鄧 進(jìn)
(湖南工程學(xué)院理學(xué)院,湖南 湘潭 411104)
三重積分的計(jì)算是多元積分學(xué)中的重要知識(shí)章節(jié)。 教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生往往反映難度很大;困難之處在于將三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分時(shí), 無(wú)法順利地確定累次積分的積分上限和積分下限。 一般教材和已有文獻(xiàn)多是介紹在直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算方法中的投影法和截面法,[2]介紹了在柱面坐標(biāo)下的投影法,即將積分區(qū)域投影到極坐標(biāo)面上的投影法。 但是, 柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法并不完善。 本文給出柱面坐標(biāo)中的新的投影的概念, 并進(jìn)一步探討在柱面坐標(biāo)下將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的投影法。
設(shè)M(x,y,z) 為空間內(nèi)一點(diǎn),并且設(shè)點(diǎn)M 在坐標(biāo)面xOy 上的投影M'的極坐標(biāo)為(r,θ),則有序三元數(shù)組(r,θ,z)就叫做點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo)(如圖1 所示)。
圖1 柱面坐標(biāo)系
這里規(guī)定r,θ,z 的變化范圍分別為:
0 ≤r<+∞,0 ≤2π,-∞ 由圖1 可知,點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)(x,y,z)和柱面坐標(biāo)(r,θ,z)的關(guān)系為: x=rcosθ,y=rsinθ,z=z 柱面坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)面分別為: r 為常數(shù):以z 軸為中心軸的圓柱面; θ 為常數(shù):過(guò)z 軸的半平面; z 為常數(shù):與xOy 面平行的平面. 不難知道, 柱面坐標(biāo)下三重積分的體積微元dv=rdrdθdz,因此利用可得柱面坐標(biāo)下三重積分的形式為: [2]中詳細(xì)介紹了柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法,即將積分區(qū)域投影到極坐標(biāo)面并進(jìn)一步將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分。 下面介紹一種新的投影法。 ②石孝友《卜算子》(見(jiàn)也如何暮):雙調(diào)44字,上闋4句3仄韻,下闋4句3仄韻。句式:5575。5575。 圖2 在半平面內(nèi)的投影示意圖 定義1 設(shè)θ=θ0為固定的半平面,過(guò)點(diǎn)M 作垂直于z軸的平面,該平面與z 軸的交點(diǎn)為O',在該平面內(nèi)以O(shè)'為 圓 心, 以|O'M|為 半 徑 作 圓 交 半 平 面θ=θ0于 點(diǎn)M',稱點(diǎn)M'為點(diǎn)M 在半平面內(nèi)θ=θ0的投影(如圖2 所示)。 將空間區(qū)域Ω 內(nèi)任一點(diǎn)均投影到半平面θ=θ0上,得到空間區(qū)域Ω 在半平面θ=θ0上的投影區(qū)域D。 一般而言,選取θ=0 為所需的固定半平面。 此 時(shí), 區(qū) 域Ω 的 邊 界 面 上 有 兩 個(gè) 曲 面θ=θ1(r,z),θ=θ2(r,z)此外,還有可能有一部分是以為中心軸,由投影區(qū)域D 的邊界曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)曲面的一部分。 如圖3 和圖4 所示的兩種情況。 圖3 區(qū)域Ω 的邊界面(情形1) 圖4 區(qū)域Ω 的邊界面(情形2) 因此, 空間立體Ω 的質(zhì)量可以看作密度不均勻的平面薄片D(r,z)的質(zhì)量,只需要求出面密度ρ(r,z)即可。 而對(duì)區(qū)域D(r,z)內(nèi)的任一點(diǎn)(r,z), 從而 因此, 進(jìn)一步,可將外層的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分。 如果投影區(qū)域D(r,z)表示為 則 從而,把三重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)θ,再對(duì)z,最后對(duì)r的三次積分。 如果投影區(qū)域D(r,z)表示為 則 從而,把三重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)θ,再對(duì)r,最后對(duì)z的三次積分。 特別地,如果積分區(qū)域?yàn)椋?/p> Ω={(r,θ,z)|α ≤θ ≤β,α ≤r ≤b,c ≤z ≤d} 則三重積分可轉(zhuǎn)化為: 綜上所述, 柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法可以總結(jié)為一句口訣,即“一投二交三積分”。 在上面公式的推導(dǎo)中, 假定了垂直于z 軸的平面內(nèi)任意以z 軸和該平面的交點(diǎn)為圓心的圓弧與空間區(qū)域Ω 的邊界曲面相交于不超過(guò)兩點(diǎn)(位于Ω 的邊界上的圓弧除外)。 實(shí)際上,對(duì)于更一般的情況以上公式同樣成立, 只需要將分為若干個(gè)滿足上述條件的區(qū)域的和, 然后利用三重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性計(jì)算即可。2 投影法