賈永臻

(北京大學 深圳研究生院，深圳518055)

柔性顯示屏幕是未來顯示技術(shù)的一個重要研發(fā)方向. 當前，柔性屏幕各個膜層間常采用光學透明膠材(Optically Clear Adhesive, OCA)進行粘接[1, 2]，柔性屏幕的整體變形過程中，OCA膠材的力學行為最為復雜，易發(fā)生粘性流動,導致屏幕表面不平整，是形成波紋狀顯示效果的主要原因. 構(gòu)建OCA膠材的力學本構(gòu)模型是仿真分析波紋狀顯示效應(yīng)的理論基礎(chǔ). Yeh[3]等率先建立了柔性屏幕的彎折仿真模型，但是該研究將OCA膠材看作簡單的線彈性材料，無法對屏幕攤平及回彈過程中的非線性大變形問題進行解析. 薛宗偉[4]建立了基于小壓縮變形數(shù)據(jù)的OCA超彈性本構(gòu)模型，同樣無法應(yīng)用于柔性顯示屏幕的大變形分析. 基于此，本文展開對OCA膠材力學行為的基礎(chǔ)研究，通過力學性能測試，獲取了OCA膠材在單軸拉伸和簡單剪切兩種大變形模式下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，并選用唯象模型和熱力學模型，建立OCA膠材的超彈性本構(gòu)模型.

1 實驗測試

OCA膠材可以在發(fā)生大變形的情況下，卸載后自動恢復為初始形狀，符合超彈性材料的一般特征，可以采用超彈性本構(gòu)模型建立OCA膠材的彈性力學行為. 傳統(tǒng)橡膠類超彈性材料通常采用單軸試驗、雙軸試驗和平面試驗等三種實驗方法獲取其應(yīng)力應(yīng)變曲線，但是OCA膠材的模量很低，商業(yè)化的雙軸和平面拉伸試驗機的傳感器精度無法準確獲取OCA膠材的應(yīng)力變化，因此，采用精密度較高的動態(tài)機械分析儀和旋轉(zhuǎn)流變儀，分別對OCA膠材的拉伸行為和簡單剪切行為進行測試.

首先進行試樣制備，將3M公司生產(chǎn)的OCA膠材疊層粘接，厚度h達到1 mm，之后再按照夾具要求完成試樣的切割，兩種變形模式所采用的測試設(shè)備及相應(yīng)的樣品尺寸如表1所示. DMA拉伸測試時，拉伸速率參考ASTM標準D412[5]；采用旋轉(zhuǎn)流變儀進行簡單剪切測試時，剪切應(yīng)變速率控制在0.01 s-1.

表1 試驗測試設(shè)備及樣品尺寸規(guī)格

原始實驗數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后，可以提取出應(yīng)力σ和應(yīng)變ε數(shù)據(jù)，具體的計算公式如下所示.

(1)單軸拉伸變形模式下，拉伸應(yīng)變εT和拉伸應(yīng)力σT的關(guān)系式：

(1)

式中，l0表示試樣原始長度；l表示試樣拉伸長度；f表示拉伸載荷.

(2)簡單剪切變形模式下，剪切應(yīng)變γs和剪切應(yīng)力σs的關(guān)系式如下：

(2)

式中，φ表示平行板的旋轉(zhuǎn)位移；τ表示平行板扭矩.

2 超彈性本構(gòu)模型構(gòu)建及參數(shù)擬合

2.1 基本理論

超彈性材料的基本物理特征是彈性變形過程中熵產(chǎn)率為0，不發(fā)生能量耗散，因此超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系可以通過應(yīng)變能密度函數(shù)U的形式給出：

U=U(l1,l2,l3),

(3)

式中，l1,l2,l3分別為變形張量的三個不變量. 這些不變量和主伸長率λi(i=1,2,3)的關(guān)系如下：

(4)

式中，γi表示主應(yīng)變，I3可以表征材料體積的變化，也用Jei表示，OCA膠材通常認為是不可壓縮的，有I3=1.

將應(yīng)變能密度函數(shù)對主伸長率求偏導，得出Cauchy應(yīng)力張量與主伸長率的關(guān)系[6]：

(5)

式中，p表示靜水壓力.

2.2 應(yīng)變能密度函數(shù)與變形模式

超彈性材料的應(yīng)變能密度函數(shù)主要分為維象模型和統(tǒng)計熱力學模型兩大類，基于經(jīng)驗的維象模型主要包括Ogden模型、多項式模型、減縮多項式模型、Marlow模型等，其中減縮多項式模型的實驗擬合精度較高，同時仿真計算的收斂性較好，是比較常用的唯象模型之一. 統(tǒng)計熱力學模型則主要有Arruda-Boyce模型、Van der Waals模型和Gent模型等. 下面將分別給出兩類模型中比較有代表性的減縮多項式模型和Arruda-Boyce模型的具體表達式，以及在不同變形模式下推導出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.

