☉江蘇省常熟市興隆中學(xué)張建良

一、題目呈現(xiàn)

（2018年蘇州市中考試題）如圖1，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點(diǎn)D在直線l上，小明從A出發(fā)，沿公路l向西走了若干米后到達(dá)E處，然后轉(zhuǎn)身沿EB方向走向F處，接著又改變方向沿射線FC走到公路l上的點(diǎn)G處，最后沿公路l回到A處，設(shè)AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

（1）求圖2中線段MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）試問：小明從起點(diǎn)A出發(fā)直至最后回到點(diǎn)A處，所走過的路徑（即△EFG）是否可以是一個(gè)等腰三角形？如果可以，求出相應(yīng)x的值；如果不可以，說明理由.

圖1

圖2

二、三種解法

解析：（1）線段MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+200.

（2）思路：將EB、FB、FC、CG都用含x的代數(shù)式表示，再分類討論建立方程求x的值.

至此，這個(gè)題目“數(shù)大”“式長”的氣質(zhì)給了學(xué)生第一次感官上的震撼.但為了研究△EFG是否構(gòu)成等腰三角形就需要表示相關(guān)線段的長.

解法1：直接分類，不問西東.

對(duì)△EFG分以下三種情況討論：

①當(dāng)EG=EF時(shí)，得△EFG是等腰三角形.

在這樣一個(gè)解題過程中，所調(diào)動(dòng)的思維量不大，首先BE、CG可利用勾股定理用含x的式子表示，順著這樣的思路再利用相似三角形的性質(zhì)將線段FB、FC也用含x的式子表示.接下去就可以按常規(guī)方法進(jìn)行分類，根據(jù)“等腰”條件要求建立方程，計(jì)算出x的值.此處的難點(diǎn)并不是能不能列出方程，而是能不能順利求出未知數(shù)x的值.當(dāng)然，這樣的解題方法并不是命題組希望看到的，因?yàn)檎麄€(gè)解答過程沒有了思維的簡潔性和靈活性.

解法2：轉(zhuǎn)化對(duì)象，聲東擊西.

由BC∥AD，得△FBC △FEG，所以當(dāng)△FBC是一個(gè)等腰三角形時(shí)，可知△EFG也是一個(gè)等腰三角形.因此對(duì)△FBC分以下三種情況進(jìn)行討論.

學(xué)生在遇見眼前“繁雜”的方程時(shí)，自然想到了“轉(zhuǎn)化”這一思維方法，展示“聲東擊西”的思維策略.此處的思維優(yōu)勢(shì)就是通過轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)到另一個(gè)研究對(duì)象上實(shí)現(xiàn)減少計(jì)算量.如果出現(xiàn)這樣一個(gè)解答過程，那么考查了學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化問題的思維和一定的計(jì)算能力.以上兩種解法呈現(xiàn)“小思維、大計(jì)算”的格局，那么有沒有“大思維、小計(jì)算”的解決方案呢？

解法3：線段轉(zhuǎn)化，簡潔靈動(dòng).

①當(dāng)EF=EG時(shí)，得△EFG是等腰三角形.

由EF=EG，得∠G=∠F.

由BC∥AD，得∠G=∠BCF.

則∠BCF=∠F，則BF=BC=100.

由EF=EG=EA+GA=x+y=2x+200，得EB=EF-BF=2x+100.

在Rt△AEB中，EB2=AE2+EB2，則（2x+100）2=x2+1002，解得（舍去）.

②當(dāng)GE=GF時(shí)，得△EFG是等腰三角形.

同①，得CF=CB=100.

在Rt△GCD中，GC2=GD2+DC2，則（2x+100）2=（x+100）2+1002，解得x=

1（不合題意，舍去）.

（3）當(dāng)FE=FG時(shí)，得△EFG是等腰三角形.

連接CE.

由ED=GD=x+100，∠ADC=90°，得CD是EG的中垂線，則CE=CG，則∠CEG=∠G，則∠FEG≠∠G.則不存在x，使FE=FG，即不構(gòu)成等腰三角形EFG.

在這樣的一個(gè)解法中，一沒有用到相似三角形的性質(zhì)，二沒有列出帶根號(hào)的方程，所以解題過程呈現(xiàn)出“小清新”，有一種四兩撥千斤的感覺.這樣的解題風(fēng)格是建立在兩次線段轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，解題過程展示出了一個(gè)學(xué)生所具備的優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

三、解法評(píng)講

上面三種解法有相似的地方，但更多地體現(xiàn)了不同的解題數(shù)學(xué)思維水平.第一種解法思維水準(zhǔn)一般，只是從解決問題的思路出發(fā)，單刀直入，雖直接但費(fèi)時(shí)費(fèi)力.第二種解法思維水準(zhǔn)中等，通過一次轉(zhuǎn)化所列出的方程相對(duì)變得簡單，降低了不少計(jì)算量.第三種解法思維水準(zhǔn)上等，通過兩次轉(zhuǎn)化“腰”的數(shù)據(jù)，列出整式方程，計(jì)算順暢.當(dāng)然學(xué)生正確解答都會(huì)得滿分，但事實(shí)上這樣一個(gè)考題確實(shí)考查出了學(xué)生的不同層次的數(shù)學(xué)思維水平.

如果要評(píng)講這樣一個(gè)試題，作為教師又該如何選擇呢？選擇解法1，則想少算多；選擇解法2，則想不多算不多；選擇解法3，則想多算少.面對(duì)一個(gè)班級(jí)中不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，該如何選擇是一個(gè)數(shù)學(xué)教師必須思考明白的問題.

