李 娜

（長春建筑學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，吉林 長春 130607）

在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有很多問題都涉及到函數(shù)的最值和極值.利用高階偏導(dǎo)數(shù)或?qū)嵍涡屠碚撉蠼舛嘣瘮?shù)的極值，這種方法理論上對函數(shù)要求較高，并且計(jì)算過程繁難。MATLAB具有強(qiáng)大的計(jì)算和作圖功能，可以幫我們方便快捷的解決極值問題。

如果函數(shù)是可導(dǎo)的，我們可以用MATLAB命令先找到駐點(diǎn)，然后再利用等高線找出極值點(diǎn)，求出極值。具體的過程見例1

例1 求 f（x,y）=x3-y3+3x2+3y2-9x 的極值

輸入：Syms x y f=’x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x’;fx=diff（f,x）fy=diff（f,y）

輸出為偏導(dǎo)函數(shù)fx=3*x^2+6*x-9 fy=-3*y^2+6*y

再用解方程組的命令求出駐點(diǎn)

[x y]=solve（’3*x^2+6*x-9=0’,’-3*y^2+6*y=0’）

x=1-3 1-3 y=0 0 2 2

得到四個駐點(diǎn)的坐標(biāo)，

然后輸入下面的命令，把函數(shù)的等高線的圖形畫出來（圖1）

〉 〉 [x,y]=meshgrid（-5∶0.1∶3,-3∶0.1∶5）;

z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;

〉 〉 contour（x,y,z,20）

輸出如圖，因?yàn)樵趦蓚€極值點(diǎn)附近，函數(shù)的等高線是封閉的，在鞍點(diǎn)附近，等高線不封閉，從而可判斷極值點(diǎn)是（-3，2），（1，0）.

注：此法的缺點(diǎn)是無法判斷不可導(dǎo)點(diǎn)是極值的情形.

若函數(shù)高度非線性，沒有導(dǎo)數(shù)或者導(dǎo)數(shù)很難計(jì)算的情況，可以采用直接搜索法。先觀察圖形，給定一個初始點(diǎn)，同時設(shè)定一定的步長和搜索方向，就能對問題的參數(shù)進(jìn)行更新，使得函數(shù)值變小（大），常用的直接搜索法有單純性法、最速下降法等.見例2

例 2 求 f（x1,x2）=（x1-x22）2+（1-x2）2的極值

輸入 ezmesh（’（x-y）^2+（1-y）^2’），畫出圖形（圖 2），觀察可能的極值點(diǎn)在（0，1）附近，

所以以（0，1）為初始點(diǎn)，進(jìn)行搜索求極值點(diǎn)

x=fminunc（@（x） （x（1）-x（2））^2+（1-x（2））^2,[0;1]）

x=1.0000 1.0000

注：此法的缺點(diǎn)是初始點(diǎn)的選擇問題，還有可能不能求出全部的極值點(diǎn).