摘 要：本文首先分析傳統(tǒng)的曲面積分教學(xué)方法存在的三個弱點：學(xué)生學(xué)習(xí)主動性差、知識結(jié)構(gòu)混亂和不能解決實際問題，然后提出按照“問題—數(shù)學(xué)模型—計算—應(yīng)用”組織教學(xué)內(nèi)容，從“示范、模仿、討論與練習(xí)、總結(jié)、應(yīng)用探究”五個方面完成以課堂討論為主的教學(xué)方法。多次教學(xué)實踐結(jié)果表明該教學(xué)辦法能夠提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力、計算能力和解決應(yīng)用問題的能力，從而提升教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：曲面積分 討論式學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)模型

一、存在的問題分析

曲面積分是高等數(shù)學(xué)的重點和難點，在通行的教材[1]中將它分解到對面積的曲面積分、對坐標(biāo)的曲面積分和高斯公式（含通量與散度）三節(jié)中，教師講課時，基本上采用老師臺上講、學(xué)習(xí)課上（后）練的教學(xué)方法，勤奮的同學(xué)能夠?qū)W會解特定類型的數(shù)學(xué)計算問題，很多同學(xué)一團糟，即使考試通過也不會用，達(dá)不到學(xué)以致用的目的。

通過與學(xué)生和專業(yè)課教師交流和分析試卷后，我們發(fā)現(xiàn)以下問題：（1）學(xué)生不是課堂的主角，學(xué)習(xí)主動性很差；（2）老師講得太快，學(xué)生跟不上教師的節(jié)奏，從而放棄；（3）會算某些題，但遇到應(yīng)用問題就束手無策；（4）解題思路混亂，計算中錯誤百出。

分析這些問題，我們發(fā)現(xiàn)按照教程常規(guī)教學(xué)中的一些弱點：（1）學(xué)生不能主動融入課堂教學(xué)過程，課堂學(xué)習(xí)效果有折扣；（2）學(xué)生沒能有效地形成知識的組織結(jié)構(gòu)，故會解題思路混亂；（3）講授背景知識來源單一或?qū)罄m(xù)課程了解較少或不知如何應(yīng)用，只在高等數(shù)學(xué)的圓圈里轉(zhuǎn)，因此學(xué)生也就不會應(yīng)用。針對這些問題，經(jīng)過幾年的教學(xué)探索與實踐，認(rèn)為可以引入以討論式學(xué)習(xí)為主的教學(xué)方法和數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，可以部分避免這些弱點，提升教學(xué)效果。

二、教學(xué)方法與實踐過程

（一）依照教學(xué)目標(biāo)，重新設(shè)計教學(xué)過程

曲面積分的教學(xué)目標(biāo)是希望學(xué)生學(xué)習(xí)完成后不僅能夠計算書后的題目，還能從實際問題中建立曲面積分模型，然后利用曲面積分的計算方法得到結(jié)果。因此，我們將教材[1]中的三節(jié)內(nèi)容作為一個整體來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，沿著“問題—數(shù)學(xué)模型—計算—應(yīng)用”四個部分的進(jìn)行內(nèi)容組織，按照“示范、模仿、討論與練習(xí)、總結(jié)、應(yīng)用探究”五個方面完成教與學(xué)，并以課堂討論與總結(jié)為主要形式。

示范：教師主講，學(xué)生主學(xué)。教師利用元素法建立2-3個曲面積分模型，同時強調(diào)兩類曲面積分之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生主學(xué)。

模仿：學(xué)生動口動手動腦，教師指導(dǎo)。學(xué)生課堂討論并模仿老師的步驟建立2-3個曲面積分模型，并小結(jié)建模過程及關(guān)鍵點。

討論與練習(xí)：學(xué)生為主，教師引導(dǎo)。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生由簡到繁、由特殊到一般的次序討論曲面積分的計算問題，動手實際完成計算過程，并小結(jié)計算步驟和注意細(xì)節(jié)。

總結(jié)：教師與學(xué)生共同參與，學(xué)生為主，教師補充。先由學(xué)生在課堂上總結(jié)模型建立和求解的方法與步驟，教師補充完善，尤其注意計算方法的總結(jié)要細(xì)致、指導(dǎo)性強。

應(yīng)用探究：依照“問題-模型-求解”的流程，學(xué)生分組完成1-2個課外研究題目，并提交電子文檔；此階段學(xué)生為主完成，教師指導(dǎo)和監(jiān)控進(jìn)度。

（二）組織課堂討論，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)

