馬海龍

《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》已經(jīng)正式發(fā)布，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為最終目的，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中就反映在落實(shí)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，而落實(shí)核心素養(yǎng)重在使用好數(shù)學(xué)教材，教材是編寫組在充分調(diào)研基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)、合理編排的，讓學(xué)生經(jīng)歷完整研究過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)的思想性，但實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教材的使用存在著值得探討問(wèn)題：有的是棄教材而不用;有的是把教材作為知識(shí)點(diǎn)的提供者;還有的是使用教材了但挖掘的深度不夠，不足以促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)的提升，如何讓教材的使用承擔(dān)起落實(shí)核心素養(yǎng)的重任？正是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，本文基于深度學(xué)習(xí)理論，以一道課本習(xí)題的微研究為案例，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的獲得對(duì)象一研究性質(zhì)一應(yīng)用拓展的過(guò)程，實(shí)踐了以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的課堂教學(xué).

1 深度學(xué)習(xí)

1.1 深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)既是個(gè)體感知、記憶、思維等認(rèn)知過(guò)程，也是根植于社會(huì)文化、歷史背景、現(xiàn)實(shí)生活的社會(huì)建構(gòu)過(guò)程[1].深度學(xué)習(xí)也被譯為深層學(xué)習(xí)，是美國(guó)學(xué)者Ference Marton和Roger Saljo基于學(xué)生閱讀的實(shí)驗(yàn)，針對(duì)孤立記憶和非批判性接受知識(shí)的淺層學(xué)習(xí)，于1976年首次提出的關(guān)于學(xué)習(xí)層次的一個(gè)概念[2].

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生源于自身內(nèi)部動(dòng)機(jī)，對(duì)有價(jià)值的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開(kāi)的完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)[3]，從本質(zhì)上看，深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)的、探究式的、理解性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)習(xí)者掌握非結(jié)構(gòu)化的深層知識(shí)并進(jìn)行批判性的高階思維、主動(dòng)的知識(shí)建構(gòu)、有效的遷移應(yīng)用及真實(shí)問(wèn)題的解決，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)元認(rèn)知能力、問(wèn)題解決能力、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高價(jià)能力的發(fā)展;與之相對(duì)應(yīng)的淺層學(xué)習(xí)則是一種被動(dòng)的、機(jī)械式的、記憶性的學(xué)習(xí)方式，只是把信息作為孤立的、不相關(guān)的事實(shí)來(lái)被動(dòng)接受、簡(jiǎn)單重復(fù)和機(jī)械記憶，忽視對(duì)知識(shí)的深層加工、深度理解及長(zhǎng)期保持，更無(wú)法實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)、遷移應(yīng)用及真實(shí)情景中的復(fù)雜問(wèn)題解決[4].

深度學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化;深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)深切的體驗(yàn)和深入的思考，達(dá)成對(duì)學(xué)科本質(zhì)和知識(shí)意義的滲透理解;深度學(xué)習(xí)是階梯式的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)必須是促進(jìn)式的、層次性的、階梯式的[3].

1.2 深度學(xué)習(xí)對(duì)微研究的指導(dǎo)意義

本文的微研究是指針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，把研究?jī)?nèi)容放在“小現(xiàn)象、小策略、小教學(xué)”上，雖然研究的問(wèn)題是“微”、“小”的，但本質(zhì)上也是“研究”，要求是高效的：要把數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值追求及所蘊(yùn)含的精神融入其中，要挖掘出對(duì)學(xué)生個(gè)體——人的后續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展最有價(jià)值的、能遷移、能內(nèi)化的部分.

基于深度學(xué)習(xí)的微研究，是源于學(xué)生自身內(nèi)部動(dòng)機(jī)，對(duì)有價(jià)值的學(xué)習(xí)內(nèi)容讓學(xué)生學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最有價(jià)值的知識(shí)，也就是微研究要落實(shí)在核心概念與命題、本質(zhì)與規(guī)律、思想與方法、產(chǎn)生與來(lái)源、關(guān)系與結(jié)構(gòu)上，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

2 實(shí)踐案例

2.1 獲得對(duì)象——來(lái)源于教材

人教A版高中數(shù)學(xué)2第124頁(yè)一道題目：

己知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)0（0，0），A（3，0）的距離之比為1/2，求點(diǎn)M的軌跡方程，

這道課本習(xí)題，學(xué)生應(yīng)用解析法可順利完成，若止步于此，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)就停留在淺層學(xué)習(xí)水平而鮮有對(duì)核心素養(yǎng)的發(fā)展，既浪費(fèi)了一道好題，學(xué)生又沒(méi)能學(xué)習(xí)到最本質(zhì)、最有價(jià)值的知識(shí).