由式5可以導出具體變形模式下Cauchy應(yīng)力張量σi的表達式. 在單軸拉伸變形模式下，拉伸應(yīng)力的表達式為[7]：

(6)

在簡單剪切變形模式下，剪切應(yīng)力的表達式為：

(7)

2.2.1 減縮多項式模型

減縮多項式(Reduced Polynomial)模型[8, 9]中忽略了第二變形張量不變量對于應(yīng)變能的影響，具體的應(yīng)變能密度函數(shù)表達式為：

(8)

式中，N表示多項式的階數(shù)；Ci0=(i=1～6)為表征剪切變形的材料常數(shù)，Di為表征體積變形的材料常數(shù)，對于OCA膠材不予考慮.

將式(8)代入式(6)和(7)，可得到減縮多項式本構(gòu)模型中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系. 在單軸拉伸變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(9)

其中，λT=1+εT在簡單剪切變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(10)

2.2.2 Arruda-Boyce模型

Arruda-Boyce模型[10]是一類由非高斯統(tǒng)計理論建立的簡單熱力學模型，其應(yīng)變能函數(shù)表達式如下：

(11)

式中，μ、λm為表征剪切變形的材料常數(shù).

將式(11)代入式(6)和(7)，可得到Arruda-Boyce本構(gòu)模型中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系. 在單軸拉伸變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(12)

在簡單剪切變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(13)

3 參數(shù)擬合與分析

基于上述推導出的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，結(jié)合單軸拉伸和簡單剪切的實驗數(shù)據(jù)，即可實現(xiàn)超彈性參數(shù)的擬合. 目前，尚無商業(yè)化的仿真軟件可以將單軸拉伸和簡單剪切數(shù)據(jù)同時擬合，也未見相關(guān)的公式推導和擬合方法等內(nèi)容有公開報道. 本文利用數(shù)學軟件1Stopt，采用Levenberg-Marquardt算法，按照上述本構(gòu)方程編寫代碼，實現(xiàn)了單軸拉伸與簡單剪切數(shù)據(jù)的同時擬合，具體結(jié)果如表2所示.

表2 OCA膠材的超彈性本構(gòu)模型參數(shù)擬合誤差分析Tab.2 The fitting error analysis of the OCA hyperelastic constitutive model

完成參數(shù)擬合的本構(gòu)模型需進行Drucker穩(wěn)定性評估，對于通過穩(wěn)定性評估的本構(gòu)模型，其應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖1～4所示.

由應(yīng)力應(yīng)變曲線的擬合結(jié)果對比后可知，Arruda-Boyce本構(gòu)模型和一階減縮多項式模型的擬合誤差較大，在拉伸和簡單剪切變形模式下，其力學行為趨近于線彈性. Ritto等[7]進行了基于簡單剪切數(shù)據(jù)的超彈性本構(gòu)模型參數(shù)擬合，其研究成果指出，擬合誤差控制在0.2以內(nèi)，就代表了較高的擬合精度. 由表2可知，三階(擬合誤差0.0979)和五階的減縮多項式模型(擬合誤差0.0590)具備了較好的擬合精度，相較而言，五階減縮多項式本構(gòu)模型的擬合精度更高，但是更高階數(shù)的本構(gòu)模型在仿真分析時會帶來較嚴重的收斂性問題，因此，對于柔性O(shè)LED屏幕的應(yīng)力管控問題，本文推薦采用三階減縮多項式本構(gòu)模型進行研究.

圖1 一階減縮多項式本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.1 Fitting result of the first-order reduced polynomial model

圖2 三階減縮多項式本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.2 Fitting result of the third-order reduced polynomial model

圖3 五階減縮多項式本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.3 Fitting result of the fifth-order reduced polynomial mode

圖4 Arruda-Boyce本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.4 Fitting result of the Arruda-Boyce model

4 結(jié)語

基于應(yīng)變能函數(shù)的超彈性模型是描述材料超彈性行為的一種有效方法. 本文采用DMA和流變儀準確測得了OCA膠材在拉伸和簡單剪切變形模式下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，為構(gòu)建膠材的超彈性模型準備了充足的原始數(shù)據(jù). 以減縮多項式模型和Arruda-Boyce模型作為OCA膠材的應(yīng)變能函數(shù)，推導了兩種模型在拉伸和簡單剪切變形模式下的應(yīng)力應(yīng)變公式，并使用Levenberg-Marquardt算法，實現(xiàn)了同時運用單軸拉伸與簡單剪切數(shù)據(jù)，完成本構(gòu)模型的參數(shù)擬合. 通過Druker穩(wěn)定性評估，最終篩選出了與實驗吻合精度高的本構(gòu)模型及相應(yīng)參數(shù). 該理論算法可適用于一般膠黏劑材料的超彈性本構(gòu)模型構(gòu)建及參數(shù)擬合.