蔡愛(ài)欽

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)上有關(guān)高考試題的信息也越來(lái)越豐富.如何在有限的時(shí)間內(nèi)更有效地開(kāi)展復(fù)習(xí)工作，提高復(fù)習(xí)課的效率，應(yīng)付更加復(fù)雜多變的命題方向呢？筆者認(rèn)為只有讓學(xué)生更加扎實(shí)地掌握基本技能和基礎(chǔ)方法，提升數(shù)學(xué)思維的素養(yǎng)，才能應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的高考試題.從講題到探題，力圖通過(guò)自身課堂教學(xué)方式的改變，提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

平面向量是數(shù)學(xué)的重要概念和工具，利用它可有效解決很多問(wèn)題.向量具有幾何和代數(shù)雙重性，與幾何和代數(shù)關(guān)系密切.平面向量作為數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn)，它在立體幾何、三角、數(shù)列等各種知識(shí)模塊中都可能出現(xiàn)，是連接眾多知識(shí)的橋梁，向量的引入大大拓寬了解題的思路與方法，使它在研究其它許多問(wèn)題時(shí)獲得廣泛的應(yīng)用.因此，本文通過(guò)一道向量高考題的探究和延伸，揭示向量方法的內(nèi)在本質(zhì)，提高學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的認(rèn)識(shí).

分析本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了向量的模、數(shù)量積，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸轉(zhuǎn)化等思想.由兩定點(diǎn)A，B滿足OA|=OB|=OA·OB=2，學(xué)生容易得到△OAB為等邊三角形.整題中較難分析的是點(diǎn)集{P|→OP=λ→OA+μ→OB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ

R）該怎樣轉(zhuǎn)化.

向量的解法從大方向講有兩種，即代數(shù)法和幾何法，因此此題可以嘗試從這兩方向來(lái)解題.

法1（代數(shù)法）通過(guò)建立直角坐標(biāo)系得到O，A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，聯(lián)立方程組解出λ和μ，再去絕對(duì)值得到4個(gè)二元一次不等式組，畫(huà)出平面區(qū)域求面積.

法2（代數(shù)法）方法l 容易想到，但去絕對(duì)值得到4個(gè)二元一次不等式組畫(huà)出平面區(qū)域會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間，因此可以建完系后求OP·OA=4λ+2μ，→OP·→OB=2λ+4μ，兩式相加、相減求出λ+μ和λ-μ，再根據(jù)λ+μ和λ-μ的有界性得到x，y的范圍，即可求出面積.

法3（幾何法）首先考慮λ>0，μ>0的情況.因?yàn)棣?μ≤l，結(jié)合基本定理幾何意義，可知點(diǎn)P的軌跡是三角形AOB及其內(nèi)部，再討論其他情況，即可畫(huà)出點(diǎn)P的軌跡為一矩形，矩形面積就是點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積.

法4（特殊值法） 這是一道選擇題，當(dāng)一道題解不出來(lái)時(shí)，可以考慮利用選擇題的解題技巧，即臨界值法，先考慮|λ|+|μ|=l的情況.學(xué)生對(duì)λ+μ=l很熟悉，知道此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，再通過(guò)對(duì)稱性很容易畫(huà)出點(diǎn)P的邊界圖形，從而可以算出該區(qū)域所表示的面積.

這道向量題涉及了向量求解最常用的幾種方法，給我們解向量題提供了思路和方向.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身也是一個(gè)探究的過(guò)程，所以，如果我們對(duì)條件進(jìn)行改變，又能得到一些什么結(jié)論呢？

平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法是一種值得學(xué)生花費(fèi)時(shí)間、精力去掌握的一種方法，學(xué)好向量知識(shí)有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科.向量在高考中靈活多變，題型新穎，但只要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，多去探究，多去挖掘，掌握處理問(wèn)題的常用方法，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，定能在處理向量問(wèn)題時(shí)做到事半功倍.