2.2 引向深度——推廣到一般

為挖掘本題深刻含義，開(kāi)展微研究，師生提出變式問(wèn)題：己知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)0（0，0），A（3，0）的距離之比為2，求點(diǎn)M的軌跡，完成后提出問(wèn)題1：

問(wèn)題1 能提出一般性的問(wèn)題嗎？能解決它嗎？

學(xué)生提出平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ>0，且λ≠1），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，

學(xué)生完成求解后，師生共同總結(jié)出：

阿波羅尼斯圓定理 已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足PA/PB=λ（λ>0，且λ≠1）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.（這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，下文簡(jiǎn)稱阿氏圓）.

這種一般化的思考，就是深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)，在微研究過(guò)程中，學(xué)生批判地學(xué)習(xí)，主動(dòng)地探究，自主地建構(gòu)知識(shí)，這種有效遷移應(yīng)用，是一種創(chuàng)造性思維能力，同時(shí)也是對(duì)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的落實(shí)，在微研究中，學(xué)生從原題及變式中辨認(rèn)出：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離比為定值是阿氏圓的本質(zhì)特征，通過(guò)抽象使得原型內(nèi)涵減少，結(jié)構(gòu)變?nèi)酰庋訑U(kuò)張，獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例，這種抽象是弱抽象，也就是由特殊到一般.

2.3 領(lǐng)悟本質(zhì)——幾何化表征

希爾伯特指出：數(shù)學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系，從不同的角度對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行多元表征，可以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象多角度具體化，加深對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，阿氏圓本身是幾何問(wèn)題，教師可引導(dǎo)學(xué)生用幾何知識(shí)解決該問(wèn)題.

問(wèn)題2 阿氏圓定理能用幾何證明嗎？

這需要學(xué)生對(duì)新知識(shí)進(jìn)行充分的思維加工，讓其與已有的初中平面幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)相互作用，使新知識(shí)同化到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，達(dá)到對(duì)新知識(shí)的相應(yīng)理解和主動(dòng)建構(gòu).

證明如圖1，在△PAB中，內(nèi)角∠P的平分線與邊AB交于E，外角∠P的平分線與AB的延長(zhǎng)線交于F，由角平分線性質(zhì)得AE/BE=λ，AF/BF=λ，又∠EPF= 90°，故點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，

這個(gè)證明可以在新知識(shí)和原有知識(shí)之間建立聯(lián)系，有利于把所學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用到新的問(wèn)題情境中使用，有利于構(gòu)建良好的知識(shí)體系，這樣構(gòu)造的知識(shí)體系和正遷移能力正是深度學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，也體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng)，高中階段，直觀想象主要表現(xiàn)在利用圖形描述、理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用圖形探索、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)建直觀模型，加深對(duì)事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律的理解和認(rèn)知，阿氏圓的證明通過(guò)平面幾何知識(shí)解決，是直觀想象的一個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)出阿氏圓不僅是建立在抽象的代數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)上，也是在動(dòng)態(tài)的幾何問(wèn)題中找尋到的不變幾何關(guān)系.

至此，學(xué)生能使用術(shù)語(yǔ)交流，能解釋阿氏圓的結(jié)構(gòu)、表述，能依據(jù)題目對(duì)阿氏圓作出估計(jì)或預(yù)測(cè)、推斷，對(duì)于阿氏圓的學(xué)習(xí)達(dá)到了深度學(xué)習(xí)理論中的領(lǐng)會(huì)水平，領(lǐng)會(huì)是指理解交流內(nèi)容中所含文字信息的各種指標(biāo)、行為或反應(yīng)，領(lǐng)會(huì)側(cè)重于理解，基本表現(xiàn)方式的有三種：轉(zhuǎn)化、解釋、推斷.

2.4 抓住核心——要素與分析

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，分析是一種高階思維能力，分析有三個(gè)層次：一是把材料分解成各個(gè)組成部分;二是弄清各部分之間的關(guān)系;三是識(shí)別出把材料組合在一起，使之成為一個(gè)整體的組織原理、排列和結(jié)構(gòu)，分析代表了更高的智能水平：既要理解材料的內(nèi)容，又要理解其結(jié)構(gòu)，

問(wèn)題3 阿氏圓涉及幾個(gè)要素？各要素之間關(guān)系如何？

阿氏圓涉及的要素有：定點(diǎn)A，B，定值λ，動(dòng)點(diǎn)P，從正、逆兩個(gè)角度對(duì)要素進(jìn)行分析：

（1）當(dāng)A，B，λ已知時(shí)，先在AB直線上確定點(diǎn)E，F(xiàn)，使得EA/EB=FA/FB=λ，以EF為直徑的圓即為對(duì)應(yīng)的阿氏圓，如圖1.

