曹建明，熊 瑋，李雯霖，張葉娟

（1.長(zhǎng)安大學(xué)汽車學(xué)院，西安 710064；2.中國(guó)第一汽車集團(tuán)公司技術(shù)中心，長(zhǎng)春 130011）

0 前 言

噴嘴噴射出的平面液體層稱為平面液膜射流，被廣泛應(yīng)用于固定式燃?xì)廨啓C(jī)、航空航天飛行器等內(nèi)燃式動(dòng)力機(jī)械的燃燒室中。對(duì)液膜射流碎裂霧化過程的研究一直受到國(guó)際流體與燃燒學(xué)界的普遍關(guān)注，是當(dāng)今研究的熱門課題[1]。20世紀(jì)50年代，SQUIRE[2]、HAGERTY等[3]最先研究了介于不可壓縮穩(wěn)定氣體介質(zhì)中的非粘性平面液膜射流的不穩(wěn)定性。LIN[4]、MANSOUR[5]、HASHIMOTO[6]、LI[7-9]、曹建明[10-14]、杜青等[15-17]應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論對(duì)液膜射流的不穩(wěn)定性和碎裂機(jī)理進(jìn)行了大量的理論和試驗(yàn)研究工作。LIN應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論研究了粘性平面液膜進(jìn)入不可壓縮氣流中的時(shí)空模式。LI的主要貢獻(xiàn)在于考慮了液體粘性的影響，并應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論分析了液膜兩側(cè)不同氣流速度下的射流碎裂。LI首先提出了在液膜射流兩側(cè)氣流流速不等時(shí)，表面波形呈現(xiàn)近正對(duì)稱波形（para-varicose）——上下氣液交界面的相位差角α→和近反對(duì)稱波形（para-sinuous）——α→0的概念，從而將射流表面波的相位差擴(kuò)展到全方位的0 ≤α≤，使整個(gè)線性穩(wěn)定性理論變得有序而連貫。曹建明將環(huán)境氣體的可壓縮性引入了線性穩(wěn)定性模型中，為高速空氣助力環(huán)境下液膜射流的不穩(wěn)定性分析和碎裂過程研究做出了貢獻(xiàn)。杜青等人研究了加熱條件下液膜射流的行為和特征。然而，上述研究得到的各種條件下的色散關(guān)系式均是有量綱形式的。根據(jù)相似理論，量綱一關(guān)系式要比有量綱形式的關(guān)系式包含更多的信息量，適用范圍更廣，具有更大的優(yōu)越性。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，通過對(duì)控制方程組、以及運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件的線性化和量綱一化，得到了量綱一化的色散準(zhǔn)則關(guān)系式，據(jù)此可以研究氣液流速比之差d、韋伯?dāng)?shù)We、歐拉數(shù)Eu、雷諾數(shù)Re、馬赫數(shù)Ma等量綱一參數(shù)對(duì)液膜射流碎裂過程的影響。推導(dǎo)得到的色散準(zhǔn)則關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)指數(shù)方程，表面波增長(zhǎng)率隨表面波數(shù)的變化關(guān)系是隱含的。由于色散準(zhǔn)則關(guān)系式的復(fù)雜性，無法得到其解析解，只能應(yīng)用穆勒方法[18]得到色散準(zhǔn)則關(guān)系式的數(shù)值解，繪制曲線圖進(jìn)行分析。

1 模型的建立

圖1所示為一個(gè)二維平面液膜射流表面波的簡(jiǎn)圖。液膜的厚度為2a，a為平面液膜噴嘴出口的半厚度（m）。沿基流射流方向設(shè)定為x軸，沿液膜厚度方向設(shè)定為y軸。液膜射流以噴射壓力Pl=Pl（Pl,0 ） = c onst（.MPa）、密度ρl= c onst（.kg/m3）、x方向速度Ul=Ul（Ul, 0 ） = c onst.（m/s）、y方向速度為vl= 0（m/s），噴射進(jìn)入背壓為Pg=Pg（Pg,0 ） =const.（MPa）、密度ρgj≠ c onst.（kg/m3）、x方向速度Ugj=Ugj（Ugj, 0 ） = c onst.（m/s）、y方向速度為Vgj=0（m/s）的氣體環(huán)境中。其中：腳標(biāo)“j= 1”表示上氣液交界面參數(shù)，“j= 2”表示下氣液交界面參數(shù)。α是上下氣液交界面表面波的相位差角。

