陳燕梅

概念是數(shù)學教學的核心，本文以“權(quán)、加權(quán)平均數(shù)”概念教學為例，從MPCK視角進行評析，并反思與探討提升教師MPCK的策略.

1 MPCK理論

舒爾曼1986年提出PCK理論后，立即引起各國學者關(guān)注，從而使數(shù)學教師特有的學科教學知識從PCK泛學科的研究中獨立出來，形成MPCK（數(shù)學教學內(nèi)容知識）理論，MPCK理論要求教師必須具備數(shù)學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關(guān)數(shù)學學習的知識（ CK）以及教育技術(shù)知識（TK）[1]，才能夠把科學形態(tài)的數(shù)學知識有效轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學知識，促進學生的數(shù)學理解，提高學生的數(shù)學能力和提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，而這4類知識的綜合與融合就是數(shù)學教學內(nèi)容知識（MPCK），即數(shù)學教師從事數(shù)學教學所應具備的核心知識[2].

概念是思維的基本單位，數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理法則的邏輯基礎(chǔ)，是建立理論系統(tǒng)的中心環(huán)節(jié)，同時也是解決數(shù)學問題的前提，在日常教學中，教師讓學生記憶、理解、題海訓練是概念教學的普遍現(xiàn)象，往往忽視概念的本質(zhì)，因而學生在運用概念解決問題時常常出現(xiàn)生搬硬套甚至束手無策的現(xiàn)象，基于此，教師在教學中啟發(fā)學生建構(gòu)概念、理解概念的內(nèi)涵和外延尤為重要，一個具有優(yōu)秀MPCK的教師會讓學生認識到：數(shù)學概念不僅僅具有冰冷的美麗，在形成和應用數(shù)學概念的過程中更蘊含著火熱的思考[3].

2 MPCK視角下的概念新授課

2015年底，筆者有幸參加了福建省第三屆教師技能大賽以及全國初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示活動，均獲得一等獎，作為經(jīng)驗交流，筆者在廈門市開了《平均數(shù)（1）》市級公開課，這節(jié)課受到了專家、老師和學生的認可，從備課到上課，以及評課和課后反思，筆者進一步完善了MPCK.在這里，筆者分享MPCK視角下的教學設(shè)計過程與反思.

本節(jié)選自義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》（人教版）八年級下冊，是第20章“數(shù)據(jù)的分析”第1節(jié)“數(shù)據(jù)的集中趨勢”第1課時的內(nèi)容[4].

2.1 活動1 創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念

設(shè)計意圖讓學生感受引入“權(quán)”的合理性，理解“權(quán)”的意義.

七年級時，我們學習了當收集到數(shù)據(jù)后，通常是用統(tǒng)計圖表整理和描述數(shù)據(jù)，為了進一步獲取信息，還需要對數(shù)據(jù)進行分析，數(shù)據(jù)分析與我們的生活息息相關(guān).

問題老師根據(jù)學生的期中考成績和期末考成績計算學期總評，小明同學期中考60分，期末考90分（百分制）.

（1）你能算出他的平均成績嗎？

追問：如何計算n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)？

（2）若以這個算術(shù)平均數(shù)作為學期總評，你認為合理嗎？

追問1：為什么不合理？

追問2：如何體現(xiàn)期末考更加重要？

（3）你是怎么算的？為什么這么算？

（4）在這個問題中，3和7（舉例）有什么用？

追問1：什么是“權(quán)”？什么是“加權(quán)平均數(shù)”？

追問2：還有哪些也是權(quán)？

（5）如何把這種加權(quán)平均數(shù)的計算方法推廣到一般情況？

（6）期中考和期末考的分數(shù)不變，為何得到不同的總評成績？

評析 活動1是本節(jié)的核心內(nèi)容，教師運用“概念同化”來建構(gòu)“權(quán)”與“加權(quán)平均數(shù)”的概念，概念同化過程是學生對概念的主動理解過程，是學生利用自己已有認知結(jié)構(gòu)對概念進行重新建構(gòu)的過程，曹才翰、章建躍在《數(shù)學教育心理學》中提出，概念教學得以充分展開的根本原動力是學生已有的認知結(jié)構(gòu)與新概念之間的不平衡，根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，學生在遇到新概念時，總是先用已有的認知結(jié)構(gòu)去同化，如果獲得成功，就得到暫時的平衡;如果同化不成功，則會調(diào)節(jié)已有認知結(jié)構(gòu)或重新建立新的認知結(jié)構(gòu)，以順應新概念，從而達到新的平衡，教師應該根據(jù)學生概念學習的這種機制，利用新概念與學生已有認知結(jié)構(gòu)之間的差異來設(shè)置相應的教學情境，以使學生能夠意識到這種不平衡，從而引起學生的認知需要，促使學生展開積極主動的學習活動，

