秦澍祺 王國勝 梁 冰

（1.陸軍裝甲兵學(xué)院兵器與控制系，中國 北京 100072；2.江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引言

四旋翼是一個(gè)具有高機(jī)動(dòng)的、非線性的、耦合的和欠驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)。 所以許多研究人員設(shè)計(jì)了各種的線性、 非線性或者混合控制技術(shù)來控制四旋翼飛行器。比如傳統(tǒng)的PID 控制器[1]、反步法控制器[2]、滑膜控制器[3]、模型預(yù)測控制器[4]和的線性二次型[5]控制器等。這些控制器一般使用恒定的控制增益作為狀態(tài)反饋控制， 專注于對四旋翼無人機(jī)的穩(wěn)態(tài)控制而不是軌跡或者目標(biāo)跟蹤的精度。 本文則提出使用線性二次型跟蹤器（LQT），通過軌跡來調(diào)節(jié)控制增益從而更好追蹤期望軌跡。 同時(shí)與線性PID 和LQR 控制器作為對比，三者都在狀態(tài)估計(jì)上加入了相同的白噪聲干擾模擬實(shí)際環(huán)境。

1 模型建立與線性化

四旋翼飛行器模型考慮為線性定常系統(tǒng)， 狀態(tài)矩陣A、B、C 和D 都為靜態(tài)的不隨時(shí)間改變。定義如下：

x 為狀態(tài)向量，y 為輸出向量，u 為輸入向量，根據(jù)文獻(xiàn)[6]建立的四旋翼模型，線性化后狀態(tài)空間矩陣A、B 為：

其 中，12 維 狀 態(tài) 量[x y z u v w φ θ ψ p q r]T包括位置、速度、角度、角速度。CT，CM為升力系數(shù)和力矩系數(shù)，[Ixx,Iyy,Izz] 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，we為懸停時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速，d為機(jī)臂長度，m,g 是質(zhì)量與重力加速度。

2 LQT 控制器

首先需要將連續(xù)時(shí)間的線性定常系統(tǒng)離散化，將式（1）離散化，采樣時(shí)間為0.01 秒，離散系統(tǒng)如下所示：

在式（3）中，Ad,Bd和Cd分別為離散時(shí)間的狀態(tài)、輸入和輸出矩陣?！発”表示離散時(shí)間步長k=1,2,……，kf,k ∈Z+。 根據(jù)文獻(xiàn)[7-9]中離散時(shí)間線性二次跟蹤系統(tǒng)，定義最小化性能代價(jià)函數(shù)Jd：

其中F 和Q 為狀態(tài)權(quán)重矩陣都為對稱的正半定矩陣，R 為控制權(quán)重矩陣也為對稱的正半定矩陣。r(k)是時(shí)變的軌跡狀態(tài)向量，k 為時(shí)間步長遵循期望的軌跡，kf為期望軌跡最后一個(gè)時(shí)間步長。

求解LQT 時(shí)變增益方程式組如下：

式（5）可以通過最終的狀態(tài)反向遞歸求解

則最終控制輸入為：

3 仿真實(shí)驗(yàn)對比

四旋翼飛行器軌跡采用五階多項(xiàng)式規(guī)劃軌跡[10]，其中速度與加速度端點(diǎn)處為0。包括以下端點(diǎn)(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1),(0,0,0)，三個(gè)控制器仿真如下所示：

圖1 方向軌跡跟蹤仿真結(jié)果

上圖是在相同的白噪聲條件下使用三個(gè)控制器分別追蹤相同的軌跡。

表1 控制器軌跡誤差均方根誤差

根據(jù)表1 均方根誤差對比，LQR 控制器在位置精度上相對于PID 分別提升了31.5%、31.8%、18.6%，而LQT 控制器在位置精度上相對于PID 則分別提升了65.2%、65.4%、93.4%。 因 此，LQT 控 制 器 在 軌 跡 跟 蹤精度上非常明顯的好于另外兩個(gè)控制器。

4 總結(jié)

本文主要針對四旋翼無人機(jī)估計(jì)追蹤設(shè)計(jì)了離散時(shí)間的LQT 控制器， 控制器使用了時(shí)變的控制增益。首先， 通過建立非線性的四旋翼動(dòng)力學(xué)模型并將其線性化和離散化。 然后， 根據(jù)軌跡和利用黎卡提方程反向遞歸求出時(shí)變的最優(yōu)控制增益。 從仿真結(jié)果來看，LQT 控制器在軌跡跟蹤精度上相對于PID 和LQR 控制器有大幅度的提升，該算法跟蹤軌跡較為精確。