教師選擇哪一個(gè)解題方法進(jìn)行講評(píng)，應(yīng)該做好以下三個(gè)方面的準(zhǔn)備，即理解題目、理解目的、理解學(xué)生.

理解題目就是明確題目中要求什么，它屬于什么知識(shí)范疇，目前已知條件是什么，已知和未知之間缺少什么關(guān)聯(lián)，確定大致的解決方案.

理解目的也就是教師看到題目，首先，弄清題目所涉及的內(nèi)容及解答過程中所需要的思維水平和運(yùn)算能力等；其次，厘清命制該題的目的和意圖.比如，該題考查內(nèi)容：一是勾股定理，二是方程建模，三是分類討論，四是轉(zhuǎn)化思想.

理解學(xué)生也就是要在評(píng)講前準(zhǔn)確把握班級(jí)中學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，要看到班級(jí)中大多數(shù)學(xué)生的思維水平和解題思路，還要看題目是出現(xiàn)在學(xué)習(xí)新知識(shí)的復(fù)習(xí)階段還是中考復(fù)習(xí)階段，不同的階段自然會(huì)選擇不同的解答途徑.一題有多解但還需一題有優(yōu)解，什么是優(yōu)解？不是教師感覺好的、技術(shù)含量高的解法，而是學(xué)生能理解、能聽得懂的常規(guī)解法，這樣的解法應(yīng)該最貼近學(xué)生當(dāng)前的思維狀態(tài)和解題能力，其他解法可能只能是錦上添花，使不同的學(xué)生獲得不同的解題體驗(yàn).

以該題為例，解法1思維起點(diǎn)不高但運(yùn)算繁；解法3思維要求高，但運(yùn)算簡單，特別是其中利用隱藏的中垂線討論更是思維出眾.為此，教師在講評(píng)時(shí)更應(yīng)該貼近學(xué)生已有的解題思維和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行講解，避免因?yàn)橛?jì)算量大的問題造成對(duì)思考出的解題思路產(chǎn)生懷疑或否定.當(dāng)然可以將解法1作為引子激發(fā)學(xué)生積極思考尋找更簡潔的解法2，讓學(xué)生感受計(jì)算也是一門技術(shù)，尋找簡單解法也是一份數(shù)學(xué)念想.

四、教學(xué)啟示

解題中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)思維易但不易算的方法和計(jì)算易但思維靈活的方法，如果遇到這兩類方法，那么教師如何選擇適合大部分學(xué)生的解題方法進(jìn)行講評(píng)教學(xué)呢？先看下面一個(gè)考題.

如圖3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=6，AC=8，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿斜邊BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度.點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度.過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，作PN⊥AC于點(diǎn)N.點(diǎn)P與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D相遇時(shí)，t=_____；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D相遇后，若線段CD與MN相等，求t的值.

在解第（2）題時(shí)，有兩種解法：

解法1：如圖4，作DH⊥BC于H.

圖3

圖4

解法2：如圖4，連接CP，作CQ⊥AB于Q.

通過兩個(gè)解法的呈現(xiàn)，對(duì)上面提出的問題可以給出以下說明.學(xué)生在試卷上作答時(shí)用第一種解法比較多，直接使用CD2=MN2作為相等關(guān)系，然后分別找出CD、MN所在的Rt△CDH和Rt△PMN，再把這兩個(gè)三角形的各條直角邊用含t的表達(dá)式表示出來，方程易列但學(xué)生在進(jìn)入計(jì)算環(huán)節(jié)后往往敗下陣來，所以有教師抓住這一點(diǎn)，在上課時(shí)會(huì)說，這么繁的計(jì)算你還想算嗎？潛臺(tái)詞就是說你思維不夠靈活.但不能有時(shí)因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜就成為教師嫌棄的理由，其實(shí)計(jì)算下去不斷接近目標(biāo)是對(duì)自己思維的一種肯定，計(jì)算過程其實(shí)是對(duì)自己克服困難的一種態(tài)度，計(jì)算結(jié)果正確其實(shí)是對(duì)自己的一種激勵(lì).在習(xí)題評(píng)講教學(xué)中，“重”思維、“輕”計(jì)算是我們數(shù)學(xué)教師不能視而不見的一個(gè)不好的現(xiàn)象.有時(shí)煩瑣一點(diǎn)的計(jì)算中需要化繁為簡的數(shù)學(xué)智慧，也是一次提升學(xué)生計(jì)算能力的途徑，避免出現(xiàn)想的對(duì)卻做不對(duì)的局面.

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的主旋律，學(xué)生因會(huì)做題而愛數(shù)學(xué)，學(xué)生也因不會(huì)做題而不喜歡數(shù)學(xué).大多數(shù)學(xué)生想到的方法應(yīng)該是離學(xué)生思維狀態(tài)最近的想法，在這一狀態(tài)下學(xué)習(xí)的學(xué)生容易接受和理解教師的所思所講，跳一跳能找到解題思路，在這樣的基礎(chǔ)上和學(xué)生進(jìn)行講評(píng)收獲會(huì)最有成效.作為數(shù)學(xué)教師，不應(yīng)把自己心中的好方法、新思路毫無選擇地傳授給學(xué)生，而應(yīng)通過批閱和交流手段收集到“群眾的聲音”，不斷貼近學(xué)生的思維找到適合當(dāng)前學(xué)生的解法講評(píng).因此，如何進(jìn)行基于學(xué)生思維狀態(tài)下的解題評(píng)講教學(xué)是擺在我們每一位數(shù)學(xué)教師面前的課題.