課堂討論分為模型建立和模型求解即曲面積分的計算兩個階段。建模的題目可以涉及多個方面，如不規(guī)則曲面的壓力計算問題，球面的面積，圓環(huán)的表面積問題，具有特殊電荷分布的電場強度，通過某個曲面的光通量，通過水閘口的水流量等等，總之，通過對這些問題的討論，學(xué)生能夠模仿教師的示例建立曲面積分模型。在模型建立的時候不要直接選擇直角坐標(biāo)系，而是讓學(xué)生根據(jù)具體問題來進(jìn)行選擇。

曲面積分的計算是重點討論內(nèi)容，需要時間較多，要求每個學(xué)生都參與其中。具體過程：（1）教師不要直接要求學(xué)生去解決一個題目，而是引導(dǎo)學(xué)生分析所得的模型，全面了解曲面積分計算涉及的多個影響因素：被積函數(shù)、曲面及其方程、面積元素以及坐標(biāo)系；（2）教師引導(dǎo)學(xué)生討論并確定平面、圓柱面、圓錐面、球面、旋轉(zhuǎn)拋物面和一般曲面在不同坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程、法向量和面積元素表達(dá)式，建立起計算曲面積分的基本量及其相互的影響，并考慮被積函數(shù)的影響；（3）對教師給出的精選的例題進(jìn)行實際計算，強化通過討論獲得的知識。整個討論過程，教師要適當(dāng)引導(dǎo)但又不能操之過急，在學(xué)生討論情緒高漲時不要打斷它們，只需要提醒它們別偏離方向太遠(yuǎn)就行。

通過積極的課堂討論，可以促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)，形成曲面積分的自己獨特的知識結(jié)構(gòu)。

（三）注重總結(jié)，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)

總結(jié)有利于形成知識結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)化為學(xué)生的能力的重要步驟。學(xué)生必須參與知識、方法和步驟的總結(jié)過程，以完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)?？偨Y(jié)可在完成相關(guān)內(nèi)容的課堂討論以及每完成一部分教學(xué)內(nèi)容（如建模、計算）后進(jìn)行。先由學(xué)生進(jìn)行簡短的總結(jié)，然后由教師要對他們的總結(jié)進(jìn)行點評、提升和完善，因此總結(jié)是多方面、多階段完成的。

（四）增加課外探究題目，提升學(xué)生綜合能力

為了鞏固課堂學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生綜合能力，除了必備的計算題目外，我們還增加了多個課外探究題目，如利用曲面積分證明阿基米德浮力定律，利用曲面積分計算的電場強度、空間立體角等實際應(yīng)用性較強的題目，也有游泳圈的表面積、球面上多邊形的面積計算等數(shù)學(xué)味道的應(yīng)用題。對這些題目，讓學(xué)生分組討論完成，并提交電子文檔，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力以及人際交流能力和計算機能力。

三、教學(xué)效果

與傳統(tǒng)教學(xué)方法比較，學(xué)生通過本文的教學(xué)過程的收獲更多：“更深刻地理解了dS、dxdy、dydz、dzdx之間的關(guān)系，更深入地體會如何根據(jù)曲面選擇合適的坐標(biāo)系計算曲面積分”，“通過探究題目，對高斯公式有了更深層次的理解”，“對曲面積分的應(yīng)用有了深刻了解，學(xué)會了用曲面積分知識去處理一些應(yīng)用問題”等；同時，學(xué)生在期末考試中曲面積分的題目的平均得分率也提升了近20%。因此，實行這種教學(xué)方法整體上是有一定效果的。

四、問題與思考

教學(xué)實踐中也遇到一些問題：（1）由于增加了不少課堂討論和探究內(nèi)容，占用學(xué)時數(shù)會增加；（2）合適的探究題目的選擇難度較大，不易把控；（3）由于傳統(tǒng)考試中不能考察學(xué)生的建模與應(yīng)用能力，只能增加平時成績的比例；（4）課堂討論需要學(xué)生先期預(yù)習(xí)或者自學(xué)相關(guān)內(nèi)容，有少部分學(xué)生辦不到，會降低他們課堂討論效果；（5）大多數(shù)同學(xué)容易接受該教學(xué)方法，但有少量學(xué)生確實不適應(yīng)，它們在期末考試中成績極低，如何兼顧這少量的學(xué)生需要更有效的辦法。

針對教學(xué)實踐中出現(xiàn)的這些問題，我認(rèn)為可以在教材編寫、學(xué)習(xí)效果考核、學(xué)生選課前的指導(dǎo)方面進(jìn)行改變，可能會部分消除這些問題。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)第七版下冊[M].高等教育出版社，2014：7.

作者簡介

張興元（1971.04—），男，漢族，籍貫：重慶忠縣，碩士，副教授，現(xiàn)就職于西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（峨眉），研究方向：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)教學(xué)。