圖1 平面液膜表面波Fig.1 Surface wave of plane liquid film

經(jīng)擾動(dòng)后附加的壓力、x方向速度和y方向速度的擾動(dòng)值分別為pk=pk（x,y,t），uk=uk（x,y,t），vk=vk（x,y,t）。則有量綱形式的合流參數(shù)為：pk-tot（x,y,t） =Pk+pk（x,y,t），uk-tot（x,y,t） =Uk+uk（x,y,t），vk-tot（x,y,t） =vk（x,y,t）。其中：腳標(biāo)“k= l”表示液相參數(shù)，“k= g”表示氣相參數(shù)，“tot”表示基流量與擾動(dòng)量相加的合流參數(shù)。

2 納維-斯托克斯控制方程組

納維-斯托克斯控制方程組的一般形式為：連續(xù)性方程

動(dòng)量方程

式中：t為時(shí)間；ν為運(yùn)動(dòng)學(xué)粘度系數(shù)；div為散度，等于哈密頓算子的點(diǎn)積，即為拉普拉斯算子。由于實(shí)際的噴霧應(yīng)用的弗勞德數(shù)（Froude number,Fr）非常大，因此質(zhì)量力Fbxl可以忽略不計(jì)，即Fbxl= 0 ?？紤]液相為不可壓縮粘性流體，液體密度液體運(yùn)動(dòng)學(xué)粘度系數(shù)氣相為可壓縮非粘性流體，氣體密度氣體運(yùn)動(dòng)學(xué)粘度系數(shù)液相和氣相的納維-斯托克斯控制方程組可以分別寫為：

連續(xù)性方程

動(dòng)量方程

對(duì)連續(xù)性方程和動(dòng)量方程進(jìn)行量綱一化和線性化后，可得液相和氣相的納維-斯托克斯控制方程組的展開形式。

連續(xù)性方程

x-動(dòng)量方程

y-動(dòng)量方程

3 色散準(zhǔn)則關(guān)系式

根據(jù)量綱一化和線性化的納維-斯托克斯控制方程組，建立液相和氣相微分方程。由于液相為不可壓縮流體，可以引入流函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。液相微分方程為

氣相微分方程為

求解液相和氣相微分方程，以得到通解和特解，需要引入運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件和附加邊界條件。運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件為

由于氣體的粘度系數(shù)比液體的小得多，氣液交界自由面上的切應(yīng)力近似為零，有附加邊界條件

求得微分方程的通解和特解后，可以得到擾動(dòng)壓力。液相擾動(dòng)壓力為

式中：積分常數(shù)

在上氣液交界面處，氣相擾動(dòng)壓力為

在下氣液交界面處，氣相擾動(dòng)壓力為

液相和氣相擾動(dòng)壓力求出后，代入動(dòng)力學(xué)邊界條件。

上氣液交界面動(dòng)力學(xué)邊界條件

下氣液交界面動(dòng)力學(xué)邊界條件

根據(jù)動(dòng)力學(xué)邊界條件可推導(dǎo)出氣液交界面相位差角及量綱一形式的色散準(zhǔn)則關(guān)系式（norm dispersion relations）。氣液交界面相位差角可由下式確定：

當(dāng)α=0時(shí)，eiα=1，為反對(duì)稱波形（sinuous）；當(dāng)α=π時(shí)，eiα=-1，為正對(duì)稱波形（varicose）；當(dāng)α→0時(shí)，eiα→1，為近反對(duì)稱波形（para-sinuous）；當(dāng)α→ π時(shí)，eiα→- 1，為近正對(duì)稱波形（para- varicose）。

近反對(duì)稱波形色散準(zhǔn)則關(guān)系式

近正對(duì)稱波形色散準(zhǔn)則關(guān)系式

合并式色散關(guān)系式

推導(dǎo)得到的量綱一形式的色散準(zhǔn)則關(guān)系式非常復(fù)雜，無法得到其解析解。因此需要編制 Fortran語言程序，采用穆勒方法[18]進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，求取色散準(zhǔn)則關(guān)系式的數(shù)值解。

