廣東省東莞市第六高級(jí)中學(xué)(523420) 馬鋒

剛剛過(guò)去的2018年高考,文科數(shù)學(xué)的難度降低,理科數(shù)學(xué)變化不大,給人留下了無(wú)盡的討論與爭(zhēng)論.特別是解答題21題—解析幾何題,很多學(xué)生考完后都有似曾相識(shí)的感覺(jué),但是又不能完整準(zhǔn)確的解答出來(lái).那么這道題到底是簡(jiǎn)單還是困難呢,它的考點(diǎn)和難點(diǎn)又在哪里呢,2019年的高考又該怎么樣備考呢,本文將結(jié)合今年高考的解析幾何解答題展開(kāi)一些探究和思考.

1 真題賞析思考

(2018年課標(biāo) 1,文20)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;

(2)證明:∠ABM=∠ABN.

試題分析本題的第(1)小問(wèn)采用直接法即可解決問(wèn)題,第(2)問(wèn)本題要證的是∠OMA=∠OMB,即證x軸是∠AMB的角平分線.那么怎么樣證明角平分線呢?

方法一過(guò)點(diǎn)B作AM,AN的垂線段BD,BE與AM,AN分別交于D,E兩點(diǎn).通過(guò)證BD=BE,證∠OMA=∠OMB.用幾何中的兩個(gè)三角形全等來(lái)證明角的相等.這種方法容易想到,但是涉及到距離的問(wèn)題,計(jì)算起來(lái)相對(duì)繁瑣.

解析(2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為,M(x1,y1),N(x2,y2),則x1＞0,x2＞0.由得ky2-2y-4k=0①.過(guò)點(diǎn)B作AM,AN的垂線段BD,BE與AM,AN分別交于D,E兩點(diǎn),直線AM方程為,即xy-(x+2)y+2y=0,所以111.同理.由①可知,所以,y1=,同理可得|BE|2=,所以|BD|=|BE|,所以△BDA和△BDE全等,所以∠DAB=∠EAB,即∠ABM=∠ABN.

方法二通過(guò)圖形我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠ABM是直線AM的傾斜角時(shí),∠ABN就是直線AN傾斜角的補(bǔ)角.這樣我們就把角度轉(zhuǎn)化為斜率,事實(shí)上只需要證明kBM+kBN=0,樣計(jì)算的目標(biāo)更加明確,利用解析幾何中的“設(shè)而不求”思想,最終只需證明分式中的分子為零.

解析(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),l的方程為x=2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).所以直線BM的方程或.

(2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=,M(x1,y1),N(x2,y2),則x1＞0,x2＞0.由得ky2-2y-4k=0,可知,y1y2=-4.直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=①.將x=1及y1+y2,y1y2的表達(dá)式代入①式分子,可得.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.綜上,所以∠ABM=∠ABN.

通過(guò)以上兩種解法,我們發(fā)現(xiàn)法二更勝一籌,主要是計(jì)算量會(huì)更小一些.當(dāng)然一部分學(xué)生考后反映想不到這種方法,所以放棄了.其實(shí)學(xué)生缺乏的就是數(shù)學(xué)中更常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化思想.其實(shí)平時(shí)老師也是有滲透的.接下來(lái)看一些模擬試題吧.

2 真題延伸變式

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.

今年的理科數(shù)學(xué)把解析幾何解答題放在了19題的位

2.1 拋物線變橢圓

置,前幾年都是放在20題的位置,其實(shí)也是降低了一些難度.這道題把拋物線變成了橢圓,但是問(wèn)題本身沒(méi)有發(fā)生什么變化,我們還是可以利用證明kBM+kBN=0來(lái)證明∠OMA=∠OMB.

2.2 推廣到一般的結(jié)論

結(jié)論一線設(shè)拋物線C:y2=2px(p＞0),點(diǎn)A(2p,0),B(-2p,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).則∠ABM=∠ABN.

