熊承義，龔忠毅，高志榮，張夢杰

(1中南民族大學 電子信息工程學院 智能無線通信湖北省重點實驗室， 武漢 430074；2中南民族大學 計算機科學學院， 武漢 430074)

近年來，壓縮感知(CS)理論[1-3]作為一種新的信號采樣理論受到了國內外學者廣泛的關注，其在信息論、圖像處理、無線通信等領域具有廣泛的應用前景[4-6].不同于香農采樣理論，CS理論指出，如果信號x∈RN在某個變換域Φ能被稀疏表示，則通過少量的隨機觀測值y∈RN可準確重構原始信號x.換言之，雖然在M=N時,應由觀測值y重構原始信號x是一個病態(tài)的欠定問題，無法確定唯一解，但是在信號滿足稀疏性且觀測矩陣滿足有限等距原則[2](RIP)時，由降維觀測值y可高概率地準確重構原始信號x.壓縮感知信號重構的數(shù)學模型可表示為：

(1)

其中：Φ為稀疏變換矩陣；H為測量矩陣；‖·‖p表示取p范數(shù).

對于自然圖像，如果直接對整幅圖像進行壓縮感知觀測，由于其觀測矩陣的維度會很大，因此帶來對觀測矩陣的存儲規(guī)模太大以及計算復雜.為了有效降低重構算法的復雜度，Gan在文獻[7]中提出了基于圖像分塊的壓縮感知(BCS)，有效減小了觀測矩陣的維度和重構的計算復雜度.基于BCS的壓縮感知圖像重構模型的數(shù)學表示為：

(2)

其中xi表示圖像中第i個圖像塊.

BCS算法先將原始圖像x分成很多個彼此不重疊的小塊圖像，再對每一個小塊圖像進行獨立觀測，觀測矩陣的維度不再隨著原圖像x維度的增加而增加，降低了對觀測矩陣存儲代價及計算復雜度.然而，塊獨立的分塊壓縮感知重構通常會出現(xiàn)較嚴重的方塊效應.針對該問題，文獻[8]通過采用具有平滑作用的維納濾波，提出了基于分塊采樣與平滑Landweber投影的壓縮感知重構方法.通過采用迭代的變換域濾波處理，實現(xiàn)了在圖像即使采用較小分塊壓縮感知時也能得到較好重構效果.

為了更好提升信號壓縮感知重構的準確性，得到更高質量的重構信號，探求更好的采樣信號，稀疏表示是其中關鍵；而對于圖像信號的壓縮感知重構，如何充分利用圖像信號具有的局部相似和非局部相似，更好地提升對圖像的稀疏表示能力，進一步有效提升圖像重構質量，是近年該研究領域的重要方向，比如基于全變差(TV)的方法[9]、基于多假設(MH)的方法[10]、基于非局部相似(NLS)的方法[11,12]等.然而，以往方法大多簡單地直接利用圖像信號經過某種變換后的稀疏性來約束重構，導致圖像中存在的微小而重要的細節(jié)信息丟失.即盡管在一般情形下，較小的稀疏表示系數(shù)比起大的稀疏表示系數(shù)的損失對于圖像質量的影響更小，但如果圖像信號中存在重要而非顯著目標，保留該目標在圖像稀疏變換域對應的較小系數(shù)對于保留相應細節(jié)信息十分重要.

自然圖像信號一般具有非平穩(wěn)的特性，圖像中的不同圖像塊會表現(xiàn)不同的分布特性.實際上，具有非平穩(wěn)特性的自然圖像信號在變換到稀疏域時，不同圖像塊的變換域系數(shù)也呈現(xiàn)服從不同分布模型[13]的先驗.基于以上考慮，本文提出了一種基于分塊圖像子帶自適應稀疏表示規(guī)則化的壓縮感知圖像重構方法.具體來說，首先利用非局部相似塊組估計每個分塊圖像變換域各子帶系數(shù)的均值和標準差，再將圖像塊各子帶系數(shù)進行去均值并關于標準差歸一化，最后將去均值歸一化處理的子帶系數(shù)的li范數(shù)表示用于規(guī)則化壓縮感知重構.

1 塊子帶自適應稀疏表示規(guī)則化的壓縮感知重構

自然圖像信號一般具有非平穩(wěn)的特性，不同圖像塊的變換域各子帶系數(shù)通常服從不同的統(tǒng)計分布特性.為更好保留非顯著而重要目標的紋理細節(jié)信息，區(qū)別對待不同圖像子塊的小的變換系數(shù)十分必要，故提出利用圖像分塊的稀疏系數(shù)進行自適應去均值歸一化后規(guī)則化壓縮感知重構的思想.具體重構模型如下：

(3)

其中：xk=R(x)為提取的第k圖像塊；R(·)為圖像塊提取算子；Φk是利用主成分分析(PCA)學習的自適應字典[13]；μk和σk分別是第k圖像塊變換域子帶的均值和標準差，其值通過對提取xk的一組非局部相似塊組的變換域系數(shù)進行統(tǒng)計估計.

式(3)的求解采用分裂布雷格曼迭代(SBI)算法[14]實現(xiàn).通過引入輔助變量u等價表示x，則式(3)改寫為：

(4)

利用SBI算法求解，(4)式可分解為如下兩個子問題：

(5a)

(5b)

其中：t表示迭代次數(shù)；μ為規(guī)則化參數(shù)；b為SBI迭代過程中的迭代參數(shù)，在每次迭代中進行更新，具體為：

b(t+1)=b(t)-(u(t+1)-x(t+1)).

