朱經(jīng)亞
(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)
輕繩、均質(zhì)剛體桿、單擺、復(fù)擺是中學(xué)物理和大學(xué)普通物理中非常常見的模型,對于參加全國中學(xué)生物理奧林匹克競賽復(fù)賽和決賽的同學(xué)更是司空見慣。近年來競賽題目多由大學(xué)教師命題,題目多與大學(xué)教師科研題目相結(jié)合,模型呈現(xiàn)出復(fù)雜化的趨勢。2016年決賽[1]的題目2比較另類,直接把常見的單擺中質(zhì)點改為勻質(zhì)剛體桿,模型可謂非常簡單,并且在現(xiàn)實生活中用一條繩子和一根筷子就可做簡單的實驗。該問題對于培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的習(xí)慣、靈活運用物理知識解決問題的能力具有重要意義。下文第1部分我們首先引用和描述該題目;然后第2部分簡單闡述該題目的多種解題方法,并用守恒定律、牛頓定律的方法簡要給出結(jié)果;第3部分對繩和桿近似共線的情況做重點分析,并給出數(shù)值模擬結(jié)果;第4部分小結(jié)。
如圖1(a),AB為一根勻質(zhì)細(xì)桿,質(zhì)量為m,長度為l2;桿上端B通過一不可伸長的軟輕繩懸掛到固定點O,繩長為l1。開始時繩和桿均靜止下垂。此后所有運動均在同一豎直面內(nèi)進(jìn)行。
圖1 題目原圖[1],包括圖1(a)和圖1(b)
(1) 現(xiàn)對桿上的D點沿水平方向施加一瞬時沖量I,若在施加沖量后的瞬間,B點繞懸點O轉(zhuǎn)動的角速度和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度相同,求D點到B點的距離x和B點繞懸點O轉(zhuǎn)動的初始角速度ω0。
(2) 設(shè)在某時刻,繩和桿與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2(如圖1(b)所示),繩繞固定點O和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度分別為ω1和ω2,求繩繞固定點O和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角加速度α1和α2。
題目第一問較為簡單,這里直接給出結(jié)果
下面主要看第二問。解決一個經(jīng)典力學(xué)問題,一般可以采用牛頓定律或轉(zhuǎn)動定理、三大守恒定律或定理、拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)、哈密頓原理等多種方法[2],下面我們就對用這些方法解決該問題做簡要的闡述。
參考系選擇可以采用慣性參考系,也可以采用非慣性參考系。對于慣性參考系,可以采用水平豎直方向的坐標(biāo)系,也可以采用沿桿方向的坐標(biāo)系,或者沿繩方向的坐標(biāo)系。其中沿繩方向的坐標(biāo)系相對較為簡便,首先進(jìn)行受力分析,由牛頓定律、轉(zhuǎn)動定理列出3個方程,然后由其中兩個方程解得繩中的張力T和桿的角加速度α2,再代入第三個方程解得繩的角加速度α1。對于非慣性參考系,以B點為坐標(biāo)原點,建立隨B點運動的動坐標(biāo)系,引入慣性力來解決問題。
該系統(tǒng)沒有摩擦,所以機(jī)械能守恒。由于只有桿有質(zhì)量,故機(jī)械能應(yīng)包括桿的平動動能、轉(zhuǎn)動動能,以及桿和地球之間的重力勢能。O點固定,以O(shè)點為參考點,繩的張力力矩始終為零,只有重力有沖量矩,可利用角動量定理。因題目要求的是角加速度,所以機(jī)械能、角動量都需要對時間求一階導(dǎo)數(shù),從而可列出兩個方程,解得兩個角加速度。守恒定律方法不需考慮內(nèi)力,較之牛頓定律方法簡單。
采用拉格朗日力學(xué)的一般方法,該系統(tǒng)有兩個自由度,可以先選定兩個廣義坐標(biāo),寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),然后求一階和二階導(dǎo)數(shù),利用拉格朗日方程可列出兩個方程,從而求得兩個角加速度。拉格朗日力學(xué)的一般方法較牛頓定律方法分析過程簡單,但數(shù)學(xué)計算過程比守恒定律方法復(fù)雜一些。對于這個問題,因為系統(tǒng)為完整、保守、穩(wěn)定系統(tǒng),且拉格朗日函數(shù)不顯含時間t,所以系統(tǒng)的廣義能量,也即系統(tǒng)的機(jī)械能為運動積分/守恒量[3,4];再利用一個拉格朗日方程,即可求出兩個角加速度。這個拉格朗日力學(xué)的特殊方法最后還是歸結(jié)到運用守恒定律。
按照哈密頓力學(xué)的一般方法,可以先選定兩個廣義坐標(biāo),寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),進(jìn)而寫出哈密頓函數(shù),哈密頓函數(shù)為關(guān)于兩個廣義坐標(biāo)、兩個廣義動量的函數(shù)。根據(jù)哈密頓正則方程,可得到4個一階微分方程組,從而可解得兩個偏轉(zhuǎn)角、兩個角速度的表達(dá)式,對角速度求一階導(dǎo)數(shù)即可得到角加速度。哈密頓力學(xué)方法所需求解方程個數(shù)比拉格朗日方法多一倍,一般情況下更為復(fù)雜。
哈密頓原理是經(jīng)典力學(xué)最基本原理之一,在保守系統(tǒng)中可由哈密頓原理推導(dǎo)出拉格朗日方程、哈密頓正則方程、牛頓第二定律,所以原則上也可從哈密頓原理出發(fā)來解決這個問題。但實際上,從哈密頓原理出發(fā)最終還要歸結(jié)到以上幾種方法。
通過對以上多種方法的分析,可看到,最簡便直接的方法是機(jī)械能守恒定律和角動量定理方法,下面簡要給出這個守恒定律方法的過程。
桿的總角動量為
(3)
由角動量定理
(4)
桿的總機(jī)械能為
