221000 運(yùn)河高等師范學(xué)校 胡 穎

蹺蹺板中的幾何問題

221000 運(yùn)河高等師范學(xué)校 胡 穎

王娟和張麗正在玩蹺蹺板，(如圖1).這時(shí)她們的數(shù)學(xué)老師走過來，觀察一會(huì)說:“這個(gè)蹺蹺板中有一個(gè)幾何問題呢.”

王娟和張麗數(shù)學(xué)成績在班里都是名列前茅的，聽說有幾何題，急忙問:“什么題啊”?老師在他的備課本上一邊畫一邊說出了下面的幾何題.

圖1

圖2

如圖2，△ABC為正三角形，過C點(diǎn)任作直線JK(與三角形內(nèi)部不相交)，過AB作直線 RS，⊙O1與 AR，AC，CJ都相切，⊙O2與 BS，BC，CK都相切，則這兩個(gè)圓的半徑之和是一個(gè)定值.王娟看了會(huì)說:“我一時(shí)看不出為什么是定值，但我知道這個(gè)定值就是三角形的高”.張麗問:“為什么啊”?王娟說:“當(dāng)蹺蹺板與地面平行時(shí)，就看出來了”她畫出了圖3.老師說:“是啊，其它情形你們回去證證看”.

圖3

第二天王娟和張麗來找老師，王娟說:“我證出來了，我是這樣證的”:如圖4

圖4

⊙O1與三邊的切點(diǎn)記為P，E，M，⊙O2與三邊的切點(diǎn)記為Q，F(xiàn)，N，⊙O1的半徑記為 r1;⊙O2的半徑記為 r2.

設(shè) PA=x，QB=y，AB=1

老師說:“你用的是代數(shù)證法，很好”.

張麗說:“我也證出來了，我是這樣證的”:如圖5

圖5

在AB上截取 AX=AO1，又∠CAO1=∠CAX=60°，AC=AC，

老師說:“你用的是幾何證法，證法也很巧”.老師接著說:“這里還有一個(gè)結(jié)論，C點(diǎn)到兩個(gè)圓心的距離是相等的，你們回去再證證看”.

兩個(gè)人又高興地去研究了.

20110323)