(5c)

1.1 u子問題求解

對于u子問題，實質是求解一個二次函數(shù)最小問題，其解可通過求函數(shù)的導數(shù)為零得到，即：

u=(HTH+μI)-1(HTy+μx(t)+μb(t)),

(6)

其中I為單位矩陣.為避免計算中的矩陣求逆運算，降低計算的復雜度，式(6)的計算可采用梯度下降法迭代式(7)實現(xiàn)：

(7)

式中d是式(6)的梯度，η是梯度下降步長.因此，式(7)也可進一步重寫為：

(8)

式(8)中的HTH和HTy只需要計算一次，因此極大降低了計算復雜度.

1.2 x子問題

在求解x子問題時，u已經由上一步計算得到.為了簡化表示，令r=u-b，則式(5b)等價于：

(9)

利用大數(shù)定理可證明：

(10)

其中c1為常數(shù).于是，若令αk=Φkxk,βk=Φkrk，則有：

(11)

于是，式(9)等價于：

(12)

其中c=μ·c1，式(12)可利用軟閾值收縮法實現(xiàn)如下：

sgn(βk-μk),

(13)

在系數(shù)進行軟閾值處理后，恢復的圖像塊可進一步由式(14)通過求逆變換得到：

(14)

最后，根據(jù)恢復得到的所有圖像塊xk，將它們放回圖像的原始位置，然后通過求加權平均，還原整幅圖像x，即：

(15)

其中：RT(·)為R(·)的轉置算子；B×B為分塊圖像xk的維數(shù).

2 實驗結果與分析

為驗證本文算法的有效性，利用壓縮感知中常用的測試圖像(Vessel, Leaves, Lena, Boats和Cameraman，除Vessel大小為256×256外，其余4幅圖像的大小為96×96)進行實驗.為降低計算復雜度，本文方法也采用了基于分塊的壓縮感知框架，分塊大小為×.與當前主流的同類壓縮感知重構算法進行了對比，包括全變差(TV)算法[9]、多假設(MH)算法[10]、協(xié)同稀疏表示(RCoS)算法[11]、組稀疏表示(GSR)算法[12].實驗平臺為Matlab2008b，硬件條件為Intel雙核處理器、頻率為3.40 GHz、內存為4.00 Gb，操作系統(tǒng)為Windows 7(64 bit).每個算法包含大量參數(shù)設置與自適應調整過程，在測試過程中所使用的算法參數(shù)均為原作者在相應論文中給出的最佳參數(shù)設置.

在實驗中采用峰值信噪比(PSNR)和主觀視覺效果來評價算法的重構性能.PSNR越高，重構效果越好.本文算法(PBASR)的參數(shù)設置如下：規(guī)則化參數(shù)λ=0.09，μ=0.0025；非局部相似組中塊的大小為6×6，組中相似塊數(shù)目為60，搜索相似塊的窗口大小為20×20；由于梯度下降步長η設置不當會導致收斂過慢或不收斂的現(xiàn)象，因此η的大小通常與梯度有關，具體設置方法與GSR算法相同.

實驗中設定采樣率分別為0.1，0.2，0.3，不同采樣率下各種算法的PSNR性能比較結果如表1所示.由表1可見：PBASR算法對所有測試圖像均能得到更好的重構效果.在不同采樣率下，本文算法在5幅不同的測試圖像的平均PSNR相比TV算法、MH算法、RCoS算法、GSR算法分別提高3.56，3.73，1.80，0.69 dB，其中基于圖像相似塊組稀疏性的RCoS算法和GSR算法重構效果最好.

表1 不同采樣率下幾種重構算法PSNR性能比較Tab.1 PSNR performance comparison of several reconstruction algorithms under different sampling rates

為比較各種重構算法的主觀視覺質量，給出了在采樣率為0.1時不同算法的重構圖像，結果見圖1和圖2.

圖1 測試圖像Monarch在0.1采樣率下不同算法的重構圖像Fig.1 Reconstructed image of Monarch with different algorithms at 0.1 sampling rate

由圖中可見，本文算法對圖像紋理細節(jié)具有更好的重構效果.由于TV算法僅利用圖像平滑性先驗知識，重構圖像過于平滑，低采樣率下，有明顯的油畫效果.利用相似塊組稀疏表示先驗的壓縮感知重構算法重構效果較好，RCoS算法和GSR算法是其中的典型代表，GSR算法在同類算法中性能表現(xiàn)最好.比較結果可見：本文方法通過對圖像塊的變換域系數(shù)進行歸一化處理后，稀疏表示規(guī)則化重構，保留了圖像弱小高頻紋理細節(jié)信息，明顯改善了重構圖像視覺質量.

3 結語

由于自然圖像信號一般具有非平穩(wěn)的特性，不同圖像塊的不同子帶的統(tǒng)計分布特性具有較大差異，因此直接利用整幅圖像統(tǒng)一分布模型下的稀疏表示約束CS重構，圖像中的微小而重要的細節(jié)信息容易丟失，重構質量難以令人滿意.本文利用分塊圖像的變換域系數(shù)在歸一化后具有較好一致性統(tǒng)計分布特性的先驗，提出了基于自適應塊歸一化稀疏表示的CS圖像重構方法.基于圖像塊的自適應去均值歸一化更加合理地表達了稀疏系數(shù)的重要性，在圖像恢復中更好地保留了圖像弱小目標及圖像邊緣和紋理細節(jié)信息，獲得了更好的圖像重構效果.

圖2 測試圖像Cameraman在0.1采樣率的重構圖像Fig.2 Reconstructed image of Cameraman with different algorithms at 0.1 sampling rate