山東省棗莊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校(277800) 于波

北京師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)習(xí)題5.3第5題如下:

如圖1所示,要在街道旁修建一個(gè)奶站,向居民區(qū)A、B提供牛奶,奶站應(yīng)建在什么地方,才能使從A、B到它的距離之和最短?

圖1

要解決此問題,只要作點(diǎn)B(或A)關(guān)于街道l的對(duì)稱點(diǎn)B′(或A′),根據(jù)軸對(duì)稱性可知:PB=PB′(或PA=PA′).

因此,求AP+BP的最小值就相當(dāng)于求AP+PB′(或BP+PA′)最小,很顯然當(dāng)A、P、B′(或B、P、A′)在一條直線上時(shí),兩點(diǎn)之間線段AB′(或BA′)最小,即AP+PB′(或BP+PA′)最小.因此連接AB′(或BA′),與直線l的交點(diǎn)P就是要求作的奶站.如下圖2和圖3:

圖2

由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和最小值問題,是初中數(shù)學(xué)中常見的問題之一,也是中考的考點(diǎn)之一.這類問題一般借助軸對(duì)稱將兩條線段的和轉(zhuǎn)化到同一條直線上,再利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解決兩條線段和的最小值.現(xiàn)結(jié)合2018年中考試題談一談利用軸對(duì)稱求極值在中考題中的應(yīng)用.

類型之一:角中的極值問題

圖4

例1(2018·山東濱州)如圖4,∠AOB=60°,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且,若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn),則△PMN周長的最小值是( )

圖5

解析分別以O(shè)A、OB為對(duì)稱軸作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2,連接點(diǎn)P1,P2,分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N則此時(shí)△PMN的周長有最小值,△PMN周長等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知,OP1=OP2=OP=,過點(diǎn)O作MN的垂線段,垂足為Q,在△OP1Q中,可知,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN的周長最小值為3.

答案:D

類型之二:等腰三角形中的極值問題

例2(2018·四川瀘州)如圖6,等腰△ABC的底邊BC=20,面積為120,點(diǎn)F在邊BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分線,若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動(dòng),則△CDF周長的最小值為___.

再生細(xì)骨料主要是建筑垃圾在破碎、篩分后得到的粒徑<4.75 mm的顆粒[7]，主要由天然砂、廢棄混凝土碎屑、石屑和細(xì)小粉料(如泥土)等組成。相對(duì)于天然細(xì)骨料，再生細(xì)骨料的表觀密度小、吸水率高、吸水速率快，含有大量硬化水泥漿，顆粒棱角多，表面粗糙且具有較多微裂縫[8]。

圖6

圖7

解析要求△CDF周長的最小值,實(shí)際就是求出CF+CD+DF的最小值,由于CF值固定,因此要求出CD+DF的最小值.因?yàn)镋G是腰AC的垂直平分線,所以DA=DC,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求AD+DF的最小值.可以作△ABC的高AH,因?yàn)椤鰽BC的面積為120,BC=20,所以AH=12,△CDF的周長=CF+CD+DF,CF=5,因?yàn)镋G是腰AC的垂直平分線,連接AD、AF,可得DA=DC,所以AD+DF的最小值為AF的長度,在Rt△AHF中,HF=5,AH=12,由勾股定理可得AF=13,因此△CDF周長的最小值為18.

答案:18

類型之三:直角三角形中的極值問題

例3(2018·湖北十堰)如圖8,Rt△ABC中,AB=3,,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC上的動(dòng)點(diǎn),則DA+DE的最小值為___.

圖8

圖9

解析作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接AA′,交BC于F,過A′作AE⊥AC于E,交BC于D,則AD=A′D,此時(shí)AD+DE的值最小,就是A′E的長.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,,所以,,所以,解得,所以,因?yàn)椤螦′FD=∠DEC=90°,∠A′DF=∠CDE,所以∠A′=∠C,因?yàn)?∠AEA′=∠BAC=90°,所以△AEA′～△BAC,所以,所以,即AD+DE的最小值是,故答案為.