證明B為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=,M(x1,y1),N(x2,y2),則x1＞0,x2＞0.由得ky2-2py-4kp2=0,可知.直線BM,BN的斜率之和為①.將的表達(dá)式代入①式分子,可得.所以k+k=0,可知BM,BN BMBN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.綜上,所以∠ABM=∠ABN.

結(jié)論二對(duì)于橢圓,其中,焦點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M(2c,0).則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則FM為∠AMB的角平分線.

證明當(dāng)l與x軸垂直時(shí),FM為∠AMB的角平分線,所以 ∠FMA=∠FMB.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為,A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)?所以c=b.由得(1+2k2)x2-4k2cx+(2k2-2)c2=0,可知,所以k+AM由(x-c)(x-1222c)+(x2-c)(x1-2c)=2x1x2-3c(x1+x2)+4c=所以,所以∠FMA=∠FMB,所以FM為∠AMB的角平分線.

2.3 “兩個(gè)角相等”的等價(jià)變式描述

2.3.1 k1+k2=0

(2018衡水金卷一模)已知圓C的圓心為原點(diǎn),其半徑相等.與橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的連線線段長(zhǎng)度相等.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線l2(其斜率不為0)交圓C于A、B兩點(diǎn),試探究在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)E,使得直線AE與BE的斜率之和為0?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.3.2 長(zhǎng)度相等,如AM=AN

(I)求橢圓C的方程;

(II)已知不經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R(與點(diǎn)A不重合),直線AQ,AR與y軸分別交于兩點(diǎn)M,N,證明:AM=AN.

2.3.3 等腰三角形

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)A、B是拋物線C上兩動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線MA,MB與y軸交于點(diǎn)P、Q.△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?

2.3.4 兩條相交直線的傾斜角互補(bǔ)

(全國(guó)市級(jí)聯(lián)考)已知拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)為F,P(a,0)為x軸上的點(diǎn).

(1)過(guò)點(diǎn)P作直線l與E相切,求切線l的方程;

(2)如果存在過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.4 斜率之和斜率之積

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)直線QA1的斜率為k1,直線A1B的斜率為k2,問(wèn):k1k2的斜率乘積是否為定值,若是求出該定值,若不是,說(shuō)明理由.

2.5 逆運(yùn)用:當(dāng)k1+k2=m(m為常數(shù))或k1k2=n(n為常數(shù))作為條件時(shí)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.

解(1)依題意有,故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí),設(shè)過(guò)P(x0,y0)點(diǎn)的切線為y-y0=k(x-x0)聯(lián)立消去y得,判別式,化簡(jiǎn)得,即0,依題意得,即.當(dāng)兩條切線的斜率有一條不存在時(shí),結(jié)合圖像得P是直線x=-3,x=3,y=2,y=-2的四個(gè)交點(diǎn),也滿足,故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13.

圓錐曲線考查比較基礎(chǔ),切線問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題,聯(lián)立方程組判別式等于0考生應(yīng)該是比較熟悉的.k1·k2=1是解決這道題的關(guān)鍵.因?yàn)槲覀兊淖罱K目標(biāo)是要求軌跡方程,需要方程,其實(shí)也就是需要等式.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn).

本題把k1+k2=-1作為已知條件,進(jìn)而證明定點(diǎn)問(wèn)題.定點(diǎn)問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么,或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題,證明該式是恒定的.因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù),運(yùn)用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點(diǎn)顯現(xiàn).所以本題一開(kāi)始設(shè)l:y=kx+m,通過(guò),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到k和m的關(guān)系式,最后得到定點(diǎn).思路明確,但是兩個(gè)參數(shù)的化簡(jiǎn),計(jì)算變成了最大的阻力.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

2.6 坐標(biāo)軸為角平分線其它直線

(上海市虹口區(qū)2018屆高三二模)如果直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),稱該直線為橢圓的“切線”.已知橢圓,點(diǎn)M(m,n)是橢圓C上的任意一點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)M且是橢圓C的“切線”.