從MK上看，教師在引入新課時關(guān)注本章知識與已有知識的聯(lián)系，讓學生明確感受到，在收集數(shù)據(jù)后，要進一步獲取信息，需通過計算統(tǒng)計量進行分析，數(shù)學源于生活，教師用學生熟悉的考試成績計算總評來創(chuàng)設(shè)問題情境，通過問題串設(shè)計引導學生從已有的認知（算術(shù)平均數(shù)）中尋找差異，自主建立“權(quán)”的概念，問題簡潔易懂，跳出繁雜的計算，激發(fā)學生的學習興趣，凸顯統(tǒng)計的意義，

從PK上看，教師通過啟發(fā)式的講授引領(lǐng)學生思考，從“權(quán)”的存在，到“權(quán)”的含義、加權(quán)平均數(shù)的計算，再反思“權(quán)”對結(jié)果的影響，新概念逐步浮出水面，在探究加權(quán)平均數(shù)的計算方法時，教師采用從一般到特殊的思想，啟發(fā)學生自主獲得計算公式，

從CK上看，教師在問題（2）環(huán)節(jié)，鼓勵學生思考，并相互交流、討論，課堂上，當學生回答“合理”時，教師及時引導學生闡述原因，并點撥關(guān)鍵點：“同樣重要”;當學生回答“不合理”時，教師進一步追問原因，啟發(fā)學生思考如何體現(xiàn)重要性不同，對于學生回答的不同形式的權(quán)，教師給予肯定，學生感受到了“權(quán)”的存在.

2.2 活動2 例題教學，應用新知

設(shè)計意圖從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算算術(shù)平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)，進一步理解權(quán)的意義，

例1 一次演講比賽中，評委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計，進入決賽的前兩名選手的單項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

請根據(jù)下列問題分別確定兩人的名次.

（1）按演講內(nèi)容占50%、演講能力占40%、演講效果占10%，計算選手的綜合成績.

（2）若演講內(nèi)容、演講能力、演講效果按照1：3：1的比確定，計算選手的綜合成績， 評析從MK上看，教師靈活處理了教材的例題，增加設(shè)計第（2）題，設(shè)計不同形式、不同數(shù)據(jù)的權(quán)，給予學生計算便利的同時，在對比中識記，鞏固新知，感受權(quán)的重要性，

從PK上看，第（1）題由師生共同完成，教師規(guī)范書寫解答，為后續(xù)學生解題的表達提供良好的示范，教師展示學生的第（2）題的答題情況，并由學生進行點評，

從CK上看，對于第（1）題，教師不是直接讓學生計算，而是設(shè)問：“不用計算，聰明的你能否直接推斷出他們哪一個的成績更好？”，鼓勵學生分析、推斷，讓學生對權(quán)的作用有更深的體會，在解決問題的過程中，教師引導學生關(guān)注以下內(nèi)容：（1）這兩名選手的平均成績一樣嗎？不同的權(quán)對結(jié)果有什么影響？ （2）權(quán)不是獨立概念，增加技能訓練題，如85的權(quán)是多少？40%是誰的權(quán)？（3）關(guān)注第一問列式中的分母（50%+40%+10%），與前面權(quán)的計算公式統(tǒng)一.

2.3 活動3應用遷移，鞏固提高

設(shè)計意圖掌握計算加權(quán)平均數(shù)，進一步理解權(quán)的意義，

練習某廣告公司欲招聘職員一名，A，B，C三名候選人的測試成績（百分制）如下表所示：

（1）如果公司招聘的職員分別是網(wǎng)絡維護員、客戶經(jīng)理或創(chuàng)作總監(jiān)各一名，給三項成績賦予相同的權(quán)合理嗎？

（2）請你設(shè)計合理的權(quán)重，為公司招聘一名職員：①網(wǎng)絡維護員;②客戶經(jīng)理;③創(chuàng)作總監(jiān)，

評析從MK上看，此練習背景源于生活，解決問題的過程中需靈活運用加權(quán)平均數(shù)，呈現(xiàn)開放題，給予學生思維的空間，

從PK上看，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，學生感受數(shù)學現(xiàn)象和數(shù)學規(guī)律，從而抓住概念本質(zhì)，領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵和外延，

