福建省廈門外國語學校(361000) 張惠瑜

福建省廈門第六中學(361000) 葉媛媛

國內(nèi)外課程改革聚焦核心素養(yǎng).根據(jù)課程標準,高中明確了六大核心素養(yǎng):初中雖尚未明確,但也提出了10個關鍵詞:數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識.從這些表述我們可以感受到我們希望學生具有這樣的素養(yǎng):把所學的數(shù)學知識都排除或忘掉后剩下的東西后,能從數(shù)學的角度看問題以及有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達.作為一線教師,數(shù)學素養(yǎng)如何在課堂中落地是筆者一直在思考和探索的.在實踐過程中,筆者發(fā)現(xiàn)近年來在試題中頻繁出現(xiàn)的“新定義”問題,是提升學生數(shù)學素養(yǎng)的良好素材.“新定義”問題是指命題者按照一定的規(guī)則,呈現(xiàn)給學生沒有見過的新運算、新圖形、新函數(shù)等,或?qū)⒁恍┠芘c初中知識相銜接的高中“新知識”,通過閱讀材料呈現(xiàn)給初中學生,讓他們將這些“新知識”與已學知識聯(lián)系起來,正確理解其內(nèi)容、思想和方法,把握其本質(zhì),通過類比、猜想、遷移來運用新知識解決實際問題,要求學生現(xiàn)學現(xiàn)用,它全面地考查了學生的閱讀理解能力、知識遷移能力和創(chuàng)新能力.由于這類問題對學生綜合能力要求較高,涉及面也比較廣,學生容易產(chǎn)生畏難情緒,本文從提升學生數(shù)學素養(yǎng)的角度,談談在這類問題的處理中,較為有效的做法.

一.利用“新定義”問題,促學生數(shù)學素養(yǎng)提升

1.定義“新運算”,促學生數(shù)學運算素養(yǎng)的提升

數(shù)學運算是高中明確的六大核心素養(yǎng)之一,指的是在明晰運算對象的基礎上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程.主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算方向,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結(jié)果等.通過定義“新運算”的練習,能夠促使學生加強對運算條件分析,促進學生對運算方向、運算方法選擇及對運算程序的合理性的思考,避免思維定勢,積極進行逆向思維和多向思維,在實施運算的過程中,提高運算的準確性,合理性、簡潔性,從而實現(xiàn)運算思維的優(yōu)化及運算能力的逐步提高.

例1對于實數(shù)a,b,定義運算:aΔb=如42=16.

(1)求(2Δ4)Δ(-1)的值.

(2)從以往的學習經(jīng)驗,我們知道,加法、乘法具有結(jié)合律,即(a+b)+c=a+(b+c),(a×b)×c=a×(b×c).請判斷:運算“Δ”是否滿足結(jié)合律.

本題源于某新定義問題,經(jīng)筆者改編增加了第(2)問,并把它作為我校校本作業(yè)《分式》單元綜合練習的一個習題.本題要求學生通過審題理解運算的規(guī)則,第(1)問對給定的數(shù)據(jù)進行運算方法的選擇,并進行準確地運算,其中還考查了整數(shù)指數(shù)冪相關知識.第(2)問,對加法、乘法的結(jié)合律進行了重新強調(diào),學生需要類比,得出新運算是否滿足結(jié)合律的條件,通過嘗試自行給出“不同的”a,b的數(shù)值,利用“新運算”進行準確運算從而判斷是否符合結(jié)合律.而對于“不同的”a,b數(shù)值的選擇會引發(fā)學生對“新運算”規(guī)則的思考和理解,在嘗試運算的過程中,學生的運算技能得到了鍛煉.同時,在經(jīng)歷了“嘗試運算→探究判斷→得到結(jié)論”這一過程,學生意識到:“結(jié)合律”并非處處都有,有一定的適用范圍.這樣的改編,除了幫助學生深刻理解運算律,對于學生運算素養(yǎng)的提升也是十分有益的.

