張 廣，張 敏，宋冰潔

(1．天津商業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300134；2．天津商業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300134)

1 引 言

近年來，如何有效利用魚類、蝦類這樣的漁業(yè)資源，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)開采、較好經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)不造成勞動(dòng)成本的浪費(fèi)，一直是生物學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)問題. 早先就有著名的生物學(xué)家Malthus(1798)和P.F.Verhulst(1938)對生物種群數(shù)量的變化過程進(jìn)行了研究，建立了眾所周知的Malthus模型和Logistic模型. 此類模型均描述的是種群在自然環(huán)境下的增長規(guī)律，未考慮種群受人類開發(fā)這個(gè)因素. 而在現(xiàn)實(shí)生活中，尤其漁業(yè)資源是受人類開發(fā)利用的. M.B.Schaefe最早提出了金槍魚的一般生產(chǎn)模型，即對金槍魚的開發(fā)利用模型. 在此基礎(chǔ)上，1954年Gordon[1]提出了新的經(jīng)濟(jì)理論——凈利潤等于總收入減去總成本，把價(jià)格成本引入了生物經(jīng)濟(jì)模型,并假定所收獲的單位生物量價(jià)格和捕撈成本是常數(shù). 1969年Smith提出了一種新的數(shù)學(xué)模型，它利用凈利潤來描述人類行為與種群開發(fā)的動(dòng)態(tài)關(guān)系，即漁業(yè)賺錢，捕魚者增多(種群開發(fā)增強(qiáng))，自然捕獲量也增多. 魚多了價(jià)錢就會(huì)下降，進(jìn)而漁業(yè)沒錢可賺，捕魚者隨之減少(種群開發(fā)減弱). 也就是說種群的密度(或數(shù)量)和捕獲努力量(種群開發(fā)程度)之間是一個(gè)自反饋控制，即開放式漁場的自反饋捕獲模型. 在文獻(xiàn)[2-4]中都對開放式漁場的自反饋捕獲模型進(jìn)行詳細(xì)的定性分析和研究，并且文獻(xiàn)[3]從經(jīng)濟(jì)角度出發(fā)，開始將價(jià)格作為變量處理. 而事實(shí)上，市場價(jià)格一成不變顯然是不可能的. 所捕獲魚的價(jià)格與消費(fèi)者的需求量，魚的市場供給量有密切的關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上，2001年王克，范猛等[5]在借鑒文獻(xiàn)[2，6]的基礎(chǔ)上對價(jià)格進(jìn)行新處理——受供求關(guān)系影響的代數(shù)形式的價(jià)格. 而后大量文獻(xiàn)[7-15]從經(jīng)濟(jì)效益角度出發(fā)研究捕獲問題，里面的價(jià)格均以代數(shù)形式處理. 與此同時(shí)也有文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]分別以最大可持續(xù)量為目標(biāo)對帶有周期系數(shù)單種群和經(jīng)濟(jì)效益最大時(shí)種群的捕獲時(shí)間進(jìn)行研究. 綜上可以看出有眾多文獻(xiàn)對種群捕獲問題都進(jìn)行了研究，經(jīng)濟(jì)效益是大家所普遍關(guān)注的重點(diǎn)問題，進(jìn)而價(jià)格問題也顯得尤其重要. 雖然已有的文獻(xiàn)可以反映出價(jià)格是受供求關(guān)系影響的，但是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)的，經(jīng)濟(jì)變量是隨時(shí)間變化而改變的，故價(jià)格以代數(shù)形式處理并不符合市場規(guī)律，文獻(xiàn)[18]中建立了由微分方程刻畫的非線性價(jià)格調(diào)整模型. 根據(jù)價(jià)格理論，需求曲線是向右下方傾斜的，表示商品的需求量和價(jià)格是反方向變動(dòng)的關(guān)系. 同樣供給曲線是向右上方傾斜的，表示商品的供給量和價(jià)格是同方向變動(dòng)的規(guī)律. 需求曲線和供給曲線是線性或非線性的，在不影響結(jié)論的前提下，為簡化分析，經(jīng)濟(jì)學(xué)中大多采用線性處理. 本文以下也將按線性處理.

本文基于價(jià)格受市場供求關(guān)系的變化，首先建立一種新型的動(dòng)態(tài)價(jià)格下的捕獲模型. 其次計(jì)算出均衡點(diǎn)并對穩(wěn)定性進(jìn)行了證明和動(dòng)力學(xué)分析. 再次，做了數(shù)值模擬且從生物經(jīng)濟(jì)學(xué)角度進(jìn)行了解釋. 最后得出結(jié)論給出建議.

2 模型的建立

開放式漁場的自反饋捕獲模型[1]為：

(1)

其中，s表示t時(shí)刻某類魚種群的密度或數(shù)量，E表示t時(shí)刻捕獲努力量，p表示價(jià)格，w表示單位投入成本，v是正常數(shù)，表示捕獲努力量與凈利潤的大小成正比.

模型(1)中，價(jià)格p是常數(shù). 在實(shí)際的市場經(jīng)濟(jì)中，市場需求和市場供給決定了市場的出清價(jià)格. 這里假設(shè)需求曲線是線性的，即qd=a+bp，其中b<0. 供給曲線是線性的，即qs=c+dp，其中d>0. 市場價(jià)格時(shí)刻受供給量和需求量的影響，當(dāng)需求量大于供給量時(shí)，則價(jià)格上升；當(dāng)供給量大于需求量時(shí)，則價(jià)格下降．文獻(xiàn)[18]也討論了相同的價(jià)格問題．在文獻(xiàn)[2]中有：

(2)

結(jié)合供給曲線和需求曲線，式(2)變成

(3)

進(jìn)而得到新的動(dòng)態(tài)價(jià)格下的捕獲模型：

(4)

這里L(fēng)ogistic規(guī)律刻畫生物種群增長. 其中，系數(shù)r代表種群內(nèi)生增長率，k代表環(huán)境的最大承載量(或飽和水平)，即代表著棲息地可以容納的最大種群數(shù)量.