(5)
由機(jī)械能守恒知
(6)
由式(3)~式(6)得到
聯(lián)立式(7)、式(8)可解得
(9)
與守恒定律方法相比,牛頓定律方法需要考慮內(nèi)力,過程較為繁瑣,且方向等問題較易出錯,在此我們也簡單列出在慣性參考系沿繩坐標(biāo)系中用牛頓定律的方法作為對比。在O、B、A3點所在的豎直平面內(nèi),以O(shè)為原點、沿繩斜向上的射線為y軸、垂直于繩斜向右的射線為x軸,建立平面坐標(biāo)系。桿的質(zhì)心C的加速度(aCx,aCy)滿足質(zhì)心運動定理
(10)
式中,T是繩的張力的大小。同時,桿在繩張力T相對于桿的質(zhì)心的力矩作用下繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動,由轉(zhuǎn)動定理得
(11)
由繩的幾何關(guān)系得B點的加速度為
(12)
由桿的幾何關(guān)系還可得B點的加速度為
(13)
由式(10)~式(13),消去B、C點的加速度,可得3個方程,聯(lián)立3個方程即可解得兩個角加速度α1和α2和繩中張力T。
由題目結(jié)果式(9)可看出,一般情況下繩和桿的擺動應(yīng)該是不規(guī)則的,這一點也可做簡單實驗來驗證。但是通過不同情形多次測試,會發(fā)現(xiàn)在某些條件下繩和桿的擺動會呈現(xiàn)出規(guī)律性,比如繩和桿近似共線同步擺動。鑒于此,可再對題目追加一問:定性分析繩和桿在運動中近似共線的條件,并定量求繩和桿近似共線情況下在不太長時間內(nèi)繩、桿與豎直方向的夾角θ(t)。
對于這一個問題,首先可以想象,假設(shè)桿無限短,則系統(tǒng)可近似為單擺;假設(shè)繩和桿一直共線,則桿上的每一小段都可看做單擺的擺子。由單擺的運動規(guī)律經(jīng)驗,可以判斷,繩和桿擺角幅度應(yīng)該比較小,桿上每一點也即繩和桿的初始角速度應(yīng)該相等,桿相對于繩應(yīng)該較短。
若微小瞬時沖量I施加后繩和桿在運動中近似共線,則可考慮做近似處理,視桿和繩嚴(yán)格共線:則二者以相同角度擺動,繩上各點之間、以及與桿上各點之間相對距離不發(fā)生改變,即在運動過程中繩與桿構(gòu)成一個剛體,由此問題得以簡化。在該剛體的質(zhì)心C運動到最高點的過程中,剛體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,有
(14)
式中,θm是繩與豎直方向的最大夾角。由題意,初始沖量I微小,則θm應(yīng)很小,有
(15)
該剛體運動過程中,僅重力對其產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩M,且繩與豎直方向的夾角θ≤θm,故θ應(yīng)很小
(16)
由剛體轉(zhuǎn)動定理得
(17)
由式(16)、(17)式得
(18)
式中ω是一個常量
(19)
由式(18)、(19)知,剛體做簡諧振動,解為
θ=θmcos(ωt+φ0)
(20)
其振動角頻率ω由式(19)確定;由式(14)~式(17)和初始條件得,振幅θm和初相位φ0分別為
(21)
至此,題目得以解決。但是我們判斷的繩和桿近似共線的條件是否正確,以及假設(shè)繩和桿嚴(yán)格共線的近似結(jié)果是否與實際相符,還存在一定疑慮。為了檢驗以上的判斷和近似處理方法,可以采取實驗定性檢驗和理論模擬[5-7]檢驗。實驗所需器材非常簡單,一根繩子和一根筷子就可以做定性判斷。通過實驗,證實了我們判斷的正確性。對于理論模擬,我們考慮了表1中所列5種情況,利用公式(9)的兩個二階微分方程,用Mathematica進(jìn)行數(shù)值模擬、繪圖,相當(dāng)于理想的真實運動情況。作為對比,還給出了假設(shè)嚴(yán)格共線的近似計算結(jié)果,在表1中還利用式(1)、(2)、(19)、(21)給出了沖擊點位置、初始角速度、周期、最大擺角。模擬結(jié)果展示在圖2~圖12中,其中黑色曲線為假設(shè)繩和桿嚴(yán)格共線的近似結(jié)果,為標(biāo)準(zhǔn)的正弦/余弦曲線;灰色曲線反映了繩與近似結(jié)果的偏差;虛曲線反映了桿和繩的偏差。
由圖2~圖4可看出,在10s(約9個周期)內(nèi)P1情形下繩和桿的擺角、角速度差別較小,并且與假設(shè)嚴(yán)格共線情形下得到的結(jié)果符合程度很高;角加速度雖然與假設(shè)嚴(yán)格共線擺動的近似結(jié)果也近似相等,但繩和桿之間可能會有相對較大的差別。這是由于與剛體桿復(fù)擺類似,繩、桿的內(nèi)力及相互作用力約束了繩、桿近似共線,近似做簡諧擺動;只是繩的約束效果弱于剛體桿,自由度大一些,所以繩和桿的角加速度可能會有較大的差別。
表1 用Mathematica進(jìn)行數(shù)值模擬所考慮的5種情況,選定x使繩和桿的初始角速度相同,并假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線計算出初始角速度、最大擺角、擺動周期
圖2 P1情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t),灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t),虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)
圖3 P1情形下的繩、桿的角速度變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角速度差曲線為桿與繩的角速度差
圖4 P1情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差
由圖4~圖6可以看出,桿相對于繩越短,它們的角加速度差別越小。這是由于桿相對于繩越短,該繩桿復(fù)合擺越接近于單擺,繩和桿的角加速度也越接近于單擺的角加速度,所以繩和桿的角加速度越接近。實際上,假設(shè)繩、桿嚴(yán)格共線統(tǒng)一描述了單擺和復(fù)擺的情況,只是當(dāng)桿相對于繩較長時所需繩和桿之間的約束力就相對較大一些,由轉(zhuǎn)動定理知它們的角加速度差別也就越大。
