徐 臻

（常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇 常州）

從近幾年考題來看，在平面直角坐標(biāo)系的背景下，經(jīng)常有幾何圖形的變換，例如翻折、旋轉(zhuǎn)、平移。點(diǎn)坐標(biāo)的確定就成為一個(gè)重要的考點(diǎn)，在解題過程中，首先要充分認(rèn)識圖形變換前后之間的關(guān)系，特別是線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系，在旋轉(zhuǎn)變換背景下還要充分考慮特殊的旋轉(zhuǎn)角對于旋轉(zhuǎn)之后圖形的位置影響。其次還需要準(zhǔn)確地把握坐標(biāo)的確定方法。有時(shí)候，需要過所求點(diǎn)向坐標(biāo)軸作輔助線（垂線），去構(gòu)造直角三角形，然后利用邊角的條件求出垂線段的長度。再由垂線段過渡到點(diǎn)的坐標(biāo)過程中，有時(shí)還要考慮點(diǎn)的位置。值得注意的是要正確判斷坐標(biāo)的符號。舉個(gè)例子，坐標(biāo)系中的變換問題往往隱含著一些特殊角的條件，比如點(diǎn)，這樣的描述中就隱含著60°的角，因此，在分析圖形特征時(shí)，要格外留意是否題目中存在類似的關(guān)鍵的且不容易被發(fā)現(xiàn)的一些潛在條件。由此可見，處理這類問題時(shí)要把握變換的性質(zhì)以及確定坐標(biāo)的方法，特別是確定點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造垂線段，形成直角三角形，進(jìn)而求解，這是一種典型的確定點(diǎn)坐標(biāo)的好方法，可供學(xué)習(xí)者熟練掌握。下面我將分別列舉兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系下圖形在翻折和旋轉(zhuǎn)過程中求點(diǎn)坐標(biāo)的例題。

背景一：如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，且AB∥OC，將梯形OABC沿OB對折，點(diǎn)A 恰好落在BC邊的點(diǎn)A1處，已知OA=，AB=1。求：（1）∠AOB的度數(shù)；（2）點(diǎn) A1的坐標(biāo)。

圖1

點(diǎn)評：學(xué)生在閱讀題目，首先分析這是一道在平面直角坐標(biāo)系下的翻折問題，那就要注意對稱性問題。第一問求∠AOB的度數(shù)，先考慮特殊角，特殊角經(jīng)常從直角三角形中來，那我們先觀察∠AOB所屬的三角形是否為直角三角形。從AB∥DC，可以得出∠BAO=∠AOC=90°。因?yàn)镺A=，AB=1，所以 OB=2，所以∠AOB=30°。

在解決第二個(gè)問題時(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)，對稱這個(gè)條件還未使用，△AOB 和△A1OB 全等，那么∠A1OA=60°，那么∠A1OC=30°。當(dāng)看到30°的角，進(jìn)而思考下能否在一個(gè)直角三角形中，此刻作A1M垂直于OC，要求A1的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)就是A1M，縱坐標(biāo)就是OM。OA=OA1=。在直角三角形A1MO中，A1M=以A1的坐標(biāo)就是

背景二：如圖2，菱形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠B=120°，OA=2，將菱形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至OA′B′C′的位置，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 （ ）

圖2

點(diǎn)評：這是一題在平面直角坐標(biāo)系下圖形旋轉(zhuǎn)下求點(diǎn)的坐標(biāo)，抓住特殊角度想辦法構(gòu)造直角三角形。連接OB，OB′，過點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于 E，根據(jù)題意得：∠BOB′=105°，因?yàn)樗倪呅?OABC 是菱形，所以O(shè)A=AB?！螦OB相當(dāng)于∠AOC的一半，同時(shí)也相當(dāng)于∠ABC的一半，△AOB是等邊三角形，所以O(shè)B=OA=2，所以∠AOB′等于∠BOB′減去∠AOB，就等于 45°，OB′=OB=2，所以O(shè)E=B′E=OB′sin45°=。所以B′的坐標(biāo)就是（2，

通過這兩題的比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系下根據(jù)圖形的變換求點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造特殊三角形，在三角形里通過計(jì)算線段的長度，從而計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)是大體思路。但面對不同的圖形變換，我們也有需要注意的地方，對于旋轉(zhuǎn)變換的問題，我們要注意旋轉(zhuǎn)角問題。對于三角形和四邊形的旋轉(zhuǎn)，在進(jìn)行角度計(jì)算的時(shí)候，我們需要關(guān)注原來角度的條件。因?yàn)樵谛D(zhuǎn)過程中，非常容易出現(xiàn)等腰三角形、等邊三角形或者直角三角形。因而在圖形變換下求點(diǎn)坐標(biāo)，我們需要考慮特殊圖形對于角度的制約作用，比如，如果一條線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°就可以形成等邊三角形，如果旋轉(zhuǎn)90°就會變成等腰直角三角形。當(dāng)然我們也需要非常熟悉45°和60°兩塊特殊三角板邊與角之間的關(guān)系。面對圖形變換中折疊求點(diǎn)坐標(biāo)問題，我們需要考慮軸對稱，把對應(yīng)關(guān)系搞清楚，然后分析圖形中出現(xiàn)的特殊三角形，在接下來的計(jì)算中，我們經(jīng)常會借助方程思想，通過勾股定理得出結(jié)論。