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及其分析

4.1 液膜兩側(cè)氣液流速比之差的影響

圖2所示為粘性平面液膜噴射進(jìn)入大氣狀況氣體介質(zhì)中的情況，在不同的液膜兩側(cè)氣液流速比之差下，表面波增長(zhǎng)率隨表面波數(shù)的變化規(guī)律。其中，圖2a所示為近反對(duì)稱波形，圖2b所示為近正對(duì)稱波形。從圖中可以看出，隨著從0增大到1，表面波增長(zhǎng)率和支配表面波增長(zhǎng)率減??；從1再增大，表面波增長(zhǎng)率和支配表面波增長(zhǎng)率持續(xù)增大。表明液膜兩側(cè)剛有氣流速度差時(shí)，表面波波長(zhǎng)變長(zhǎng)，液膜穩(wěn)定，小的氣流速度差不利于液體的碎裂；隨著速度差進(jìn)一步加大，表面波波長(zhǎng)變短，并促使液膜碎裂。比較圖2a和圖2b可知，在一定的情況下，近反對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率比近正對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率大近乎一個(gè)數(shù)量級(jí)，這表明近反對(duì)稱波形的表面波比近正對(duì)稱波形的更不穩(wěn)定，因此，近反對(duì)稱波形的表面波將在液膜的碎裂過程中起主導(dǎo)作用。

圖2 氣液流速比之差對(duì)表面波增長(zhǎng)率的影響：（a）近反對(duì)稱波形，（b）近正對(duì)稱波形Fig.2 Effect of ratio difference between gas and liquid on wave growth rate: (a) para-sinuous wave; (b) para-varicose wave

4.2 液流韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)的共同影響

圖3所示為液流韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)對(duì)表面波增長(zhǎng)率的影響。其中，實(shí)線所示為近反對(duì)稱波形，虛線所示為近正對(duì)稱波形。從圖中可以看出，隨著液流韋伯?dāng)?shù)Wel和雷諾數(shù)Rel的增大，表面波增長(zhǎng)率增大，而且支配表面波增長(zhǎng)率支配波數(shù)都增大，說明液流韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)是液體的不穩(wěn)定因素。比較實(shí)線和虛線曲線可以看出，在液流韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)一定的情況下，近反對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率比近正對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率大一倍左右，這表明近反對(duì)稱波形的表面波比近正對(duì)稱波形的更不穩(wěn)定。

圖3 液流韋伯?dāng)?shù)和雷諾數(shù)對(duì)表面波增長(zhǎng)率的共同影響（實(shí)線表示近反對(duì)稱波形，虛線表示近正對(duì)稱波形）Fig.3 Effect of liquid Weber number and Reynolds number on wave growth rate (real line denotes para-sinuous wave, dashed line denotes para-varicose wave)

4.3 液流歐拉數(shù)的影響

圖4 液流歐拉數(shù)對(duì)表面波增長(zhǎng)率的影響（近反對(duì)稱波形）Fig.4 Effect of liquid Euler number on wave growth rate( para-sinuous wave)

圖4所示為平面液膜近反對(duì)稱波形表面波增長(zhǎng)率隨歐拉數(shù)的變化關(guān)系?？梢钥闯觯S著液流歐拉數(shù)Eul的增大，表面波增長(zhǎng)率增大，而且支配表面波增長(zhǎng)率支配波數(shù)都增大，說明液流歐拉數(shù)也是液體的不穩(wěn)定因素。

4.4 氣流馬赫數(shù)的影響

當(dāng)氣流馬赫數(shù)Magl＜ 0 .3時(shí)，氣體的壓縮性可以忽略不計(jì)，為不可壓縮流體；當(dāng)氣流馬赫數(shù)Magl≥0.3時(shí)，就必須要考慮氣體的可壓縮性對(duì)液膜碎裂的影響，為可壓縮流體。圖5所示為大氣狀況不同的氣流馬赫數(shù)下，表面波增長(zhǎng)率隨表面波數(shù)的變化規(guī)律。

圖5 大氣狀況下氣流馬赫數(shù)對(duì)表面波增長(zhǎng)率的影響：（a）近反對(duì)稱波形；（b）近正對(duì)稱波形Fig.5 Effect of gaseous Mach number on wave growth rate under atmosphere status: (a) para-sinuous wave; (b) para-varicose wave