圖5 P2情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差
圖6 P3情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差
圖7 P4情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為40s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t),灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t),虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)
圖8 P1情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為40s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t),灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t),虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)
圖9 P2情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為40s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t),灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t),虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)
圖7~圖9反映了較長時間(幾十個周期)內(nèi)繩、桿擺角隨時間的變化關(guān)系。由此可以看出,較長時間內(nèi)桿和繩仍能保持近似共線,但假設(shè)嚴(yán)格共線得到的擺角變化結(jié)果卻和實際情況有所偏差。桿相對于繩越短,偏差越不明顯。這是由于繩桿復(fù)合擺實際自由度為2,假設(shè)嚴(yán)格共線我們只考慮了桿繞固定點擺動一個自由度,實際上還有桿在每時刻的共線位形附近做微振動這個自由度。由機(jī)械能守恒知桿的微振動不改變最大擺角,但使得擺動平均角速率減慢,所以相對于嚴(yán)格共線情況擺動周期偏大,隨著時間的積累將會出現(xiàn)較大偏差。桿相對于繩越長,桿的轉(zhuǎn)動慣量越大,需要考慮的微擾效應(yīng)也就越大,該微擾效應(yīng)在改變角加速度和角速度上較明顯,擺角上的偏差則在較短時間(幾個周期)內(nèi)相對不太明顯。圖10~圖12為桿長遠(yuǎn)大于繩長的情況,很好地說明了這個問題。
圖10 P5情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為60s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t),灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t),虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)
圖11 P5情形下的繩、桿的角速度變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為60s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角速度差曲線為桿與繩的角速度差
圖12 P5情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時間,長度為60s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差
本文從一道全國中學(xué)生物理奧林匹克競賽題目出發(fā),研究了繩桿復(fù)合擺的問題。首先引用題目,然后簡要闡述各種解法,包括牛頓定律和轉(zhuǎn)動定理、守恒定律和定理、拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)、哈密頓原理等。接著對題目進(jìn)行拓展,重點分析了繩桿近似共線的問題,包括近似共線的依賴條件、假設(shè)嚴(yán)格共線的近似處理方法及其與實際情況的偏差等,并對該問題進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)值模擬,以及通過繪圖形象地展示了我們的結(jié)論。
通過一系列分析和驗證,得出在繩桿復(fù)合擺系統(tǒng)中,繩和桿近似共線同步擺動的條件為:
(1) 沖量作用點一定,使得繩和桿初始角速度相同;
(2) 沖量較小,使得偏轉(zhuǎn)角度較小,實際上偏轉(zhuǎn)幅度小于0.5rad時線性都比較明顯;
(3) 桿長小于繩長。
滿足這3個條件時,繩桿近似共線,并且在短時間內(nèi)假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線是一個很好的近似。
值得注意的是,在以上條件下繩和桿的擺角、角速度都近似相等,并且?guī)资畟€周期內(nèi)與假設(shè)嚴(yán)格共線的近似結(jié)果符合較好。角加速度雖然與假設(shè)嚴(yán)格共線的近似結(jié)果也近似相等,但繩和桿之間可能會有相對較大的差別。特別是對于桿相對于繩較長的情況,角加速度、乃至角速度的偏差會較大。在長時間內(nèi),為了更精確地描述繩桿復(fù)合擺問題,尤其對于桿相對于繩較長時,應(yīng)該考慮桿在共線位形附近的微擾。