李雄英, 陳小玲, 曾凱華

(1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.廣東省技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究發(fā)展中心,廣東 廣州 510070)

1 引 言

在股票市場(chǎng)，不少學(xué)者關(guān)心股價(jià)的變化和股價(jià)的預(yù)測(cè)，股價(jià)的不確定性變化往往又表現(xiàn)為市場(chǎng)的波動(dòng).由于股票收益率序列比股票價(jià)格序列能更好地體現(xiàn)股票市場(chǎng)的波動(dòng)性,因此，在股票市場(chǎng),對(duì)股票收益率進(jìn)行建模預(yù)測(cè)相對(duì)于股票價(jià)格預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)有著重要的研究?jī)r(jià)值.

預(yù)測(cè)的理論方法多種多樣.有的學(xué)者研究人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型、灰色預(yù)測(cè)模型、支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型等；有的學(xué)者研究時(shí)間序列方法，如ARIMA模型、ARCH模型；也有不少學(xué)者提出了一種組合預(yù)測(cè)模型，如ARIMA和SVM相結(jié)合的預(yù)測(cè)模型、ARIMA和BPNN組合的預(yù)測(cè)模型等[1].近年來(lái)，國(guó)內(nèi)也有不少用ARMA模型、ARCH 模型和GARCH模型來(lái)研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)變化和波動(dòng)規(guī)律的成果.例如，吳玉霞和溫欣(2016)[2]運(yùn)用ARIMA模型預(yù)測(cè)了股票價(jià)格變動(dòng)的規(guī)律和趨勢(shì)，預(yù)測(cè)效果較理想.魯萬(wàn)波(2006)[3]應(yīng)用非參數(shù) GARCH模型能較好地預(yù)測(cè)中國(guó)股市的波動(dòng)性.王蔣鳳和吳群英(2011)[4]運(yùn)用GARCH類模型對(duì)滬深300指數(shù)序列的波動(dòng)性、收益率進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，獲得理想的效果.魏紅燕和孟純軍(2014)[5]運(yùn)用GARCH模型研究人民幣對(duì)美元的匯率預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果比較理想.羅永恒(2013)[6]應(yīng)用ARMA模型較好地反映了中國(guó)農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化.付燕和栗鋒(2012)[7]運(yùn)用ARMA模型對(duì)我國(guó)體育股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.賀本嵐(2008)[8]應(yīng)用ARIMA與ARCH模型預(yù)測(cè)股票價(jià)格，結(jié)果表明ARCH 模型相比ARIMA模型的預(yù)測(cè)效果更滿意.閆冬(2012)[9]將GARCH模型與ARMA模型相結(jié)合，提出 ARMA-GARCH 組合預(yù)測(cè)模型，研究表明ARMA-GARCH 預(yù)測(cè)模型有效地刻畫了上證指數(shù)的短期變化.而在股票價(jià)格波動(dòng)性的預(yù)測(cè)能力方面上，將ARMA模型、GARCH 模型以及ARMA-GARCH組合模型相比較的研究成果并不多.而大多數(shù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型都是以ARMA或GARCH模型為基礎(chǔ)，因此比較ARMA模型、GARCH模型和ARMA-GARCH模型的預(yù)測(cè)效果具有重要的意義.

本文旨在研究ARMA模型、GARCH 模型對(duì)中國(guó)四大銀行股票價(jià)格波動(dòng)的預(yù)測(cè)能力，通過(guò)以中國(guó)四大銀行股票每日的收盤價(jià)提取樣本研究對(duì)象，分別建立ARMA模型、GARCH 模型以及ARMA-GARCH模型對(duì)收益率序列進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析.首先，用ARMA模型來(lái)刻畫t時(shí)刻的收益率；再檢驗(yàn)收益率序列是否存在條件異方差性，從而確定建立GARCH模型；接著由于ARMA模型殘差存在ARCH效應(yīng)以及GARCH模型的均值方程系數(shù)不顯著，從而建立ARMA-GARCH組合預(yù)測(cè)模型；最后通過(guò)模型比較表明，對(duì)四大銀行股票收益率預(yù)測(cè)研究，擬合效果上，ARMA-GARCH模型的擬合優(yōu)度最好；預(yù)測(cè)效果上，ARMA模型預(yù)測(cè)精度最好，其次是ARMA-GARCH模型.

