聶凡皓

【摘要】本文主要介紹了與二項分布相關(guān)的一些極限定理，在第一部分首先介紹了三種常見的離散型隨機變量，他們分別服從二項分布、超幾何分布和泊松分布；在第二部分分別介紹了超幾何分布與二項分布的極限定理以及二項分布和泊松分布之間的極限定理，并給出了極限定理背后的實際含義。

【關(guān)鍵詞】二項分布 超幾何分布 泊松分布 極限定理

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）30-0119-02

一、幾種常見的離散型隨機變量

（一）二項分布

二項分布定義：假設(shè)事件A在一次伯努利試驗中出現(xiàn)的概率為p，在n重伯努利試驗中，記隨機變量X1為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則稱隨機變量X1服從二項分布，記作：

X1～B（n，p）.

二項分布的概率分布為：

P（X1=k）=C■■pk（1-p）n-k，k=0，1，…，n.

（二）超幾何分布

超幾何分布定義：假定在N個小球品中有M個小球為藍色小球，其余小球為紅色小球，在N個小球中隨機抽取n個小球，記X2為藍色小球的個數(shù)，則稱隨機變量X2服從超幾何分布，記作：

X2～H（N，n，M）.

超幾何分布的概率分布：

P（X2=k）=■.

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}.

（三）泊松分布

假設(shè)隨機變量X3的可能取值為一切非負整數(shù)值，并且，

P（X3=k）=■e-？姿，k=0，1，2，….

其中，？姿>0，k為常數(shù)，則稱隨機變量X3服從泊松分布，記作：

X3～P（？姿）.

二、三種離散型隨機變量之間的聯(lián)系

（一）超幾何分布與二項分布之間的極限定理

假設(shè)隨機變量服從超幾何分布，即：

P（X=k）=■

并假設(shè)，M=Np，其中0

則我們可以得到，

P（X=k）=■

=■·■·■

=C■■·■·■

由于，

■=p， ■=1-p

則可以得到，

■■=pk.

■■=（1-p）n-k.

因此我們有，

■■=C■■pk（1-p）n-k

故當N足夠大時，超幾何分布逼近了二項分布。

從超幾何分布和二項分布所代表的實際意義來看，我們假設(shè)藍色小球總數(shù)M占小球總數(shù)N的比例一定，也就是說藍色小球的概率是確定的，并且當小球總數(shù)N足夠多，抽取的小球數(shù)n比較少時，我們進行有放回的抽取小球和無放回的抽取小球，抽到藍色小球的概率幾乎是不變的，也就是說從所有小球抽取n個小球出來，可以看作是一件一件抽取出來的，即可以看作是n次獨立重復(fù)試驗，這樣超幾何分布在極限意義下（總小球數(shù)N足夠多時）逼近二項分布。

（二）二項分布與泊松分布之間的極限定理

在介紹本小節(jié)的結(jié)論之前，首先介紹一個高等數(shù)學(xué)中一個基礎(chǔ)的重要極限公式，即：

■1+■■=e.

這個公式還有一個重要的推論，

■1+■■=eC.

這里C為常數(shù)，這個推論將在下文的推導(dǎo)中用到。

假設(shè)隨機變量序列{Xn}每一項都服從二項分布，即

Xn～B（n，pn）.

并且有，

■npn=？姿.

其中，？姿>0.

P（Xn=k）=C■■p■■（1-pn）n-k

=■p■■（1-pn）n-k

=■p■■（1-pn）n-k

注意到，

■（n-m）pn=？姿

這里，0≤m≤n，并且m為固定的自然數(shù)。

因此有，

■n（n-1）…（n-k+1）p■■=？姿k.

另由重要極限的推論我們可以得到，

■（1-pn）n-k=■1+■■=e-？姿

因此有，

■P（Xn=k）=■e-？姿.

因此二項分布逼近了泊松分布。

事實上，泊松分布是二項分布n“很大”而p“很小”時的一種極限形式。二項分布是說，已知事件A發(fā)生的概率是p，那么做n次伯努利試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)就服從于二項分布。泊松分布是指某段連續(xù)的時間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)，而且“某事件”發(fā)生所用的時間是可以忽略的。例如，在五分鐘內(nèi)，電子元件遭受脈沖的次數(shù)，就服從于泊松分布。假如我們把“連續(xù)的時間”分割成無數(shù)小份，那么每個小份之間都是相互獨立的。在每個很小的時間區(qū)間內(nèi)，電子元件都有可能“遭受到脈沖”或者“沒有遭受到脈沖”，這就可以被認為是一個p很小的二項分布。而因為“連續(xù)的時間”被分割成無窮多份，因此n（試驗次數(shù)）很大。所以，泊松分布可以認為是二項分布的一種極限形式。因為二項分布其實就是一個最最簡單的“發(fā)生”與“不發(fā)生”的分布，它可以描述非常多的隨機的自然界現(xiàn)象，因此其極限形式泊松分布自然也是非常有用的。

結(jié)束語

與二項分布相關(guān)的極限定理是概率論中較為重要的組成部分，更是高中時期乃至大學(xué)時期我們所研究的概率學(xué)相關(guān)知識的重點。本文從二項分布引入，對包括二項分布在內(nèi)的超幾何分布、泊松分布等極限定理進行了相關(guān)的證明與論述，內(nèi)容較為抽象，理解起來有一定的難度，遂對兩個極限定理舉了實際例子來解釋。本文所介紹的概率分布在生活中應(yīng)用較多，如在判斷公司盈利概率問題或彩票中獎概率等問題上有著一定作用。

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