類型之四:正方形中的極值問題

例4(2018·天津市)如圖10,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長等于AP+EP最小值的是( )

圖10

圖11

解析本題考查正方形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì),取CD中點(diǎn)E′連結(jié)AE′、PE′.可以取CD中點(diǎn)E′連結(jié)AE′、PE′,由正方形的軸對(duì)稱性質(zhì),可知EP=E′P,AF=AE′,所以AP+EP=AP+E′P,所以AP+EP最小值是AE′,即AP+EP最小值是AF,故選D.

答案:D

類型之五:菱形中的極值問題

例5(2018·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán))如圖12,點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是AB,BC邊上的中點(diǎn),則MP+PN的最小值是( )

圖12

解析如圖13,取AD的中點(diǎn)M′,連接M′N交AC于點(diǎn)P,則由菱形的軸對(duì)稱性可知M、M′關(guān)于直線AC對(duì)稱,從而PM′=PM,此時(shí)MP+PN的值最小,容易得到四邊形CDM′N是平行四邊形,故M′N=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1,因此選B.

答案:B

例6(2018·廣西貴港)如圖14,菱形ABCD中,是BC的中點(diǎn),P,M分別是AC,AB上的動(dòng)點(diǎn),連接PE,PM,則PE+PM的最小值是( )

圖14

圖15

解析作M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn),交AD與M′,顯然EPM′在同一直線上,當(dāng)EM′⊥AD時(shí),EM′最短,此時(shí)PM+PN最小.依題意,,所以,即PM+PN最小值為26,故選C.

答案:C

類型之六:矩形中的極值問題

圖16

圖17

例7(2018·四川攀枝花)如圖16,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=,則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為____.

解析設(shè)△PAB中AB邊上的高是h,因?yàn)镾△PAB=,所以,所以2,所以動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上,如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′,連結(jié)AA′,BA′,則BA′即為所求的最短距離.在Rt△ABA′中,AB=4,AA′=2+2=4,所以,即PA+PB的最小值為42.

類型之七:多邊形中的極值問題

例8(2018·湖北荊門)如圖18,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E為AB邊的中點(diǎn),以BE為邊作等邊△BDE,連接AD,CD.

(1)求證:;

圖18

圖19

解析(1)首先根據(jù)E為AB邊的中點(diǎn)可得BC=AE,根據(jù)△DEB為等邊三角形可得DB=DE,∠DEA=∠DBC,然后根據(jù)全等三角形的判定即可證明出結(jié)論;(2)作點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)E′,連接BE′交AC于點(diǎn)H,由作圖可知:EH+BH=BE′,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

證明(1)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,E為AB邊為中點(diǎn),所以BC=EA,∠ABC=60°.因?yàn)椤鱀EB為等邊三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,所以∠DEA=120°,∠DBC=120°,所以∠DEA=∠DBC,所以.

(2)如圖19,作點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)E′,連接BE′交AC于點(diǎn)H.則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn).由作圖可知:EH+BH=BE′,AE′=AE,∠E′AC=∠BAC=30°,所以∠EAE′=60°,所以△EAE′為等邊三角形,所以,所以∠AE′B=90°,在 Rt△ABC中,,所以,所以,所以BH+EH的最小值為3.

類型之八:拋物線中的極值問題

例9(2018·貴州遵義)如圖20,拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn),若點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn),連接DE、DF,則DE+DF的最小值為___.

圖20

解析點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn),所以DE、DF是△PBC的中位線,,所以,從而將求DE+DF的最小值轉(zhuǎn)化為求PC+PB的最小值.因?yàn)锳、B、C為定點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,且P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),所以PA=PB,PC+PB的最小值等于AC長度.所以連接AC,與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置,由拋物線解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=32,.

因此,在初中階段的圖形與幾何中,“兩點(diǎn)之間線段最短”是我們首先要學(xué)習(xí)的基本事實(shí)之一.在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生掌握運(yùn)用基本事實(shí)解決求兩條線段之和的最小值問題的策略和方法,通過等線段代換,將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.同時(shí),還應(yīng)注意利用軸對(duì)稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系,通過比較來說明最值問題是常用的一種方法.