221700 江蘇省豐縣黃樓初級中學 王慶志

遷移解法再探究 拓廣演變提能力

221700 江蘇省豐縣黃樓初級中學 王慶志

以課本中的典型習題為素材由淺入深，由此及彼地努力探索問題的衍生點，通過變換命題的條件與結論，或通過創(chuàng)設新的問題情境進行“深加工”，類比遷移、延伸拓展，進行創(chuàng)造性的改編可以演變出許多的新問題，通過解題與聯想把蘊涵其中的數學思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質屬性，對于提高同學們探索創(chuàng)新能力、解題的思維技能有著重要的作用.本文以九年級《數學》(義務教育課程標準實驗教科書(江蘇科學技術出版社)上冊第137頁第13題)習題為例闡釋如下.

1 原題及解法

題目 如圖1，在 Rt△ABC中，∠C=90°，它的內切⊙O 分別與邊AB，BC，CA相切于點D，E，F，且 BD=6，AD=4，求⊙O的半徑r.

圖1

解法1 根據直角三角形的勾股定理構造關于內切圓半徑的一元二次方程求解.

連接OE，OF，根據“切線垂直于過切點的半徑”可知 OE⊥BC，OF⊥AC，

又∠ACB=90°，所以四邊形OECF是矩形，又OE=OF，所以四邊形OECF是正方形，

設⊙O的半徑為r，則CE=CF=r，

根據“從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等”，

所以 AF=AD=4，BE=BD=6，

在Rt△ABC中由勾股定理得AC2+BC2=AB2，

即(4+r)2+(6+r)2=(4+6)2，

解之得r=2，r=－12(不合題意，舍去)

所以⊙O的半徑為2.

解法2 根據直角三角形的面積構造關于內切圓半徑的一元二次方程求解.

連接OA，OB，OC將Rt△ABC分成3個三角形，分別為△OAB，△OBC，△OCA它們的高都是內切圓的半徑，根據整體等于部分之和(設r為內切圓的半徑)可得

解之，得r=2，r=－12(不合題意，舍去)

所以⊙O的半徑為2.

2 反思解題過程，探究拓展問題

初中學生的年齡特征及數學認知結構水平，決定了他(她)們往往只熱衷于做習題，卻不對解題思路進行反思、總結，這樣的解題只停留在經驗水平上，往往事倍功半.在學生解決每一個數學問題之后，引導學生對解題過程進行自我反思總結，可以觸及學生元認知思維水平的需要，提升從感性認識到理性認識的飛躍.學之道在于“悟”，只有通過反思，學生的思維才能真正啟動，思想才能得到升華.

從解法2的探究過程中，可以發(fā)現其中隱含了一種重要的數學解題思維方法——有些圖形的面積可以通過適當的分割，利用整體等于各個部分面積之和(“同一個圖形分割后整體的面積等于各個部分之和”)來獲得一種行之有效的解決問題的策略.

拓展1 直角三角形是特殊的三角形，又是多邊形中最簡單的一種圖形，任意的三角形都存在唯一的內切圓，但四邊形不一定存在內切圓，假若四邊形存在一個內切圓上述結論成立嗎?對于任意的n邊形呢?

例1 閱讀材料:如圖2，△ABC的周長為 l，內切圓O的半徑為 r，連接 OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個小三角形，用 S△ABC表示△ABC 的面積.

圖2

(1)理解與應用:利用公式計算邊長分別為5，12，13的三角形內切圓半徑;

圖3

(2)類比與推理:若四邊形ABCD存在內切圓(與各邊都相切的圓)如圖3，且面積為 S，各邊長分別為 a，b，c，d，試推導四邊形的內切圓半徑公式;

(3)拓展與延伸:若一個n邊形(n為不小于3的整數)存在內切圓，且面積為S，各邊長分別為 a1，a2，a3，…，an，合理猜想其內切圓半徑公式(不需說明理由).

解析 本題創(chuàng)設了一個以“閱讀材料—三角形的面積與內切圓半徑及周長之間關系”的問題背景，其中的巧妙之處在于分割后3個三角形的高均為內切圓的半徑，因而三角形的面積等于三角形的周長之半與內切圓半徑之積.

(1)首先根據三邊之間關系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知:邊長分別為5，12，13 的三角形，所以 S=×5×12=30，設內切圓

△ABC半徑為r，則有30=(5+12+13)·r，所以 r=2.

(2)設四邊形內切圓的圓心為點O，分別連接OA，OB，OC，OD，將四邊形ABCD分割為4個三角形△AOB，△BOC，△COD，△DOA，它們的高視為四邊形 ABCD的內切圓半徑，則有S=(a+b+c+d)·r，所以 r=

(3)根據閱讀材料及問題(2)的解答過程，進行類比推理，不難猜想:面積為 S，各邊長分別為 a1，a2，a3，…，an的n邊形(n為不小于3的整數)內切圓半徑公式

點評 本題提供的是“一個多邊形如果存在內切圓，那么這個多邊形的面積如何用多邊形的周長及內切圓的半徑來表示”的研究課題，試題首先從最簡單三角形的內切圓入手讓學生通過閱讀獲得問題的解題方法，經歷解決問題的過程并掌握得到問題的結論，然后讓學生用類比遷移問題的處理方法，去解決四邊形內切圓問題，然后從特殊到一般讓學生猜想對任意的n邊形的內切圓的半徑與n邊形的面積與各邊長之間的關系.通過本題的解答讀者應該掌握“學會從‘特殊情況、簡單情況’入手，觀察分析推理，得出規(guī)律后再向‘一般情況’推廣的研究問題”的數學方法.