(1)證明:過(guò)橢圓C上的點(diǎn)M(m,n)的“切線”方程是;

(2)設(shè)A、B是橢圓C長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)M(m,n)不在坐標(biāo)軸上,直線MA、MB分別交y軸于點(diǎn)P、Q,過(guò)M的橢圓C的“切線”l交y軸于點(diǎn)D,證明:點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn);

(3)點(diǎn)M(m,n)不在x軸上,記橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,判斷過(guò)M的橢圓C的“切線”l與直線MF1,MF2所成夾角是否相等?并說(shuō)明理由.

當(dāng)今教材中是沒(méi)有“倒角”公式的,所以學(xué)生用起來(lái)不是那么方便.當(dāng)坐標(biāo)軸為角平分線時(shí)變成任意一條普通的直線時(shí),難度就提高了很多.這里我們可以用向量的夾角公式來(lái)解決問(wèn)題.

設(shè)直線l的方向向量, 記與的夾 角α,→u與的夾角β.要證明“切線”l與直線MF1,MF2所成夾角相等?求證α=β?求證cosα=cosβ?求證.

3 2019高考解析幾何備考建議

3.1 近3年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)解析幾何考點(diǎn)匯總

理科數(shù)學(xué)

文科數(shù)學(xué)

3.2 高考備考建議

3.2.1 夯實(shí)基礎(chǔ)

萬(wàn)丈高樓平地起,高三一輪復(fù)習(xí)注重圓錐曲線概念教學(xué),弄清圓錐曲線基本定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,基本量a,b,c之間的關(guān)系,掌握它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),對(duì)幾種不同圖形的畫法信手拈來(lái),離心率的變化引起圖形的變化等等,只有基礎(chǔ)扎實(shí),才能讓解決綜合問(wèn)題成為一種可能性.

3.2.2 重視思想方法

一是數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái),借助圖形來(lái)研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì),是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.它可以使抽象的問(wèn)題具體化,復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).圓錐曲線中的幾何圖形直觀的表現(xiàn)力圖形的美麗,對(duì)應(yīng)的方程運(yùn)算又給了我們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碜C明.當(dāng)然一般我們都是先幾何,后代數(shù),盡量讓問(wèn)題簡(jiǎn)潔化.

二是重視轉(zhuǎn)化與化歸思想.就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種方法.例如坐標(biāo)法:以坐標(biāo)系為工具,用代數(shù)方法解決解析幾何問(wèn)題.轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循熟悉化原則:將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決;簡(jiǎn)單化原則:將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題,通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決,達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

3.2.3 加強(qiáng)提高學(xué)生的運(yùn)算能力

高考對(duì)運(yùn)算能力的考查是多角度、多層次的.對(duì)于解析幾何這一塊,很多同學(xué)都反映民意時(shí)間計(jì)算,或者知道怎么計(jì)算就是不能在有限的時(shí)間內(nèi)計(jì)算準(zhǔn)確.首先就是要在平時(shí)滲透一些常見(jiàn)的結(jié)論,例如焦點(diǎn)三角形的性質(zhì),拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì),同時(shí)要利用圓錐曲線的對(duì)稱性、互相垂直、中點(diǎn)、圓的垂徑定理等.然后就是在平時(shí)的教學(xué)中要舍得花時(shí)間讓學(xué)生在課堂上計(jì)算,算完了之后還要和學(xué)生分析怎么樣計(jì)算更有效.例如:得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0,由韋達(dá)定理可得,從而=···=4.

上面計(jì)算方法明顯麻煩,用分離常數(shù)法會(huì)顯得更為簡(jiǎn)單.簡(jiǎn)便方法如下:.

學(xué)生練習(xí),老師分析點(diǎn)撥,相信學(xué)生的運(yùn)算能力定會(huì)得倒提高,解析幾何計(jì)算將會(huì)有個(gè)質(zhì)的飛躍.