（2）當(dāng)已知A及點(diǎn)P所在的阿氏圓時(shí)，可確定另一定點(diǎn)B的位置，如圖1，設(shè)阿氏圓的圓心為O，半徑為r，則有EA/EB=FA/FB=OA-r/r-OB=λ=AP/BP，整理得λ=OA/r=r/OB，即r是OA，OB的等比中項(xiàng)，且公比為λ，該結(jié)論形式優(yōu)美，易于記憶，方便解決問(wèn)題.

通過(guò)對(duì)要素的分析，學(xué)生加深了理解，對(duì)阿氏圓的記憶不再是淺層學(xué)習(xí)的機(jī)械記憶，而是在真正理解基礎(chǔ)上的聯(lián)想記憶，關(guān)注的焦點(diǎn)也不再是解決問(wèn)題所需的公式和外在線索，而是解決問(wèn)題所需的核心原理.

2.5 運(yùn)用實(shí)踐——內(nèi)隱轉(zhuǎn)外顯

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，運(yùn)用是以領(lǐng)會(huì)為基礎(chǔ)，比領(lǐng)會(huì)的要求更高級(jí)，領(lǐng)會(huì)的標(biāo)志在于，當(dāng)說(shuō)明抽象概念的用途時(shí)，能使用該抽象概念;運(yùn)用則指在沒(méi)有說(shuō)明問(wèn)題解決模式的情況下，能使用抽象概念于適當(dāng)情境，領(lǐng)會(huì)側(cè)重于理解，是內(nèi)隱行為，運(yùn)用則是外顯的表現(xiàn).

運(yùn)用1 尋找隱圓

運(yùn)用2 顯露定點(diǎn)

運(yùn)用3空間問(wèn)題

運(yùn)用4綜合運(yùn)用

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，分析與綜合是緊密聯(lián)系，但綜合同分析相反，它是把各要素組合為一體的帶有創(chuàng)新性的技能，雖然領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析也涉及到要素的組合和意義的構(gòu)建，但它們往往是局部的，不完全的，而綜合則是整體性的，通過(guò)綜合與分析，就能掌握其中的核心概念和原理，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

3 實(shí)踐微研究的思考

3.1 用微研究激活教材內(nèi)容

教材中出現(xiàn)的內(nèi)容，是在人類長(zhǎng)期的實(shí)踐中經(jīng)過(guò)千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中數(shù)學(xué)的概念、定理、公式及部分習(xí)題都具有實(shí)際背景和深刻含義，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，如在人教A版必修1中對(duì)第一個(gè)具體函數(shù)一指數(shù)函數(shù)的研究順序：

這是高中函數(shù)微研究的范例，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都遵循這個(gè)模式，只要學(xué)生掌握了這種方法，研究函數(shù)也就有章可循，因此，教師要深刻理解教材的設(shè)計(jì)意圖，不輕易“放過(guò)”教材中的任何一幅圖、一道例題、一道習(xí)題，不輕易“放過(guò)”教材問(wèn)題呈現(xiàn)的方式，不輕易“放過(guò)”教材研究和解決問(wèn)題的方法，教材是專家經(jīng)驗(yàn)的積累、智慧的結(jié)晶，其每一個(gè)組成元素都有其存在的價(jià)值，教師要學(xué)會(huì)學(xué)生引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，深度挖掘其內(nèi)在的豐富內(nèi)涵，通過(guò)微研究讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生嘗試成功的歡愉，讓學(xué)生品味到數(shù)學(xué)的韻味.

3.2 用微研究實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

基于深度學(xué)習(xí)的微研究，是讓學(xué)生學(xué)習(xí)到學(xué)科最本質(zhì)、最有價(jià)值的知識(shí)，微研究要研究那些數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念與命題，是這些最基本的知識(shí)締造了數(shù)學(xué)學(xué)科體系的基石，微研究要關(guān)注能判斷成為“數(shù)學(xué)學(xué)科”的最根本的屬性;要注重事物、現(xiàn)象及過(guò)程內(nèi)在的、本質(zhì)的必然的聯(lián)系;要體現(xiàn)出“知識(shí)”背后的“知識(shí)”，這些是數(shù)學(xué)家提出的對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最具有影響力的觀念、思想和見(jiàn)解，是數(shù)學(xué)的精髓與靈魂，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的追本溯源的微研究，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與來(lái)源，對(duì)于學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)顯得尤為關(guān)鍵，數(shù)學(xué)之所以為“數(shù)學(xué)”而不是簡(jiǎn)單概念與知識(shí)要點(diǎn)的堆砌，其中非常重要的原因在于有著自己獨(dú)特的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系，微研究要建立在使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的關(guān)系與結(jié)構(gòu)上，學(xué)生就能從整體上把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的精髓.

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