教師預先設(shè)計好Excel表格程序如下：

（說明：教師根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式預先設(shè)計好表格，根據(jù)學生的回答輸入“權(quán)”，直接顯示A、B、C的成績）

從CK上看，教師設(shè)置開放性問題，讓學生主動運用“權(quán)”影響一組數(shù)據(jù)的平均水平，幫助學生內(nèi)化對權(quán)意義的理解，發(fā)展數(shù)據(jù)分析的觀念.

2.4 活動4 獨抒已見，說我所得

設(shè)計意圖 知識與方法的梳理，進一步理解本節(jié)新知識，

問題1：這節(jié)課你學了什么知識？有什么感受？

追問1：加權(quán)平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析中的作用是什么？

追問2：權(quán)的作用是什么？

問題2：在這節(jié)課中，“權(quán)”出現(xiàn)的形式有哪些？

追問：“權(quán)”的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化嗎？（課后思考）

問題3：我們今天學習的“加權(quán)平均數(shù)”和以前學習的“算術(shù)平均數(shù)”都屬于平均數(shù)，想一想它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題4：數(shù)學源于生活，從剛才的學習中，我們知道權(quán)與生活息息相關(guān)，你還能舉出其他例子嗎？

問題5：關(guān)于本節(jié)的學習，你還有什么疑問嗎？

評析從MK上看，教師緊扣教材重點難點，從以下幾個方面進行引導歸納：

（1）“權(quán)”與實際生活息息相關(guān);

（2）當一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)重要程度不同時，加權(quán)平均數(shù)能更好地反映這組數(shù)據(jù)的平均水平;權(quán)反映數(shù)據(jù)的相對重要程度，數(shù)據(jù)權(quán)的改變一般會影響這組數(shù)據(jù)的平均水平.

（3）如何計算加權(quán)平均數(shù)，

教師點評功在平時，優(yōu)秀的人始終是優(yōu)秀的，只要考核方式合理，他們并不受考核方式的影響，

問題2教師從學生的回答出發(fā)，指出百分比的形式有時也以小數(shù)或分數(shù)的形式出現(xiàn)，當然，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的相對重要程度，不止上述形式，比如下節(jié)課將學習“權(quán)”出現(xiàn)的另一種形式，建議學生可以提前預習，為新課的學習做下鋪墊，

問題3教師啟發(fā)學生議關(guān)聯(lián)，理頭緒，建構(gòu)知識體系，在概念獲得的過程中，很重要的是通過概念之間的關(guān)系來認識新概念，結(jié)果不但使新概念獲得心理意義，而且還使個體對已有的相關(guān)概念獲得更加深刻的理解，

從PK上看，教師組織學生小組討論，課堂氣氛濃厚，

從CK上看，教師設(shè)置問題，引導學生思考、討論、舉例，課堂教學中，學生暢所欲言，列舉了很多生活中的實例，談及自己的感受，比如有的學生談到中考總分計算的方式（不同學科不同權(quán)重），對應于自己的學習，應如何科學合理分配時間才會更加高效;有的學生談到將來自己在參加招聘或招聘員工時，要注意根據(jù)崗位需求關(guān)注或設(shè)置權(quán)重等.

3 關(guān)于提升教師MPCK的反思

3.1 鉆研教材，力透紙背分析，發(fā)展教師MK

在備一堂新課時，教師不但要“逐字逐句”研讀教材，還要“力透紙背”，“精致”地處理教材，從而發(fā)展教師的MK.基于此，教師要解讀課標，把握本節(jié)的教學目標，確定本節(jié)課的重點和難點;遵循學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展水平，巧妙設(shè)計新知識的生成過程，并根據(jù)學情進行教學內(nèi)容的增減;挖掘本節(jié)課蘊含的數(shù)學思想方法，挖掘本節(jié)課對學生后續(xù)學習最重要的遷移價值，挖掘本節(jié)課的教育意義等，

根據(jù)教材內(nèi)容和學生情況，本節(jié)學習的主要內(nèi)容是讓學生在實際生活背景中理解平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、權(quán)的意義;能從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，體會權(quán)的作用，教學的關(guān)鍵點是引導學生了解權(quán)的含義，進而認識加權(quán)平均數(shù)的統(tǒng)計意義及加權(quán)平均數(shù)從一個側(cè)面反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，即平均水平，

統(tǒng)計的教學價值在于發(fā)展學生的理性思維，讓人講道理，以理服人，數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的重要環(huán)節(jié)，平均數(shù)是衡量一組數(shù)據(jù)集中趨勢的重要統(tǒng)計量，它反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，是度量一組數(shù)據(jù)波動大小的基準，為后續(xù)方差的學習奠定基礎(chǔ).