2.定義“新概念”,促學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的提升

圖1

數(shù)學概念是進行數(shù)學推理判斷證明的重要依據(jù),是數(shù)學公理、定理、法則的基礎.平時教學中,我們要多注重數(shù)學概念教學,引導學生關注概念的關鍵詞、結(jié)論及適用性.在數(shù)學概念的課堂教學中,我們往往能看到教師的精心準備,層層鋪設.在教師的引導下,學生會對概念進行關鍵詞、條件及結(jié)論等相關因素的分析,從而加快對概念的理解,并能對其進行簡單應用.“新定義”問題是概念教學的有益補充,它提供了一個新的學習任務,讓學生自行理解分析概念,明確概念的條件和結(jié)論,并運用其進行推理,從而增強邏輯推理能力.

例2設△A1B1C1的面積是S1,△A2B2C2的面積是S2(S1＜S2),當△A1B1C1～△A2B2C2,且時,則稱△A1B1C1與△A2B2C2有一定的“全等度”,已知梯形ABCD,AD//BC,∠B=30°,∠BCD=60°,連結(jié)AC.

(1)若AD=DC,求證:△DAC與△ABC有一定的“全等度”;

(2)你認為:△DAC與△ABC有一定的“全等度”正確嗎?若正確說明理由;若不正確,請舉出一個反例說明.

本題為2010年廈門市中考第24題,把它置于《相似三角形》單元復習課中,能夠起到很好的復習效果.本題通過審題得到‘有一定的“全等度”’的條件為:當△A1B1C1～△A2B2C2,且,對要逐字逐句推敲,尤其“且”表示同時滿足.學生對邏輯的嚴謹性提出了要求,而(1)問中,要求通過現(xiàn)有的條件進行邏輯推理證明,兩個三角形相似,并且把“面積比”轉(zhuǎn)化為“相似比”來分析.(2)問是一個開放問題,要解決這個問題,學生首先必須明確,證明‘有一定的“全等度”’需同時滿足以上兩個條件,而‘不具有一定的“全等度”’只需要不滿足其中一個條件就足夠.因此,這道題可以從兩個角度來思考:相似嗎?面積比是否在范圍內(nèi)?這類“新概念”問題,不落俗套,有創(chuàng)新性,能有效地訓練學生的邏輯推理能力,活躍學生的思維.

3.介紹“新方法”,提高學生的綜合運用能力,提升思維水平

有些解決問題的方法,蘊含了很好的數(shù)學思想,雖然在教材中未涉及,但在學生能力范圍內(nèi),我們可以通過“新定義”問題的方式呈現(xiàn)給學生,學生在探究學習的過程中能夠初步感受這些方法的妙處.

例3說明代數(shù)式的幾何意義,并求它的最小值.

圖2

解如圖2,建立平面直角坐標系,點P(x,0)是x軸上一點,則可以看成點P與點A(0,1)的距離,可以看成點P與點B(3,2)的距離,所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.設點A關于x軸的對稱點為A′,則PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而點A′、B間的直線段距離最短,所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度.為此,構(gòu)造直角三角形A′CB,因為A′C=3,CB=3,所以即原式的最小值為

根據(jù)以上閱讀材料,解答下列問題:

在學完勾股定理、二次根式、軸對稱的相關知識后,學生通過閱讀本題材料,可以了解的幾何意義,這是數(shù)形結(jié)合的典型例子,有助于學生整合已有知識,完善知識體系,提升思維水平,是課堂的有益補充.

4.學習“新知識”,幫助學生加強知識間的聯(lián)系,完善知識體系的構(gòu)建與拓展

還有一類“新定義”問題,介紹的是今后要學的知識,提前出現(xiàn)可以激發(fā)學生學習的積極性,比如以下問題:

例4閱讀下列材料,并解決后面的問題.

材料:一般地,n個相同的因數(shù)a相乘:.如23=8,此時,3叫做以2為底8的對數(shù),記為log28(即log28=3).一般地,若an=b(a＞0且),則n叫做以a為底b的對數(shù),記為logab(即logab=n).如34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù),記為log381(即log381=4).

問題:(1)計算以下各對數(shù)的值:log24=___,log216=___,log264=___;

(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關系式?log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關系式?

(3)由(2)的結(jié)果,你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎?logaM+logaN=___(a＞0且,M＞0,N＞0)

(4)根據(jù)冪的運算法則:an·am=an+m以及對數(shù)的含義證明上述結(jié)論.