2 時(shí)間序列模型簡(jiǎn)介

2.1 ARMA模型[10]

ARMA模型是一類常用的隨機(jī)時(shí)間序列模型，由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box和Jenkins創(chuàng)立，亦稱Box-Jenkins方法.ARMA(p,q)模型的一般表達(dá)式為：

rt=φ1rt-1+φ2rt-2+…+φprt-p+ut-θ1ut-1-…-θq．

(1)

該模型中p為自回歸部分的階數(shù)，q為移動(dòng)平均部分的階數(shù)，因此記為ARMA(p,q).

運(yùn)用該ARMA模型的前提條件是，作為分析對(duì)象的時(shí)間序列是一組零均值的平穩(wěn)序列.但現(xiàn)實(shí)中存在大量的非平穩(wěn)的時(shí)間序列.因此，在建立ARMA模型之前，需要對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理.

2.2 ARCH效應(yīng)與GARCH模型[11]

在金融市場(chǎng)中，股價(jià)或市場(chǎng)具有波動(dòng)率聚集的特點(diǎn).1982年Engle最早提出了運(yùn)用ARCH模型對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)的條件異方差性進(jìn)行刻畫.ARCH模型，它的主要思想是擾動(dòng)項(xiàng)是前后不相關(guān)的，它的條件方差依賴于它的前期值的大小.ARCH(q)模型的一般表達(dá)式為：

(2)

式中，假定εt是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，α0>0,αi≥0(i=1,2,…,q).

關(guān)于ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)，即對(duì)均值方程的殘差平方序列進(jìn)行條件異方差性檢驗(yàn).若發(fā)現(xiàn)存在顯著的ARCH效應(yīng)，則可以建立一個(gè)波動(dòng)率模型.但ARCH模型有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，就是通常擬合的模型階數(shù)q較大，為了解決這個(gè)問(wèn)題，1986年Bollerslev在Engle的ARCH模型基礎(chǔ)上提出了廣義自回歸條件異方差模型-GARCH模型.

對(duì)于一個(gè)對(duì)數(shù)收益率序列rt，令at=rt-μt為t時(shí)刻的新息.稱at服從GARCH(m,s)模型，若at滿足：

(3)

式中，εt是均值為0，方差為1的獨(dú)立同分布序列，α0>0,αi≥0,βj≥0,α0>0,αi≥0,βj≥0，且

2.3 ARMA-GARCH模型[12]

ARMA-GARCH 模型表示的是序列的均值應(yīng)用 ARMA模型，條件方差應(yīng)用GARCH模型.因此，ARMA-GARCH 模型的基本結(jié)構(gòu)表示為：

(4)

3 實(shí)證分析——以中國(guó)四大銀行為例

3.1 數(shù)據(jù)選取與基本統(tǒng)計(jì)分析

本文選取2007年10月1日-2017年10月1日的中國(guó)銀行、中國(guó)工商銀行和中國(guó)建設(shè)銀行的股票每日收盤價(jià)以及中國(guó)農(nóng)業(yè)銀行2010年7月15日-2017年10月1日的股票每日收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)，其中最后2天的數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng).本文研究股票市場(chǎng)的波動(dòng)，以股票市場(chǎng)的日收益率作為考察變量，股票市場(chǎng)的日收益率以相鄰兩日收盤價(jià)的對(duì)數(shù)一階差分來(lái)表示，并以Rt作為第t日的股票日對(duì)數(shù)收益率.日對(duì)數(shù)收益率組成新的樣本時(shí)間序列，對(duì)該序列進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)分析，得到其基本描述統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果及其時(shí)序圖，分別見(jiàn)表1和圖1.

表1 中國(guó)四大銀行日對(duì)數(shù)收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征

由表1可知，中國(guó)銀行的偏度為0.095，接近于0，其他三大銀行的偏度均小于0，而四大銀行的峰度值均大于3，說(shuō)明其日對(duì)數(shù)收益率具有尖峰厚尾特征，正態(tài)性檢驗(yàn)所得的P值均接近于0，這說(shuō)明至少可以在99%的置信水平下拒絕序列為正態(tài)分布的零假設(shè)，即可以認(rèn)為中國(guó)四大銀行的日對(duì)數(shù)收益率序列均不服從正態(tài)分布，其所對(duì)應(yīng)的股價(jià)序列并不是完全隨機(jī)的.

圖1 中國(guó)四大銀行日對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖

由圖1四大銀行的收益率時(shí)序圖上可以看出，各銀行的收益率在零均值附近上下波動(dòng)，可以初步判斷四大銀行的日收益率是平穩(wěn)的.