本節(jié)的重點是理解加權(quán)平均數(shù)的意義，體會權(quán)的意義;難點是對“權(quán)”的意義的理解，用加權(quán)平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢.

3.2 實踐課改，體現(xiàn)學生主體，提升教師CK

實踐課改，教師成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，應了解學情，關(guān)注學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)學生的主體地位，提升自我的CK.

八年級的學生思維活躍，對觀察、猜想、探索性的問題充滿好奇，針對學生的心理特征，本課時在“權(quán)對于結(jié)果的影響”的教學環(huán)節(jié)，采用讓先學生分析、推斷的探究方式，讓學生感受到探索的樂趣.

本節(jié)是數(shù)據(jù)分析這一章節(jié)的起始課，在此之前，學生學習了數(shù)據(jù)的收集、整理和描述，知道當收集到數(shù)據(jù)后，通常是用統(tǒng)計圖表整理和描述數(shù)據(jù)，為了進一步獲取信息，需對數(shù)據(jù)進行分析，之前學生已經(jīng)學習了算術(shù)平均數(shù)，知道它可以反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，但由于生活經(jīng)驗的局限，同時受認知水平的影響，學生對權(quán)的意義和作用的理解可能會有困難，因為缺乏對概念本質(zhì)的理解，在運用加權(quán)平均數(shù)分析數(shù)據(jù)時，容易混淆數(shù)據(jù)和權(quán)，部分學生往往只會記住公式，而不會解釋數(shù)據(jù)分析結(jié)果的實際意義或統(tǒng)計意義，把統(tǒng)計問題的學習僅僅停留在計算層面，基于此，教學中要讓學生感受引入“權(quán)”的必要性、凸顯“權(quán)”的重要性、揭示“權(quán)”的本質(zhì)性，同時，讓學生了解在現(xiàn)實生活中有許多問題可以通過分析數(shù)據(jù)作出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊含著信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.

3.3 立足目標，導航教學全程，靈活選擇PK

教學目標是一切教學活動的出發(fā)點和最終歸宿，以教學目標為基點導航教學全程，靈活選擇PK.

本節(jié)的教學目標為：（1）理解平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、權(quán)的意義;（2）能從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)以及加權(quán)平均數(shù);（3）學生通過加權(quán)平均數(shù)分析一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力，逐步形成數(shù)據(jù)分析觀念;（4）在課堂互動中鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲;進一步培養(yǎng)學生獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學習習慣，在對“權(quán)”統(tǒng)計意義理解的基礎(chǔ)上，滲透公平公正、實事求是的價值觀，

圍繞著教學目標，細化到每一個教學環(huán)節(jié)，靈活選擇PK.教師進行啟發(fā)性的講授，設(shè)計層層遞進的問題引領(lǐng)學生思考;設(shè)計實效的例題習題，學生對于新知學習理解掌握，遷移應用.

這節(jié)概念課雖是高效率、有意義的，但仍然存在不足，雖是公開課，然而教師沒有提前試講，熟練程度還可以更好一些，每一次的公開課，都是教師教學技能往前邁進的重要平臺，教師對數(shù)學知識的自覺追問、不斷反思是優(yōu)化MPCK的重要途徑，最終實現(xiàn)數(shù)學知識向高效課堂的有效轉(zhuǎn)化.

參考文獻

[1]李渺，寧連華.數(shù)學教學內(nèi)容知識（ MPCK）的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義[J].數(shù)學教育學報，2011 （2）： 10-14

[2]黃毅英，許世紅，數(shù)學教學內(nèi)容知識結(jié)構(gòu)特征與研發(fā)舉例[J].數(shù)學教育學報，2009， 18 （1）：5—9

[3]彭紅亮.MPCK視角下的數(shù)學概念教學[J].數(shù)學通訊，2014 （7）： 84-87

[4]課程教材研究所、中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育課程標準試驗教科書（數(shù)學）八年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2013