李學(xué)鋒,郭仲凱
(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢 430074)
1930年Cramer提出的經(jīng)典風(fēng)險模型為風(fēng)險理論奠定了重要的基礎(chǔ),使風(fēng)險理論得到廣泛的研究,主要研究保險事務(wù)中各種隨機風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率或生存概率. 但隨著社會經(jīng)濟和保險市場的逐步發(fā)展,經(jīng)典風(fēng)險模型已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代保險業(yè)務(wù)的需求了,于是許多學(xué)者對其進行了改進和推廣.文獻[1,2]研究了相依風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)破產(chǎn)概率的漸近表達式.文獻[3]得到了生存概率滿足的積分-微分方程.在文獻[4]中,Gerber和Shiu提出的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)是現(xiàn)代風(fēng)險理論研究的熱點問題,該函數(shù)將破產(chǎn)時刻、破產(chǎn)前瞬時盈余和破產(chǎn)時的赤字融入到一個函數(shù)中,這一重要的函數(shù)為研究破產(chǎn)理論帶來很大的方便,根據(jù)它可以得到一些具體的精算指標(biāo),推動風(fēng)險理論向前發(fā)展.文獻[5,6]得到了常數(shù)利率下經(jīng)典風(fēng)險模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分-微分方程及指數(shù)索賠下破產(chǎn)概率的表達式.文獻[7]研究了復(fù)合Poisson過程風(fēng)險模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)、破產(chǎn)前瞬時盈余的Laplace變換、破產(chǎn)時刻以及破產(chǎn)時赤字滿足的積分方程.文獻[8-10]針對不同情形,選擇了不同形式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)并研究了破產(chǎn)概率.
本文就是在上述工作的基礎(chǔ)上,討論一類在常數(shù)利率下帶隨機干擾的風(fēng)險模型,其中保費收入是時間的線性函數(shù),索賠過程為復(fù)合 Poisson-Geometric過程,得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分-微分方程,然后根據(jù)該方程給出破產(chǎn)概率所滿足的積分-微分方程并得到其在指數(shù)索賠下的特殊形式,同時還得到破產(chǎn)時赤字的概率分布函數(shù)所滿足的積分-微分方程.
定義1 設(shè)λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t),t≥0}是參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過程,如果滿足:
(1)N(0)=0;
(2){N(t),t≥0}具有獨立平穩(wěn)增量;
(3)對t>0,有N(t)~PG(λt,ρ).
性質(zhì)如果隨機變量X~PG(λ,ρ),則當(dāng)0<ρ<1時,X的概率分布為:
P(X=0)=e-λ,
[λ(1-ρ)]jρk-j,k=1,2,….
注定義2中的ρ稱為偏離參數(shù),刻畫事故發(fā)生次數(shù)與索賠次數(shù)的差異.當(dāng)ρ=0時,Poisson-Geometric過程即是Poisson過程.
定義3 設(shè)(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機變量都定義在此空間),則對u≥0,t≥0,保險公司在t時刻的盈余為:
(1)
其中R(t)=ct-S(t)+σW(t),c為保險公司單位時間內(nèi)收到的保險費,S(t)為索賠過程,{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程,表示保險公司不確定性收益和支出,σ>0為擾動系數(shù),u≥0為保險公司的初始準(zhǔn)備金;δ≥0為常數(shù)利率.
對上述模型做如下假設(shè):
(2){Xi,i=1,2,…},{N(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互獨立.
易知風(fēng)險模型(1)可寫為:
(2)
定義4 保險公司的破產(chǎn)時刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(若集合為空集,則T=∞).
定義5 定義在[0,+∞)×[0,+∞)上的非負(fù)可測且依賴于破產(chǎn)前的盈余和破產(chǎn)時赤字的函數(shù)ω(x,y)稱為罰金函數(shù).