3.2 ARMA模型的建立與分析

1) 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

利用時(shí)間序列分析進(jìn)行建模,首先需要對(duì)數(shù)據(jù)平穩(wěn)化.而僅從時(shí)序圖中判斷序列的平穩(wěn)性是不嚴(yán)格的，因此建模前必須先檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性.接著采用ADF單位根檢驗(yàn)法進(jìn)一步對(duì)該日對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 各銀行日收益率序列的單位根檢驗(yàn)

由表2可見(jiàn)，顯然各序列都可以在0.01的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即序列不存在單位根，則認(rèn)為各序列{Rt}是平穩(wěn)的.因此，各銀行的日對(duì)數(shù)收益率序列均可以考慮建立ARMA(p,q)模型.

2)ARMA模型識(shí)別與參數(shù)估計(jì)

對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別擬合與估計(jì)，可以利用序列的自相關(guān)系數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)識(shí)別ARMA模型的階數(shù)，并結(jié)合AIC信息準(zhǔn)則擇優(yōu)選擇模型，即AIC值越小其精度越高，擬合得較好.因此，結(jié)合各序列的ACF和PACF圖以及AIC信息準(zhǔn)則，最終選擇最優(yōu)的ARMA(p,q)模型分別為建設(shè)銀行ARMA(2,2)，工商銀行ARMA(2,4)，農(nóng)業(yè)銀行ARMA(2,2)，中國(guó)銀行ARMA(3,1).其中四大銀行模型估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 ARMA模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表3可知，以中國(guó)銀行的日對(duì)數(shù)收益率為例，最終選擇ARMA(3,1)模型，即

rt=-0.577rt-1-0.062rt-2-0.051rt-3+

at+0.558at-1．

(5)

3)ARMA模型檢驗(yàn)

對(duì)所建立的ARMA模型優(yōu)劣的檢驗(yàn)，是通過(guò)對(duì)原序列與所建立的ARMA模型的殘差序列{at}進(jìn)行檢驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.若殘差序列具有隨機(jī)性，就意味著所建立的模型已包含原時(shí)間序列的所有趨勢(shì)，從而說(shuō)明所建立的模型對(duì)原時(shí)間序列的描述是合適的充分的.本文中對(duì)殘差的這種隨機(jī)性檢驗(yàn)采用的是Box-Ljung檢驗(yàn)法.四大銀行的ARMA模型的殘差序列的隨機(jī)性檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 模型殘差相關(guān)性與平穩(wěn)性檢驗(yàn)

由表4可知，各銀行的日收益率序列擬合的模型，其對(duì)應(yīng)的殘差序列的Box-Ljung檢驗(yàn)的P值均大于0.05，證實(shí)了各模型的殘差序列沒(méi)有顯著的相關(guān)性，從而模型建立是合理的.因此，可以應(yīng)用上述ARMA模型預(yù)測(cè)各四大銀行的日收益率.

3.3 GARCH模型的建立與分析

從基本統(tǒng)計(jì)分析中，得到中國(guó)四大銀行的日對(duì)數(shù)收益率具有尖峰厚尾特征，且各序列均不服從正態(tài)分布.從圖1時(shí)序圖中可以發(fā)現(xiàn)，除了觀察到各收益率序列在零均值附近上下波動(dòng)之外，還有一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是波動(dòng)的聚集性.因此，需要進(jìn)一步判斷日收益率序列是否具有條件異方差性，以嘗試通過(guò)波動(dòng)率進(jìn)行建模，從而達(dá)到改進(jìn)模型的作用.

1)ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

Lag

Lag

Lag

Lag

2)GARCH模型的建立

通過(guò)上述檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)各收益率序列均存在顯著的條件異方差性，進(jìn)而為了消除序列的異方差性，選取構(gòu)建GARCH模型.本文選擇建立GARCH(1,1)模型.借助R語(yǔ)言軟件，得到各銀行日收益率序列的GARCH(1,1)模型，其中殘差項(xiàng)的分布分別選擇了高斯分布、學(xué)生t分布、有偏學(xué)生t分布，3個(gè)模型都能較好地?cái)M合了給定的數(shù)據(jù)，且3個(gè)擬合序列之間的相關(guān)系數(shù)都接近1，區(qū)別比較小.本文結(jié)合AIC最小原則選擇模型，綜合考慮，最后殘差項(xiàng)的分布選擇有偏學(xué)生t分布達(dá)到相對(duì)更優(yōu).各收益率序列的新息是服從有偏學(xué)生-t分布的GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表5所示.

