有關(guān)字母取值范圍問題的歸類解析

525136 廣東省化州市文樓中學(xué) 李培華

含字母的取值范圍問題是近年中考或各類大小數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是許多同學(xué)解題的難點(diǎn)所在.怎樣求解含字母取值范圍問題呢?下面本文結(jié)合例題歸納五類常見含字母取值范圍問題的求解方法，供同行參考.

1 代數(shù)式中含字母的取值范圍問題

例1 如果2m，m，1－m這三個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)是按從左到右依次排列，那么m 的取值范圍是

＿＿.

2 方程(組)中含字母的取值范圍問題

解 將原方程去分母得2x+6a=3x－(x－6)整理得0·x=6－6a，

∵原方程無解，∴6－6a≠0解得a≠1，

故a的取值范圍是a≠1.

解 原方程兩邊都乘以(x+2)(x－2)，

得2m= －x(x+2)+(x+2)(x－2)，

整理得2m=－2x－4解得x=－2－m，

得x≤－2，依題意得－2－m≤－2解得m≥0，

∵x=－2－m是原分式方程的根，

∴ －2－m≠2且－2－m≠－2即m≠－4且m≠0，

故m的取值范圍是m＞0.

例7 已知關(guān)于x的方程4x2+4(m－1)x+m2=0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根x1和x2，若x1與x2同號，則m的取值范圍是＿＿.

解 ∵方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根

點(diǎn)評 求解方程(組)中含字母的取值范圍問題的步驟是先把該字母看作已知量，并用該字母的代數(shù)式表示出原方程(組)的根，然后再結(jié)合題設(shè)有關(guān)條件進(jìn)行求解.如例4先按一元一次方程的解法化成最簡形式，再根據(jù)無解這一條件進(jìn)行分析，從而求得結(jié)果;例5先用所要求字母的代數(shù)式表示原方程組的解，然后利用原方程組的解的非負(fù)性建立不等式組中求解;例6先把所要求的字母視為已知量，按照分式方程的解法求解原方程的根，再結(jié)合分式方程有解的條件(最簡公分母不為0)，并把所求得的解代入題設(shè)不等式組去尋找所要求解的字母的取值范圍，例7則用判別式確定所要求解字母的取值情況，再由根與系數(shù)關(guān)系式確定兩根同號時(shí)所要求解字母的取值范圍.

3 不等式(組)中含字母的取值范圍問題

例8 如果不等式3x－m＜0的正整數(shù)解是1，2，3，

則m 的取值范圍是＿＿.

由已知可得不等式組的解集為{x|2－3a＜x＜21}，其中只有4個(gè)整數(shù)解，

從而知這四個(gè)整數(shù)解只能是17，18，19，20.

點(diǎn)評 求解不等式(組)中含字母的取值范圍問題的步驟是先把該字母看作已知數(shù)，并用含該字母的代數(shù)式表示出不等式組的解集，然后再結(jié)合題意建立新的不等式(組)進(jìn)行求解.

4 函數(shù)關(guān)系式中含字母的取值范圍問題

例11 若直線y=3x－1與y=x－k的交點(diǎn)P在第四象限，則k 的取值范圍是＿＿.

點(diǎn)評 (1)對于函數(shù)自變量的取值范圍問題一般應(yīng)考慮下面三點(diǎn):

①分式的分母不為0;

②二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù);

③零指數(shù)冪或負(fù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于0.

(2)對于函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)中含字母的取值范圍問題，應(yīng)利用坐標(biāo)點(diǎn)P(x，y)的以下性質(zhì)求解:若P(x，y)在第一象限，則有;若 P(x，y)在第二象限，則有若P(x，y)在第三象限，則有;若 P(x，y)在第四象限，則有

(3)對于銳角三角函數(shù)中銳角的取值范圍問題，應(yīng)結(jié)合題設(shè)三角函數(shù)值，聯(lián)想特殊角的三角函數(shù)值，并根據(jù)此三角函數(shù)的增減性(sinα和tan α隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小)尋找此銳角的取值范圍.

5 幾何圖形中含(動(dòng)點(diǎn))字母的取值范圍問題

例13 已知兩圓相交，其圓心距為6，大圓半徑為8，則小圓半徑r 的取值范圍是＿＿.

解 ∵ 兩圓相交，∴0＜8－r＜6，解得2＜r＜8，

故小圓半徑r的取值范圍是2＜r＜8，

例14 如圖1所示，已知∠BAC=45°，一動(dòng)點(diǎn) O在射線AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)O與點(diǎn) A不重合)設(shè)OA=x，如果半徑為1的⊙O與射線AC有公共點(diǎn)，則x的取值范圍是

圖1

解 過點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為F.若F在⊙O上即OF=1時(shí)，OA最大，由∠OAF=∠BAC=45°，∠OFA=90°得 OA =，

又∵點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合，∴x＞0.

圖2

解 連接BE，依題意知，∠BDE=90°，

∵△ABD是等邊三角形，

∴△ABD的周長是6×3=18，當(dāng)點(diǎn)C無限趨近于點(diǎn)B時(shí)，四邊形ABCD的周長無限接近于△ABD的周長，但始終比△ABD的周長大，即p＞18;當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，四邊形ABCD的周長最大，由勾股定理得BE =6，從而有p =18+6，故 p的取值范圍是18＜p≤18+6，即選 C.

點(diǎn)評 求解幾何圖形中含(動(dòng)點(diǎn))字母的取值范圍問題的數(shù)學(xué)思想是極限思想，其求解關(guān)鍵在“以靜觀動(dòng)”，即把動(dòng)點(diǎn)放到極端位置上去考慮動(dòng)點(diǎn)字母的取值范圍.如例14和例15把動(dòng)點(diǎn)置于兩個(gè)極端位置去尋找字母的最大值和最小值，從而有效地求解(動(dòng)點(diǎn))字母的取值范圍問題.

20110323)