圖5a為近反對(duì)稱波形，圖5b為近正對(duì)稱波形。可以看出，不論哪種波形，表面波增長(zhǎng)率總是隨著氣流馬赫數(shù)的增大而增大。比較兩種波形，近反對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率總是比近正對(duì)稱波形的大。這表明在相同的流動(dòng)條件下，近反對(duì)稱比近正對(duì)稱更加不穩(wěn)定。同時(shí)還可以看出，隨著氣流馬赫數(shù)從0增大到0.7，近反對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率增大的幅度逐漸縮小，而近正對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率增大的幅度逐漸擴(kuò)大。顯然，氣流馬赫數(shù)提高了液膜的不穩(wěn)定度，并且使不穩(wěn)定波向短波區(qū)移動(dòng)，這表明氣體的可壓縮性將加速液膜的碎裂。

圖6為高氣體密度下氣流馬赫數(shù)對(duì)表面波增長(zhǎng)率的影響。與圖 5a比較，高氣體密度下隨著氣流馬赫數(shù)的增大，表面波增長(zhǎng)率增大的幅度在逐漸擴(kuò)大。說明在高氣體密度下，高馬赫數(shù)對(duì)液膜的不穩(wěn)定性影響更大。

圖6 高氣體密度下氣流馬赫數(shù)對(duì)表面波增長(zhǎng)率的影響（近反對(duì)稱波形）Fig.6 Effect of gaseous Mach number on wave growth rate under higher gas density (para-sinuous wave)

4.5 液流韋伯?dāng)?shù)、雷諾數(shù)和氣流馬赫數(shù)對(duì)支配表面波增長(zhǎng)率和支配波數(shù)的影響

顯然，不論哪種擾動(dòng)波形及液體粘度如何，支配表面波增長(zhǎng)率和支配波數(shù)總是隨著液流韋伯?dāng)?shù)、雷諾數(shù)和氣流馬赫數(shù)的增大而增大，盡管在小馬赫數(shù)下（Ma≤ 0.3），增長(zhǎng)量非常小。說明在較大的液體噴射速度和較大的環(huán)境氣體空氣動(dòng)力作用下，液膜更容易碎裂。同時(shí)也可以清楚地看到，在任何氣流馬赫數(shù)下，近反對(duì)稱波形的支配表面波增長(zhǎng)率總是比相應(yīng)的近正對(duì)稱波形的大，而近反對(duì)稱波形的支配波數(shù)總是比相應(yīng)的近正對(duì)稱波形的小。

圖7 液流韋伯?dāng)?shù)、雷諾數(shù)和氣流馬赫數(shù)的共同影響：（a）對(duì)支配表面波增長(zhǎng)率的共同影響，（b）對(duì)支配波數(shù)的影響（實(shí)線表示近反對(duì)稱波形，虛線表示近正對(duì)稱波形）Fig.7 Effect of liquid Weber number, Reynolds number and gaseous Mach number: (a) effect on dominate wave growth rate;(b) effect on dominate wave number (real line denotes parasinuous wave, dashed line denotes para-varicose wave)

5 結(jié) 論

根據(jù)納維-斯托克斯控制方程組建立了粘性平面液膜射流噴射進(jìn)入可壓縮氣流環(huán)境中的模型，對(duì)液、氣相控制方程組進(jìn)行了量綱一化和線性化，引入流動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件，推導(dǎo)得到了色散準(zhǔn)則關(guān)系式。采用穆勒方法編制 Fortran語言程序，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，求取色散準(zhǔn)則關(guān)系式的數(shù)值解，并進(jìn)行液膜射流的穩(wěn)定性分析。結(jié)果表明：表面波增長(zhǎng)率隨著量綱一參數(shù)-液膜兩側(cè)氣液流速比之差液流韋伯?dāng)?shù)Wel、液流雷諾數(shù)Rel、液流歐拉數(shù)Eul、氣流馬赫數(shù)Mag的增大而增大；支配表面波增長(zhǎng)率和支配波數(shù)隨著液流韋伯?dāng)?shù)Wel、液流雷諾數(shù)Rel和氣流馬赫數(shù)Mag的增大而增大，液膜射流變得更加不穩(wěn)定。在相同的流動(dòng)條件下，近反對(duì)稱波形的表面波增長(zhǎng)率和支配表面波增長(zhǎng)率總是比近正對(duì)稱波形的大，說明近反對(duì)稱波形的表面波更加不穩(wěn)定，并在液膜射流的碎裂過程中起支配作用。