3 均衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

定理1假設(shè)a>c,b<0，d>0，那么模型(4)有且僅有一個(gè)正均衡點(diǎn).

證明由

可解得：

E*=(s*,E*,p*).

其中，

證畢.

定理2定理1的條件成立，那么均衡點(diǎn)E*(s*,E*,p*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明

模型(4)的雅克比矩陣為

在均衡點(diǎn)E*(s*,E*,p*)處相應(yīng)的特征方程為：

a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中，

這里

其中，a0=1>0，因?yàn)閎<0,d>0故而-β(b-d)>0，又加上r,k,s*均大于0，因此a1>0. 因?yàn)関,w,r均大于0且s*0.

Δ2=

證畢.

4 全局動(dòng)力學(xué)分析

繪制均衡捕獲努力量的傾斜面、均衡種群數(shù)量的曲平面、均衡價(jià)格的水平面，見圖1．

根據(jù)圖1分別從三個(gè)均衡面進(jìn)行分析：

分析后得出在八個(gè)卦限中，生物種群數(shù)量、捕獲努力量和價(jià)格水平的增減性見表1．

圖1 (a)、(b)分別表示捕獲努力量、種群數(shù)量及價(jià)格均衡空間視圖及其旋轉(zhuǎn)圖

sEpsEp一 ↑↑ ↓ 二 ↓ ↑ ↓三 ↓ ↓ ↓ 四↑ ↓ ↓五 ↑ ↑ ↑ 六 ↓ ↑ ↑七 ↓ ↓ ↑ 八 ↑ ↓ ↑

為了體現(xiàn)模型(4)在經(jīng)濟(jì)意義下的優(yōu)勢，現(xiàn)將新型動(dòng)態(tài)價(jià)格下的模型(4)和開放式漁場常數(shù)價(jià)格下的模型(1)進(jìn)行比較，選取模型(4)均衡價(jià)格處的截面圖與模型(1)常數(shù)價(jià)格下的二維圖，并將這兩個(gè)圖畫在同一坐標(biāo)系下，見圖2. 從圖2中可以看出，在有相同的種群數(shù)量和捕獲努力量的前提下，均衡價(jià)格下和常數(shù)價(jià)格下，經(jīng)過一系列的循環(huán)，都能達(dá)到各自的均衡點(diǎn)處，但均衡點(diǎn)是不一樣的．在捕獲生物種群相同數(shù)量S3時(shí)，均衡價(jià)格下的捕獲努力量要低于常數(shù)價(jià)格下的捕獲努力量，這對于如何控制捕撈行業(yè)的捕撈成本是有一定參考價(jià)值的.

5 數(shù)值模擬與生物經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

接下來考慮具體系統(tǒng)

來說明捕獲努力量、種群數(shù)量、價(jià)格三者變化情況.

圖2 表示均衡價(jià)格、常數(shù)價(jià)格下生物經(jīng)濟(jì)圖，其中常數(shù)價(jià)格來源于模型(1)

這里r=3,k=5,α=0.5,v=1,w=3,β=1,a=4,c=1,b=-1/2,d=1/2，故v>0,β>0,a>c,b<0,d>0滿足條件. 按照介紹的計(jì)算法可以計(jì)算出正均衡點(diǎn)E*(2,3.6,3)并且可以得出是局部漸近穩(wěn)定的(這里以初值s0=2,E0=4,p0=4，在第二卦限為例做具體詳細(xì)說明). 用Matlab仿真結(jié)果證明最后趨近于正均衡點(diǎn)，見圖3．

圖3 (a)、(b)表示系統(tǒng)初值在第二卦限不帶均衡面、帶均衡面的仿真模擬結(jié)果

生物經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋：

初值分別在八個(gè)卦限的Matlab仿真對比結(jié)果見圖4．

從圖4中可以看出，初值在八個(gè)卦限時(shí)最終都趨近于了正均衡點(diǎn)E*(2,3.6,3). 說明捕獲努力量、種群數(shù)量、價(jià)格三者無論初值在哪個(gè)象限，是否存在利潤的情況下最終都將趨于均衡點(diǎn).

圖4 (a)～(h)分別表示系統(tǒng)初值在第一、二、三、四、五、六、七、八卦限仿真模擬結(jié)果

6 結(jié) 論

本文從價(jià)格理論角度出發(fā)，考慮市場價(jià)格受供給和需求的影響，建立了一種新的動(dòng)態(tài)價(jià)格下的捕獲模型，進(jìn)而理論證明了系統(tǒng)僅有一個(gè)正均衡點(diǎn)且是漸進(jìn)穩(wěn)定的，并從數(shù)值模擬和生物經(jīng)濟(jì)學(xué)兩個(gè)角度出發(fā)，驗(yàn)證了無論初值在哪個(gè)卦限最終都趨向于均衡點(diǎn)，來進(jìn)一步說明均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 更重要的是發(fā)現(xiàn)如果捕獲相同數(shù)量的生物種群，那么在均衡價(jià)格下的捕撈努力量要低于常數(shù)價(jià)格下的捕撈努力量，這將為捕獲問題的優(yōu)化管理提供有價(jià)值的理論借鑒.