430079 武漢華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 張景中

地板磚引發(fā)的勾股定理萬能證明

430079 武漢華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 張景中

筆者曾經(jīng)撰文介紹如何用兩個(gè)三角形拼擺，得出了勾股定理的多種證法.當(dāng)然，我們也可以利用計(jì)算機(jī)，給出勾股定理的多種證法.這種設(shè)計(jì)來自畢達(dá)哥拉斯的啟發(fā).

在西方，勾股定理又被稱為畢達(dá)哥拉斯定理.相傳，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯是在觀察地板圖案時(shí)發(fā)現(xiàn)了勾股定理.由于地板圖案都是一樣大小的正方形，所以畢達(dá)哥拉斯最先發(fā)現(xiàn)的是勾股定理對(duì)于等腰直角三角形成立(圖1).

圖1

圖2

十分巧合的是，我國(guó)古代也有類似的圖形(圖2).不過這個(gè)圖形不是從地板圖案而來，而是將一個(gè)正方形紙板分成7份，然后重新進(jìn)行組合.這算是益智游戲七巧板的一個(gè)應(yīng)用吧.

設(shè)計(jì)一種地板圖案如圖3所示，您能從中發(fā)現(xiàn)勾股定理么?您若一眼就能看出該圖蘊(yùn)含了勾股定理的三種證法，那就恭喜您有不錯(cuò)的幾何直覺!

其實(shí)，圖中的奧妙遠(yuǎn)不局限于此.假如設(shè)計(jì)一種由一大一小正方形鋪成的地板，然后我們拿一個(gè)正方形紙板(其邊長(zhǎng)的平方等于原來兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)平方和)隨手往上一扔，一扔就得到一種證法.扔到特殊位置，面積分割起來就比較簡(jiǎn)單一點(diǎn);而扔到一般位置，面積分割起來就需要多一些功夫.

圖3

為了更清楚地說明，我們用動(dòng)態(tài)幾何軟件——超級(jí)畫板制作了一個(gè)課件《勾股定理的萬能證明.zjz》.此課件使用很簡(jiǎn)單，只要拖動(dòng)屏幕上兩個(gè)點(diǎn)，就能批量產(chǎn)生勾股定理面積分割證明.大家有興趣的話，可以到網(wǎng)上去下載，只需在百度上搜索“勾股定理的萬能證明”即可.該課件用超級(jí)畫板打開.

打開課件后，出現(xiàn)界面如圖4所示，這本身就是一種證明.為了讓演示有序進(jìn)行，我們先保持紅點(diǎn)不變，拖動(dòng)黃色點(diǎn)，使之從左上方頂點(diǎn)開始，逆時(shí)針繞一圈(圖5～圖16).

圖4

圖5(5塊)

圖6(7塊)

圖7(6塊)

圖8(5塊)

圖9(7塊)

圖10(6塊)

圖11(5塊)

圖12(7塊)

圖13(6塊)

圖14(5塊)

圖15(7塊)

圖16(6塊)

黃色點(diǎn)在周界上繞完一周后.我們拖動(dòng)它從左上頂點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)部緩慢移動(dòng)(圖17～圖18).

拖動(dòng)黃色點(diǎn)調(diào)整三角形形狀，此時(shí)黃色點(diǎn)在直角邊上較大正方形內(nèi).我們?nèi)匀粡淖笊戏巾旤c(diǎn)開始拖動(dòng)黃色點(diǎn)(圖19～圖21).

圖17(7塊)

圖18(8塊)

圖19(5塊)

圖20(6塊)

圖21(6塊)

圖22(6塊)

以上只是截取的部分圖片，只要有時(shí)間，可以得到更多的證明.稱之為萬能證明，一點(diǎn)都不為過.

以上的變化，都是斜邊上的正方形平移作分割.如果考慮旋轉(zhuǎn)則復(fù)雜很多，譬如圖22的情形可不大容易看出來，還得進(jìn)一步分割.

勾股定理的證明已經(jīng)足夠多了.多幾種、少幾種，影響并不大.但利用計(jì)算機(jī)軟件批量生成證明，則是一件很有趣的事情，這也是過去難以想象的.采用先進(jìn)的技術(shù)手段，用探索發(fā)現(xiàn)的心態(tài)去研究數(shù)學(xué)，能夠看到更多的精彩.

另外，我們也不能忘記是古老的傳說故事給予我們的啟發(fā)，踩在腳下的地板磚看似地位卑微，但卻充滿智慧.它能給我們靈感，解答我們心中的疑惑.譬如拿破侖定理，從任意三角形三邊出發(fā)向外作三個(gè)等邊三角形，而這三個(gè)等邊三角形的中心構(gòu)成一個(gè)新的等邊三角形.這是難倒很多數(shù)學(xué)愛好者的經(jīng)典問題.讓地板磚來告訴我們?cè)趺醋霭?

圖23

如圖23，假定黑色三角形是最初的任意三角形，以其中一邊向外作好等邊三角形，再以該等邊三角形的中心為旋轉(zhuǎn)中心，將原三角形分別旋轉(zhuǎn)120°和240°，然后以三個(gè)非等邊三角形向外作等邊三角形.這樣的操作是可以持續(xù)做下去的，直到鋪滿整個(gè)平面.而若我們連接其中的幾個(gè)中心，就能構(gòu)造出一個(gè)正六邊形.這也就得到了拿破侖定理的一個(gè)無字證明.

這又給我們啟發(fā)，單獨(dú)看某個(gè)事物，可能難以看出什么門道.而若將其放之特定環(huán)境，從整體來看，很可能就能發(fā)現(xiàn)內(nèi)藏的規(guī)律.

20110601)