由表5可以看到，所有的參數(shù)估計(jì)，除了模型中的常數(shù)以外，其他參數(shù)都是高度顯著的，說(shuō)明GARCH(1,1)能較好地?cái)M合數(shù)據(jù).其中，以中國(guó)銀行股票的日對(duì)數(shù)收益率序列為例，應(yīng)用帶有偏學(xué)生t分布的新息，擬合的GARCH(1,1)模型為：

(6)

表5 GARCH模型估計(jì)結(jié)果

注：括號(hào)內(nèi)為估計(jì)模型系數(shù)的概率

3)模型的檢驗(yàn)

接下來(lái)，對(duì)GARCH(1,1)模型的殘差與殘差平方進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).標(biāo)準(zhǔn)化殘差的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量和它們的平方序列都不能拒絕該模型，因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)的P值均大于0.05，從而認(rèn)為各模型的殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，說(shuō)明以上GARCH(1,1)模型消除了殘差序列的條件異方差性，模型的擬合是充分的.

3.4 ARMA-GARCH模型的建立與分析

1) ARMA-GARCH模型的建立

正如前文所述，在建立純時(shí)間序列ARMA模型時(shí)，顯然忽略了序列中存在ARCH效應(yīng)，而僅僅的ARMA模型并不能處理序列的條件異方差性.對(duì)于存在ARCH效應(yīng)的序列，若僅僅是通過(guò)波動(dòng)率進(jìn)行建模，如上文僅僅對(duì)股票的日對(duì)數(shù)收益率序列建立GARCH(1,1)模型，由表5可知，其常數(shù)項(xiàng)并不顯著，即僅構(gòu)建波動(dòng)率模型，其均值方程是不顯著的.因此，本文考慮在建立ARMA均值方程的基礎(chǔ)上，對(duì)均值方程的殘差項(xiàng)建立GARCH模型以消除條件異方差性，即通過(guò)建立ARMA-GARCH模型對(duì)樣本日對(duì)數(shù)收益率序列的ARMA模型進(jìn)行改進(jìn).

對(duì)前文ARMA模型殘差進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，將Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于各ARMA模型的殘差平方序列，建行、工商銀行、農(nóng)業(yè)銀行與中國(guó)銀行的4個(gè)ARMA模型的殘差平方序列的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量分別為Q=260，Q1=160，Q2=130，Q3=170，其對(duì)應(yīng)的P值均接近于0，說(shuō)明殘差序列存在顯著的序列相關(guān)性，顯然殘差序列存在ARCH效應(yīng).于是考慮建立ARMA-GARCH組合預(yù)測(cè)模型.殘差項(xiàng)的分布仍然選擇有偏學(xué)生t分布，各收益率序列的新息是服從有偏學(xué)生-t分布的ARMA-GARCH模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表6.

表6 各ARMA-GARCH模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

同樣地，根據(jù)表6，以中國(guó)銀行股票的日對(duì)數(shù)收益率序列為例，應(yīng)用帶有偏學(xué)生t分布的新息，改進(jìn)后的ARMA(3,1)-GARCH(1,1)模型為：

(7)

2)模型檢驗(yàn)

在得到改進(jìn)的ARMA-GARCH模型后，對(duì)其對(duì)應(yīng)模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差及其平方進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).四大銀行的股票日對(duì)數(shù)收益率序列的ARMA-GARCH模型對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量和它們的平方序列都不能拒絕原假設(shè)，說(shuō)明ARMA-GARCH模型的擬合是充分的.其中，以中國(guó)銀行股票日對(duì)數(shù)收益率序列為例.從估計(jì)模型標(biāo)準(zhǔn)化殘差的時(shí)序圖、QQ圖及其相關(guān)圖中可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列是白噪聲序列，不存在序列相關(guān)性，而且其標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方序列也不存在序列相關(guān)性，已經(jīng)消除了條件異方差性，從而說(shuō)明所擬合的ARMA(3,1)-GARCH(1,1)模型是充分的.

3.5 模型的比較與討論

3.5.1 樣本內(nèi)比較

如果數(shù)據(jù)分析的目的是為了研究一個(gè)時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，那么可以用樣本內(nèi)方法來(lái)比較不同的模型.樣本內(nèi)比較法就是利用所有數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行模型估計(jì)和比較，比如信息準(zhǔn)則(如AIC和BIC)和殘差方差的估計(jì).如果選定其中一個(gè)準(zhǔn)則，那么它的值越小，模型就越好.本文采用的AIC準(zhǔn)則對(duì)以上3個(gè)模型進(jìn)行樣本內(nèi)比較，其值見(jiàn)表7.

