duì)學(xué)情的了解不僅僅是了解全班整體學(xué)生的情況，對(duì)于每個(gè)人的情況也需要關(guān)注. 筆者嘗試放手將問(wèn)題交給全班學(xué)生探究，以這樣的方式完成課堂的教學(xué)任務(wù)完全沒(méi)有問(wèn)題，但是可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：只有思維好的學(xué)生在交流，思維慢一些的學(xué)生開(kāi)始是跟不上節(jié)奏，后來(lái)就索性沉默，完全是在觀看他們的同學(xué)“表演”. 這樣的探究恐怕只能是少數(shù)人的探究，也違背了“非獨(dú)立不合作探究”的原則. 于是，本著尊重每一位學(xué)生，筆者要求在探究之前必須讓所有學(xué)生先獨(dú)立思考，可以把思考的結(jié)果簡(jiǎn)要地在學(xué)習(xí)單上寫(xiě)出來(lái)，然后交流，如果獨(dú)立思考有困難，可以直接討論. 這樣一個(gè)小的設(shè)計(jì)，立刻能讓所有的學(xué)生都參與進(jìn)來(lái)，而且能得到很多意外的“收獲”. 因?yàn)橛行W(xué)生怯于在全班同學(xué)面前表達(dá)自己的觀點(diǎn)，而他們很樂(lè)意在學(xué)習(xí)單上寫(xiě)出來(lái). 記得一次市教研活動(dòng)上，一位特級(jí)教師就強(qiáng)調(diào)過(guò)：“數(shù)學(xué)課上要有靜悄悄”. 現(xiàn)在想來(lái)的確是這樣，每一個(gè)有深度的問(wèn)題都需要獨(dú)立思考時(shí)的“靜悄悄”，這也是基于學(xué)情進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要方面.

2. 放手：基于科學(xué)理論

課堂上教師的敢于放手不僅要對(duì)學(xué)情有充分的了解，更要有一定的科學(xué)理論作為指導(dǎo). 美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞在他的著作《怎樣解題》中說(shuō)：“我們幾乎不可能想出一道全新的題目，它和以前解過(guò)的題目既不相像，又無(wú)聯(lián)系. 而且假如有這樣的題目存在，它也是解不出來(lái)的. 事實(shí)上，我們?cè)诮忸}時(shí)總是得益于以前曾解過(guò)的那些題目，應(yīng)用它們的結(jié)果或者方法，或者我們?cè)诮獯鹬兴@得的經(jīng)驗(yàn).[2]”正如本節(jié)課研究的含三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題，學(xué)生雖然剛開(kāi)始拿到題目有些茫然，但根據(jù)波利亞的解題理論，先思考以前研究過(guò)的類似的問(wèn)題以及解決那些問(wèn)題的策略和方法，再回頭看問(wèn)題學(xué)生能很快、很自然地想到，將三個(gè)動(dòng)點(diǎn)中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先定下來(lái)，而去考慮另外兩個(gè)點(diǎn)，即化動(dòng)為靜的策略. 這樣的放手，有著理論知識(shí)的指導(dǎo)，學(xué)生不僅僅學(xué)會(huì)了這一題的解法，更是學(xué)會(huì)了遇到新的問(wèn)題時(shí)的思考方法.

3. 放手：基于有效鋪墊

綜合實(shí)踐課基本上是以學(xué)生的探究活動(dòng)為主，但教師也不能從頭到尾一味地放手，否則會(huì)出現(xiàn)兩種情況，要么離本節(jié)課主題越來(lái)越遠(yuǎn)，要么在某個(gè)環(huán)節(jié)卡住使得探究活動(dòng)進(jìn)行不下去，此時(shí)教師給予適當(dāng)?shù)匿亯|就顯得尤為重要. 而這一鋪墊到底該什么時(shí)候給，以什么樣的形式給，那就要考驗(yàn)教師的能力了. 著名的維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”強(qiáng)調(diào)：教師應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.

為了靠近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，筆者認(rèn)為有效的鋪墊可以是一個(gè)追問(wèn)、也可以是一道學(xué)生做過(guò)的習(xí)題. 就如同本節(jié)課在解決含兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和問(wèn)題時(shí)，當(dāng)被問(wèn)到為什么要向兩邊作對(duì)稱點(diǎn)，同學(xué)們都安靜了. 筆者提示性地問(wèn)“還記得剛才在解決將軍飲馬問(wèn)題時(shí)所考慮的數(shù)學(xué)思想方法嗎？能否也將其轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題呢？”這時(shí)同學(xué)們才恍然大悟. 還有一個(gè)地方也是本節(jié)課最難攻克的障礙：在解決含三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和最小值問(wèn)題時(shí)，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了求三角形的最小周長(zhǎng)就是找一條最短的線段MN時(shí)，筆者的設(shè)計(jì)是呈現(xiàn)了一道學(xué)生之前做過(guò)的關(guān)于對(duì)稱性質(zhì)的習(xí)題. 雖然學(xué)生通過(guò)對(duì)此題的回憶也順利找到了課上的難題的突破口，但筆者還是感覺(jué)有些牽強(qiáng)，提示過(guò)于明顯. 即便如此，本節(jié)課還是在下課鈴聲響起之后而急急忙忙收尾. 緊接著的研討會(huì)上，教研組長(zhǎng)問(wèn)聽(tīng)課的三十多位老師有多少人當(dāng)時(shí)想到如何找最短的線段MN，統(tǒng)計(jì)完也只有一半的老師能想到. 所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維的要求有些過(guò)高了. 當(dāng)然，如果本節(jié)課在上課時(shí)間上做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，將四十五分鐘改成一個(gè)小時(shí)或者干脆兩節(jié)連上，這樣留給學(xué)生更多的思考和探究時(shí)間，或許孩子們能給我們帶來(lái)更大的驚喜.

參考文獻(xiàn)：

[1]酈興江. 構(gòu)建模型提煉策略? 層級(jí)推進(jìn)數(shù)學(xué)思考——以“最短路程問(wèn)題”為例[J] . 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（35）.

[2]波利亞. 怎樣解題[M]. 上海：上海科技教育出版社，2011.