董琴

幾何因動點(diǎn)產(chǎn)生的最值問題近幾年廣泛出現(xiàn)在中考中，成為熱點(diǎn)之一，也是學(xué)生解決問題中的難題之一，初中階段，涉及到“最短”問題的常見有兩個，即：點(diǎn)與點(diǎn)之間是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，點(diǎn)與線之間是“垂線段最短”，除了這些外，在很多看似與圓無關(guān)的幾何最值問題中，我們可以利用直角、固定的圓周角、圓的定義等找到隱藏的圓模型，轉(zhuǎn)化為以圓為載體的問題，利用構(gòu)造法、轉(zhuǎn)換思想等建立模型解決問題.

因此解決這類問題，關(guān)鍵是找到動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，使得問題雖無圓勝有圓，本文簡單地探究看似無圓的幾何最值問題中如何巧妙地找到圓模型，使復(fù)雜的最值問題得以圓滿解決.

模型呈現(xiàn)

問題情境如圖1，P是⊙0外的一點(diǎn)，直線P0分別交⊙0于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到⊙0上的點(diǎn)的最短距離，PB是點(diǎn)P到⊙0上的點(diǎn)的最長距離.

證明在⊙0上任意取一個不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C，連接OC，CP，則有OP< OC+ PC，即OP -OC< PC，由OA= OC，得OP - OA< PC，即PA< PC，從而出線段PA是點(diǎn)P到⊙0上各點(diǎn)的距離中最短的線段.

同理OP+OC> PC，即由OB= OC，得OP +OB>PC，即P>PC.從而得出線段PB是點(diǎn)P到⊙0上各點(diǎn)的距離中最長的線段.

有了這個知識點(diǎn)背景，能使很多最值問題中較難的問題得到了圓滿的解決，因此如何去構(gòu)造圓也成為了這類問題的關(guān)鍵所在.

類型1 定點(diǎn)定長“現(xiàn)”圓形

教材中圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有的點(diǎn)組成的圖形叫做圓，根據(jù)定義，在解決幾何最值問題過程中，只要能發(fā)現(xiàn)某一個動點(diǎn)在變化過程中到同一個定點(diǎn)的距離相等，就可以利用“隱圓”，以這個定點(diǎn)為圓心，定長為半徑作出這個隱藏的圓，在利用圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最值問題或一般幾何最值求解模型解決.

類型2 定線定角“現(xiàn)”圓形

通過以上例題的分析，可以發(fā)現(xiàn)，利用“隱圓”構(gòu)造模型的方法的運(yùn)用關(guān)鍵是找到動點(diǎn)運(yùn)動路徑為圓的條件，由上述例題可歸納為如下兩類：

兩種動點(diǎn)路徑為圓的條件：（1）到定點(diǎn)距離等于定長;（2）動點(diǎn)與定線兩端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以動點(diǎn)為直角頂點(diǎn).

除了這里中的最值問題可以建立“隱圓”構(gòu)造模型外，部分路徑問題也可以構(gòu)造“隱圓”模型，如：《寧波市2018年初中學(xué)業(yè)水平考試說明》中的復(fù)習(xí)評估練習(xí)（一）填空題18題：

如圖11，半徑為4的⊙0中，CD為直徑，弦AB上CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙0上一動點(diǎn)，CF上AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為____.

分析 通過CF上AE這個條件，我們不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以AC直徑的圓弧上，因此通過求圓心角度數(shù)和半徑長短，利用弧長公式即可求出路徑長，動態(tài)背景下，求最值有一定的難度，若能針對題目的本質(zhì)特征，合理地畫出“隱圓”，巧妙地利用圓的有關(guān)知識找到轉(zhuǎn)化方向，往往能夠化難為易，化繁為簡.

參考文獻(xiàn)

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