表7 樣本內(nèi)比較

從表7可知，根據(jù)AIC準(zhǔn)則，對(duì)股票的日對(duì)數(shù)收益率序列建立波動(dòng)率方程GARCH模型相比要優(yōu)于建立ARMA模型.GARCH模型的AIC值比較于ARMA 模型的AIC值有了比較大的下降，說(shuō)明四大銀行的股票日對(duì)數(shù)收益率序列存在波動(dòng)率集聚現(xiàn)象且GARCH模型可以更好地解釋并消除條件異方差.根據(jù)表7，改進(jìn)的ARMA-GARCH組合預(yù)測(cè)模型相比單純的ARMA模型與單純的GARCH模型也都更優(yōu).因此，根據(jù)AIC準(zhǔn)則，即在樣本內(nèi)比較時(shí)，ARMA-GARCH模型的擬合效果更理想.

3.5.2 樣本外比較

若建立時(shí)間序列模型是為了預(yù)測(cè)，則進(jìn)行模型比較就要考慮模型的預(yù)測(cè)能力.本文采用均方誤差(MSFE)和平均絕對(duì)誤差(MAFE)2個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量模型預(yù)測(cè)效果的好壞，對(duì)于不同的模型，若預(yù)測(cè)的MSFE或MAFE越小，則說(shuō)明預(yù)測(cè)精度越高[13]. 把最小MSFE或最小MAFE對(duì)應(yīng)的模型作為這組數(shù)據(jù)的最好模型.其中，這2個(gè)指標(biāo)反映預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差大小，其定義分別為：

(8)

(9)

根據(jù)各模型對(duì)股票日對(duì)數(shù)收益率的測(cè)試集的預(yù)測(cè)，計(jì)算了各模型預(yù)測(cè)的均方誤差、平均絕對(duì)誤差，下面給出3個(gè)模型超前兩步預(yù)測(cè)時(shí)，其在第一步預(yù)測(cè)中對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差的均方(MSFE)與平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差(MAFE)，整理見(jiàn)表8.

表8 樣本外比較

根據(jù)表8可以得到，ARMA模型、GARCH模型與ARMA-GARCH模型這3個(gè)模型的預(yù)測(cè)效果差別不大.整體上，ARMA模型的預(yù)測(cè)效果更優(yōu)，其中ARMA-GARCH模型是在ARMA模型的均值方程基礎(chǔ)上，對(duì)殘差項(xiàng)加入GARCH模型的波動(dòng)率方程，但其預(yù)測(cè)效果也并沒(méi)有得到提升.因此，從預(yù)測(cè)精度上看，ARMA模型的預(yù)測(cè)效果最好，波動(dòng)率建模的預(yù)測(cè)效果并沒(méi)有得到提高.

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用時(shí)間序列分析的預(yù)測(cè)方法，通過(guò)對(duì)中國(guó)四大銀行的股票日對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行實(shí)證分析可以發(fā)現(xiàn)，ARMA模型、GARCH模型以及改進(jìn)的ARMA-GARCH模型均能對(duì)四大銀行的股票日對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)分析，具體可以得到以下結(jié)論：

1)在模型擬合效果方面，對(duì)四大銀行股票的日對(duì)數(shù)收益率序列建立GARCH模型相比要優(yōu)于建立ARMA模型，而建立改進(jìn)的ARMA-GARCH模型，與建立單一的ARMA模型、單一的GARCH模型相比，ARMA-GARCH模型的擬合優(yōu)度都更優(yōu)更理想.這是由于四大銀行的股票日對(duì)數(shù)收益率序列存在波動(dòng)率集聚現(xiàn)象且GARCH模型可以更好的解釋并消除條件異方差，也說(shuō)明ARMA-GARCH模型和GARCH模型能更好地反映這個(gè)時(shí)間段四大銀行日股價(jià)的實(shí)際波動(dòng)情況.

2)在模型預(yù)測(cè)效果方面，ARMA模型、GARCH模型以及ARMA-GARCH模型各自的均方預(yù)測(cè)誤差與平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差都比較小且各模型之間的預(yù)測(cè)誤差均相差在1%左右.整體上，在預(yù)測(cè)四大銀行的股價(jià)上，ARMA模型的預(yù)測(cè)效果最優(yōu)，其次ARMA-GARCH模型.

綜上所述，ARMA模型對(duì)于四大銀行股票的波動(dòng)性、股票收益率的預(yù)測(cè)效果比較好，但ARMA模型對(duì)股票收益率預(yù)測(cè)的擬合優(yōu)度均遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于GARCH和ARMA-GARCH模型.GARCH和ARMA-GARCH模型對(duì)于股票收益率序列可以很好地消除條件異方差，ARMA和GARCH模型結(jié)合的ARMA-GARCH模型在擬合效果和預(yù)測(cè)能力上都取得更理想的效果.