王曉麗
數(shù)學是一門邏輯性與抽象性思維都很強的學科,在解析數(shù)學題時,需要應用一些數(shù)學思想方法,主要是利用一種數(shù)學規(guī)律來進行題目解析,能大大提高題目解析的正確率與解題效率。在數(shù)學題目解析過程中,常用的數(shù)學思想包含分類討論、化歸與轉化、函數(shù)與方程、數(shù)形結合思想等。在本次研究,針對函數(shù)思想在數(shù)學題解析中的應用情況展開分析,旨在為后續(xù)學生對函數(shù)思想的應用提供借鑒。
一、函數(shù)思想的基本概述
函數(shù)思想就是高中數(shù)學中的一種基本解題方法,是數(shù)學思想系統(tǒng)中的一員。函數(shù)思想就是一種運用運動與變化觀點、綜合集合與對應思想來處理數(shù)學問題等量關系,構建相應的函數(shù)關系,可利用函數(shù)圖像與性質來分析和轉化數(shù)學問題,能將數(shù)學題從復雜轉化為簡單,進而達到解決數(shù)學問題的目的。處理數(shù)學問題時,可從函數(shù)角度來審題與分析,主要將數(shù)學題目放置在一個動態(tài)環(huán)境之中去考查。可見,函數(shù)思想對于數(shù)學題目解析而言意義重大,成為當前常見的一種數(shù)學題處理策略。應用函數(shù)思想,便于簡化數(shù)學題目求解過程,此類思想廣泛的被應用在綜合性強的題目處理與解答上。使用函數(shù)思想來解題,需要從量的關系上著手,旨在探求事物運動的基本發(fā)展規(guī)律,從而把握事物間所存在的聯(lián)系。使用函數(shù)思想來進行題目的解析,應將常量看作變量,把離散性數(shù)據(jù)看作成連續(xù)性的數(shù)據(jù),結合實際情況設定函數(shù)關系模型,能把具體問題及時轉化成一定的輔助性函數(shù)。函數(shù)思想始終貫穿在整個的高中數(shù)學教材之中,因此,在實際教學中,教師應及時將函數(shù)思想的本質傳遞給學生,讓學生了解函數(shù)思想的真實價值,激發(fā)學生的學習熱情,能利用好函數(shù)思想來解答各類題型,還能鍛煉學生構建數(shù)學模型的能力,對學生數(shù)學能力的提升具有重要意義。
二、函數(shù)思想在解題中的應用
當前,在高中數(shù)學題目解析中,多種類型題目都應用到函數(shù)思想,如三角函數(shù)、向量、方程解析等,能借助函數(shù)思想直觀、形象的分析題意,把握解題思路,從而實現(xiàn)題目解析。
(一)在向量中的應用
在高中數(shù)學中,向量是一項重要知識點,主要是對向量進行轉化,把空間幾何轉化成一定的函數(shù)坐標。在分析向量問題時,可充分滲透函數(shù)思想,這樣可幫助學生深度理解向量的基本性質。
若已知向量m(1,0),n(0,1),如果函數(shù) ( )圖像在y軸截距是1,處在 時的切線方向向量是 ,處在 時,函數(shù)能夠取得極值。根據(jù)題意,求解 的解析式、單調區(qū)間與極值。
此向量題相對復雜,主要是利用導數(shù)與向量等知識點,在求解 的解析式時,會使用到 = ,主要將向量和導數(shù)進行統(tǒng)一,進而得出切線斜率是 ,即 ,進而可快速而高效的得出 的解析式、單調區(qū)間和極值,能大大提高解題效率。
(二)在方程解析中的應用
函數(shù)和方程屬于兩個不同的概念,然而,二者卻聯(lián)系緊密。某個函數(shù)關系可以利用解析式來進行表述,此表達式即可看作一個方程;某二元方程的兩個未知數(shù)間存在單值對應關系,此時,該方程可以看作是一個函數(shù)。方程兩邊可分別看作一個函數(shù),而方程的解則是兩個函數(shù)的圖像交點位置的橫坐標。因此,在解析高中方程問題時,也可滲透函數(shù)思想。
若已知方程(x-m)(x-n)-2=0的兩個根分別為a、b,且n 解析此問題時,可利用好函數(shù)思想來進行關系轉化: 已知方程(x-m)(x-n)-2=0,通過轉化之后得到: 與 ,畫出兩個函數(shù)的圖像,觀察圖像中和x軸的交點,即可獲取答案,即a (三)在三角函數(shù)中的應用 在三角函數(shù)解析中,函數(shù)思想的應用十分明顯,將函數(shù)思想應用其中,比較方便,且在三角函數(shù)理解上也更為直觀。借助函數(shù)思想,能充分而具體的分析所求解的三角函數(shù)式最大值,也能大大提高計算速度與計算精確度。 (四)在最優(yōu)化問題中的應用 除了上述函數(shù)思想在各類數(shù)學解題中的應用外,還可以將函數(shù)思想應用到日常的生活當中,這主要是由于數(shù)學思想在生活中有著非常強的實用性,這樣在學習數(shù)學知識的過程中,學生也能夠積極的將抽象的數(shù)學知識轉化為形象的生活經(jīng)驗,從而加深學生對于函數(shù)知識的理解,并不斷提升自身的學習能力。例如在課堂教學過程中,教師與學生經(jīng)常會遇到以最低成本獲取最大經(jīng)濟效益的問題,也就是最優(yōu)化問題。通過應用函數(shù)思想,可以明確已知量、未知量之間的關系,并由此建立起正確的函數(shù)關系式,然后運用函數(shù)關系的相關性質,實現(xiàn)問題的順利解決,并得出最終的答案。在這個解決問題的過程中,即是學生學習函數(shù)思想知識的過程,更是學生掌握學習能力的過程,教師通過引導學生學習,對于學生綜合能力的提升具有重要意義。 綜上所述,在數(shù)學題目解析上應用函數(shù)思想,主要是借助此思想來簡化數(shù)學題目,梳理整個數(shù)學題目解析思路,能大大提高數(shù)學題目的解析正確率,也能提高解析速率。函數(shù)思想在解題中的應用,可被應用到三角函數(shù)、向量等知識點解析中,可達到理想的解題效果,也便于學生數(shù)學知識點的把握。