令I(lǐng)(E)為事件E的示性函數(shù),U(T-)為破產(chǎn)前的瞬間盈余,|U(T)|為破產(chǎn)時的赤字,r≥0為折現(xiàn)因子,則稱
φ(u)=E[e-rTω(U(T-),|U(T)|)I(T<∞)|
U(0)=u]
(3)
特別地,當(dāng)ω(x,y)=1,r=0時,φ(u)為破產(chǎn)概率,即:
(4)
當(dāng)ω(x,y)=x,r>0時,φ(u)為破產(chǎn)時刻瞬間盈余的期望折現(xiàn)函數(shù),即:
φ(u)=E[e-rTU(T-)I(T<∞)|U(0)=u],
(5)
當(dāng)ω(x,y)=y,r>0時,φ(u)為破產(chǎn)時赤字的期望折現(xiàn)函數(shù),即:
φ(u)=E[e-rT|U(T)|I(T<∞)|U(0)=u].
(6)
P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t),
P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,…,
漢江是漢朝的發(fā)祥地。楚河漢界,不僅僅是歷史的地域切割,是文化的融合?!按鬂h民族”、“漢文化”、“漢學(xué)”、“漢語”這些名稱,得名于漢江。歷史學(xué)家呂思勉和錢穆認(rèn)為,華夏族就是生活在華山以南、夏水兩岸的民族。而古代華山就是現(xiàn)在的河南嵩山,夏水就是今天的漢水。這說明,漢水流域是中華民族最古老族源的發(fā)祥地。
定理對任意u≥0,風(fēng)險模型(1)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)φ(u)滿足如下積分-微分方程:
(7)
證明令
在充分小的時間段(0,t]內(nèi),考慮(1)式所定義的風(fēng)險過程U(t),根據(jù)是否發(fā)生索賠,分為兩類事件:
事件B1:在(0,t]內(nèi)沒有索賠發(fā)生,即B1={N(t)=0},其發(fā)生的概率為:
P(B1)=e-λt=1-λt+o(t);
事件B2:在(0,t]內(nèi)有k次索賠發(fā)生,即B2={N(t)=k},其發(fā)生的概率為:
P(B2)=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,….
由盈余過程的強馬氏性和全期望公式有:
(8)
由引理知,(8)式中各項級數(shù)均一致收斂,由單調(diào)收斂定理,求和號與積分號可交換次序,故
(9)
進一步整理得:
(10)
將ert=1+rt+o(t)代入上式并兩邊同時除以t,令t→0,化簡得:
即(7)式成立.
推論1 破產(chǎn)概率φ(u)滿足如下積分-微分方程:
(11)
證明在(3)式中令r=0,ω(x,y)=1,則:
再由(7)式即得(11)式.
(12)
(1-ρ)αe-α(1-ρ)x.
令z=u-x,則:
從而有:
即(12)式成立.
推論3 破產(chǎn)時赤字|U(T)|的分布函數(shù)滿足如下積分-微分方程:
(13)
證明在(3)式中令r=0,ω(x,y)=I(y≤v),則:
故(7)式可寫為:
即(13)式成立.
本文從現(xiàn)代保險公司的實際運營情形出發(fā),提出了常數(shù)利率下帶隨機干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型,具有較強的實際意義.利用概率論和隨機過程等學(xué)科的理論方法得到該風(fēng)險模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)以及破產(chǎn)理論中的幾個主要精算指標(biāo)所滿足的積分-微分方程.這些結(jié)果對保險公司解決破產(chǎn)概率等問題提供了理論參考,為保險公司設(shè)計相應(yīng)的財務(wù)預(yù)警系統(tǒng)和保險監(jiān)管部門設(shè)置相應(yīng)的監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)提供理論依據(jù).當(dāng)然,現(xiàn)代保險公司的實際經(jīng)營運作情況往往更加復(fù)雜,本文所建風(fēng)險模型乃至現(xiàn)有的所有風(fēng)險模型都還有待進一步改進,本文的思想和方法在一定程度上為以后的研究提供了有益的思路.