拓展2 例2 已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.

(1)如圖4，若半徑為r1的⊙O是 Rt△ABC的內切圓，求r1;

圖4

(2)如圖5，若半徑為 r2的兩個等圓⊙O1，⊙O2外切，且⊙O1與 AC，AB 相切，⊙O2與 BC，AB 相切，求 r2;

(3)如圖6，當n是大于2的正整數時，若半徑為rn的n個等圓⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且⊙O1與AC，AB 相切，⊙On與 BC，AB 相切，⊙O2，⊙O3，…，⊙On－1均與AB邊相切，求rn.

圖5

圖6

解 (1)∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.∴ AB==10.

如 圖 7，設 ⊙O1與Rt△ABC的邊 AB，BC，CA 分別切于點 D，E，F，連接 O1D，O1E，O1F，AO1，BO1，CO1.于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC，

圖7

(2)如圖8連接AO1，BO2，CO1，CO2，O1O2，則

圖8

圖9

(3)如圖 9，連接 AO1，BOn，CO1，COn，O1On，

∵ 等圓⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且均與 AB邊相切，

∴ ⊙O1，⊙O2，…，⊙On均在直線 O1On上，

且 O1On∥AB.

∴ O1On=(n－2)2rn+2rn=2(n－1)rn，

點評 本題是探索相切圓的半徑規(guī)律型問題，要求同學們善于觀察圖形，能從最簡單情況探究問題的解法中得到啟示，從而根據已有的知識經驗對復雜圖形進行分解計算與探究，找出其中的隱含變化規(guī)律，從而遷移問題的解法推廣得一般的結論.

拓展3 將直角三角形改換成等腰三角形，并變換問題的情境——放置到平面直角坐標系中研究內切圓圓心的坐標，進而拓廣探究其旁切圓圓心坐標

例3 (2009年莆田)(1)如圖10，已知，△ABC的周長為 l，面積為 S，其內切圓的圓心為 Q，半徑為 r，求證:r=

(2)如圖11，△ABC中，A，B，C三點的坐標分別為A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，若△ABC 的內心為 D，求內心點D的坐標;

(3)與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓，叫旁切圓，圓心叫旁心.請求出條件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標.

圖10

圖11

解析 (1)見拓展1閱讀材料.

(2)解法1 由于點D在y軸上，且⊙D與x軸相切，故點D坐標為(0，r)，因而只需求出⊙D的半徑r即可，受(1)的啟發(fā)可以利用面積作為相等關系列出關于r的方程.

由已知得AB=6，AC=5，所以，

圖12

(3)根據旁切圓的定義，分別作∠BAC的平分線及∠BCA的外角的平分線，設它們相交于點P，則點P就是第一象限內旁切圓的圓心.過點P作 PE⊥x軸于點 E，連接BD，BP，設點 P(a，b).

解法1 利用相似三角形性質列出關于a，b的方程組求解即可.

由BD平分∠ABC，BP平分∠ABC的外角，

所以∠PBD=90°.

根據等角的余角相等可知

聯立①②解方程組得b=4，a=5故點P的坐標為(5，4).

解法2 可以證明等腰△CAB頂角∠ACB的外角平分線與底邊AB平行，即PC∥AB，又點P在射線AD上，所以P可以看作是直線CP與射線AD的交點.由待定系數法可以求得直線AD的解析式為y=x，顯然直線CP的解析式為y=4，聯立方程組解之，P(5，4).得所以點 的坐標為

點評 本題又見于人教版數學九年級上冊第106頁練習題2，將△ABC特殊化成為等腰三角形，并將其放置于平面直角坐標系中，換一個視角探究內切圓的圓心的坐標，進而拓展進一步探究旁切圓的圓心坐標，意在考查學生靈活遷移知識解決問題的能力.解決問題的思路入手較寬，關注了不同層次學生的數學學習水平，為張揚學生的個性創(chuàng)設了一個比較人性化的數學環(huán)境，整個試題的設計由簡單到復雜，梯度合理，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設計問題，拓展適度，符合學生的認知規(guī)律.體現了“承認差異，尊重個性，不同的人在數學上有不同的發(fā)展”數學理念.

3 習題資源開發(fā)引發(fā)思考

3.1 應突出數學思想方法對解題教學的導航

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，有待我們從問題的探究和解決過程中去發(fā)現和挖掘，進而讓學生銘記在心，只有理解上述解法探究中運用了方程(引例解法1、2)、轉化(將圖形的面積進行分割轉化)、類比、特殊到一般等數學思想方法.數學思想方法，才能在解決類似的數學問題時自覺地去應用.

3.2 習題拓展應設計遞進型問題，以提升學生探究能力

問題是數學的心臟，問題的解決是數學思維的核心，教學中有意識地將原問題拓展延伸，可以有效地培養(yǎng)學生的問題意識與探究能力.在平時習題的教學過程中應當以學生原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中，生長新的知識經驗，使設計的問題永遠處于“學生最近發(fā)展區(qū)”.改編課本習題應當注意與習題體現的數學知識、方法、思維規(guī)律的關聯性，讓解題思路這一不變的“暗線”貫穿始終，當一個問題涉及到相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況入手，通過簡單的情形或特殊情形的觀察與探索，從中發(fā)現一般規(guī)律，或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法.這樣從最簡單的問題入手通過對數學問題多角度、多層次、多方位的討論和思考，層層推進，不斷揭示問題的本質，引導學生從“變”的現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索出“變”的規(guī)律，從而提升學生獨立思考和解決問題的能力，激發(fā)學生大膽參與，勇于探索的精神.

20110328)