趙 勇

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009）

0 引 言

一維動(dòng)力系統(tǒng)，特別是對(duì)線段I上的連續(xù)自映射的研究，幾十年來，吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)工作者和數(shù)學(xué)愛好者的興趣并投身于研究當(dāng)中。尤其是Li-Yorke混沌定義的提出，更是引起了人們進(jìn)一步研究的狂熱，在此研究過程中，人們得到眾多重要的研究方法和結(jié)論，逐步形成了較為完整的理論體系，使得線段上自映射迭代研究成為了動(dòng)力系統(tǒng)特別是一維動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域中一個(gè)重要的分支。但就目前為止，線段上自映射迭代的研究中還有很多亟待進(jìn)一步發(fā)展和突破的問題。其中最重要的，最有挑戰(zhàn)性，最具有吸引力的就是“混沌的本質(zhì)是什么［1］？”混沌的本質(zhì)是什么，人們雖然從混沌定義的簡化等多個(gè)角度得到了若干充分條件或必要條件［1-11］，但均未能有效解決問題。本文將繼續(xù)在前人及作者前文［4-8］研究結(jié)果和思路的基礎(chǔ)上，去探索線段上連續(xù)非混沌自映射周期點(diǎn)集的重要性質(zhì)。文中出現(xiàn)的符號(hào)參見文獻(xiàn)［4］。

1 預(yù)備知識(shí)

引理 1［4］設(shè) f為線段 I上的連續(xù)自映射，X∈? （f）-P（f），若存在 k1，k2，k3∈ N，使得：fk3（X）＜T2＜fk2（X）＜T1＜fk1（X），T1，T2∈ I且為 f的不動(dòng)點(diǎn)，則 f在 I上必有非2的方冪的周期點(diǎn)。

引理2［6］設(shè)f為線段I上的連續(xù)自映射，f在I上滿足Li-Yorke混沌定義，則P（f）不是閉集。

引理3［8］設(shè)f為線段I上的連續(xù)自映射，周期點(diǎn)集不閉且f在I上只有2的方冪的周期點(diǎn)，則對(duì)任意X∈ω（f）-P（f），orbf（X）具有統(tǒng)一的規(guī)律。即存在自然數(shù) nX，使得｛fn（X）｝n＝1，2，…，從第 nX項(xiàng)開始 orbf（X）以：1（1）→ 4（2）→2（2）→3（2）→1（1）→ … 或1（2）→3（1）→2（1）→4（1）→1（2）→ … 為周期節(jié)如此一直鏈接下去。其中 1（1），1（2），2（1），2（2），3（1），3（2），4（1），4（2）具體表示如下：

1（1）fm（X）＜fm+2（X）＜fm+3（X）＜fm+1（X）；

1（2）fm（X）＜fm+2（X）＜fm+1（X）＜fm+3（X）；

2（1）fm+2（X）＜fm（X）＜fm+3（X）＜fm+1（X）；

2（2）fm+2（X）＜fm（X）＜fm+1（X）＜fm+3（X）；

3（1）fm+3（X）＜fm+1（X）＜fm（X）＜fm+2（X）；

3（2）fm+1（X）＜fm+3（X）＜fm（X）＜fm+2（X）；

4（1）fm+1（X）＜fm+3（X）＜fm+2（X）＜fm（X）；

4（2）fm+3（X）＜fm+1（X）＜fm+2（X）＜fm（X）。

定義1［7］（Li-Yorke）混沌定義設(shè)f為線段I上的連續(xù)自映射，若滿足下列條件，則稱f在I中是Li-Yorke混沌的：

（A）：PP（f）無上界：

（B）：存在I中的不可數(shù)子集S，使得：

其中 x≠ y，f1（x）＝f（x），…，fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈ N，不可數(shù)集 S稱為 f的混沌集，（B3）不滿足的點(diǎn)x稱為f的漸近周期點(diǎn)。（包括周期點(diǎn)）。

定義2［7］設(shè)f為線段I上的連續(xù)自映射，若滿足下列條件，則稱f在I中是Li-Yorke混沌的：

（B）：存在I中的不可數(shù)子集S，使得：

其中 x≠ y，f1（x）＝f（x），…，fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈ N，不可數(shù)集 S稱為 f的混沌集，（B3）不滿足的點(diǎn) x稱為f的漸近周期點(diǎn)（包括周期點(diǎn)）。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)f為線段I上的連續(xù)自映射，f的周期點(diǎn) P（f）不是閉集，則f的周期數(shù)之集PP（f）無上界。

證明：

1.若f在I上有非2方冪的周期點(diǎn)。則根據(jù)沙可夫斯基定理，有PP（f）無上界。

2.若f在I上只有2的方冪的周期點(diǎn)。我們用反證法證明PP（f）無上界。

假設(shè) PP（f）有上界，則存在自然數(shù)n0，使得對(duì)任意的n∈PP（f），都有n≤2n0，根據(jù)引理3，對(duì)任意的X∈ω（f）-P（f）及正整數(shù)2n0，存在自然數(shù) nX，2n0，使得 orbf2n0（fnX，2n0（X））以 1（1）→ 4（2）→ 2（2）→ 3（2）→1（1）→ … 或1（2）→3（1）→2（1）→4（1）→1（2）→ … 為周期節(jié)無限鏈接下去。其中1（1），1（2），2（1），2（2），3（1），3（2），4（1），4（2）具體表示如下：

1（1）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

1（2）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）；

2（1）fm+2·2n0（X）＜fm（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

2（2）fm+2·2n0（X）＜fm（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）；

3（1）fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm（X）＜fm+2·2n0（X）；

3（2）fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm（X）＜fm+2·2n0（X）；

4（1）fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm（X）；

4（2）fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm（X）。

我們不妨假設(shè) orbf2n0（fnX，2n0（X））以1（1）→4（2）→2（2）→3（2）→ 1（1）→ … 為周期節(jié)無限地鏈接下去。則從 fnX，2n0（X）項(xiàng)開始（令 m ＝nX，2n0）有：

1（1）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

4（2）fm+4·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）。

故存在 y1∈ （fm+2·2n0（X），fm+2n0（X）），使得：f2n0（y1）＝y(tǒng)1，又由于

故存在 y2∈ （fm（X），fm+2·2n0（X）），使得：f2·2n0（y2）＝y(tǒng)2，又 PP（f）以2n0為上界，故有：f2n0（y2）＝y(tǒng)2，從而 y1，y2為 f2n0的不動(dòng)點(diǎn)。考慮：fm（X）＜y2＜fm+2·2n0（X）＜y1＜fm+2n0（X），根據(jù)引理 1，f2n0在 I上具有非2方冪的周期點(diǎn)，故f在I上也有非2方冪的周期點(diǎn)，從而PP（f）無上界。這與假設(shè)矛盾。故假設(shè)不成立，即在定理1的條件下，PP（f）無上界。證畢。

根據(jù)定理1，結(jié)合引理2，我們可以從另一個(gè)角度簡化Li-Yorke混沌定義：

推論1 定義1與定義2等價(jià)。

證明：由引理2，我們知線段I上的混沌映射f的周期點(diǎn)集PP（f）不是閉的，再由定理1，我們知PP（f）無上界，所以，定義1的條件（A）：PP（f）無上界可以略去，即定義1與定義2等價(jià)。證畢。