此閱讀材料介紹的是高中對數(shù)的知識,此知識與初中同底數(shù)冪的運算是相關的,通過閱讀,讓學生了解對數(shù)的意義,有利于知識體系的聯(lián)系、構(gòu)建與拓展,同時也考查學生的閱讀素養(yǎng),發(fā)展他們的逆向思維.

5.閱讀材料,提取信息,促學生數(shù)學閱讀習慣的養(yǎng)成,能力的提升,知識面的拓寬

新課程標準強調(diào):加強學生的素質(zhì)教育,注重學生各種能力的培養(yǎng),其中包括學生閱讀能力、數(shù)學應用能力和數(shù)學探究能力的培養(yǎng).加強數(shù)學的閱讀訓練,幫助學生掌握科學的閱讀方法和技能,養(yǎng)成良好的閱讀習慣,學生就能更主動、更有效地完成閱讀和理解.同時,提升學生的閱讀素養(yǎng)有利于學生自主學習,幫助學生克服學習中的依賴性,增強學習的主動性、獨立性;有利于充分發(fā)揮學生的潛能,促使他們主動獲取知識,培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,從而達到提出的“全面提升學生數(shù)學素養(yǎng)”的目標.[1]現(xiàn)在很多學生不會解題的常見障礙之一就是不懂審題,不會從問題中提取有價值的信息,有些學生甚至一看到信息量較大的問題就沒耐心,這就要求教師在平時要多注意引導,消除學生的畏難情緒,在教學中適當增加信息量較大的“新定義”問題,讓學生在解決問題時,逐漸提升數(shù)學閱讀素養(yǎng),增加解題的信心.

二.在教學中滲透“新定義”問題

基于上述“新定義”問題對提高學生數(shù)學素養(yǎng)的積極作用.筆者認為在教學中應注重“新定義”問題的三滲透:

1.在課堂中滲透,注重學法的指導

教師可在課堂學案中呈現(xiàn)新定義問題,加強學法指導.課堂時間比較有限,教師需精選素材,留足時間讓學生讀題思考,引導學生掌握“勾、點、圈、劃”等方法,標注關鍵詞句,按照提取信息→加工信息→轉(zhuǎn)化遷移→建立模型→解決問提的步驟,進行逐步分析,發(fā)展學生的推理素養(yǎng).如在相似三角形復習課中,設置例2,用比較新穎的方式來復習相似三角形的判定與性質(zhì).

2.在校本作業(yè)中滲透,注意梯度、難度,保護學生的學習積極性

數(shù)學作業(yè)是指在教師的引導下,學生將所學數(shù)學理論知識獨立運用或親自體驗知識與技能的教育過程.有效的作業(yè)設計既能準確反饋學生學習情況,便于教師調(diào)整教學策略,充分發(fā)揮學生主觀能動性;又能鞏固課堂學習內(nèi)容,幫助學生內(nèi)化所學知識與技能,以提高學習成效.充分考慮學生的知識基礎和認知水平,注意校本作業(yè)的梯度和難度,適當設置“新定義”問題,有助于激發(fā)學生學習的積極性.如在校本作業(yè)中的例1,入手難度較小,第(1)小問起點較低,適用于全體學生,有助于運算素養(yǎng)的提升,第(2)問中,不同層次的學生都有自己思考、討論的空間,答案的呈現(xiàn)形式也很豐富,能夠激發(fā)學生學習的主動性和積極性.

3.在測試中滲透,考查學生的素養(yǎng)水平

“新定義”問題的特點是知識覆蓋面廣,可以靈活組合知識點,問題設計有梯度,有助于考查學生的靈活運用所學知識解決問題的能力.如在《整式的乘除》單元測試中設置例4,能夠考查不同程度的學生的素養(yǎng)水平,通過數(shù)據(jù)分析來調(diào)整教學策略.

綜上,在教學中滲透“新定義”問題,有助于提高學生的運算素養(yǎng)、邏輯推理能力、綜合分析能力,數(shù)學閱讀能力等.在教學中可以從課堂、校本作業(yè)、測試等方面滲透,能幫助學生提高在新情境中利用所學知識分析、解決問題的能力,促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升.