☉湖北省老河口市第三中學朱小斐

章復習課作為一種基本課型，其主要功能是梳理全章內容、構建知識體系、提煉思想方法，是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的沃土.近日，在老河口市舉行的“基于核心素養(yǎng)的初中數學基本課型教學實踐研究——章節(jié)復習課”研討活動中，筆者展示了人教版九年級上冊第21章“一元二次方程”復習課，取得了較好的教學效果，受到聽課教師的一致好評，同時引發(fā)了筆者對章復習課的一些教學思考.本文梳理該課的教學設計，闡釋教學立意，探討如何在復習課中培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).

一、“一元二次方程”章復習課教學設計

環(huán)節(jié)1：情境引入，建立模型

問題1：在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感.這個高度比應是多少？

【師生活動】教師引導學生探究：將上面的問題一般化，如圖1，在線段AB上找一點C，使AC∶BC=BC∶AB，即BC2=AC·AB.為簡單起見，設AB=1，BC=x，則AC=1-x.可列方程x2=1-x，整理得x2+x-1=0.

追問1：這是一個什么方程？怎樣判斷一個方程是一元二次方程？

圖1

【師生活動】引導學生回顧一元二次方程的定義、一般形式、根等有關概念.之后學生獨立解這個方程，并根據問題的實際意義，取x=

追問2：你知道0.618這個數嗎？

【師生活動】教師介紹黃金分割，并用課件展示黃金矩形（如圖2）、黃金三角形（如圖3）、五角星（如圖4）等圖案，引導學生發(fā)現其中存在的黃金分割數.

黃金矩形

圖2

黃金三角形

圖3

五角星

圖4

設計意圖：以黃金分割作為問題情境引入，激發(fā)學生的探究欲望，同時與章引言首尾呼應.讓學生經歷由實際問題抽象為數學模型的過程，體會數學與現實世界的聯系，發(fā)展數學抽象、數學建模素養(yǎng).在得到方程x2+x-1=0后，教師通過追問，引導學生在具體問題情境中復習一元二次方程的定義、一般形式、根等有關概念.通過介紹黃金矩形、黃金三角形、五角星中存在的黃金分割數，感受幾何上的“美學”；讓學生課后上網查尋、搜集與黃金分割有關的資料，進一步了解黃金分割數的應用，感受數學文化的魅力.

環(huán)節(jié)2：梳理解法，溝通聯系

問題2：上面解方程x2+x-1=0，同學們采用的是什么方法？

思考：將方程變?yōu)棰賦2-1=0，②x2+x=0，③x2+2x-1=0，④x2+x-2=0，⑤5x2-3x+1=0，分別用什么方法解比較合適？選擇恰當的方法解一解.

【師生活動】學生獨立完成，選代表板演、交流解法.

追問：一元二次方程有哪些解法？它們在什么情況下最適用？這幾種解法之間有何聯系？

設計意圖：本環(huán)節(jié)主要復習一元二次方程的解法，通過比較不同解法，體會如何根據方程的特點選擇恰當的解法.在前面的學習中，學生已進行了一定數量的解方程訓練，能夠熟練地解一元二次方程，所以這里的重點是梳理、比較、選擇解法.通過改變方程x2+x-1=0中二次項系數、一次項系數和常數項的值，得到新的方程，讓學生先實踐后比較.給出的5個方程均比較簡單，便于學生快速求解，從而把重點放在比較解法、溝通聯系上.通過追問，讓學生深入思考這幾種解法之間的聯系，體會“降次”“化歸”的基本思想，提升解一元二次方程的能力，發(fā)展數學運算素養(yǎng).

環(huán)節(jié)3：開放設問，發(fā)展思維

問題3：已知關于x的方程（2m-1）x2+x-1=0.

（1）m為何值時，方程有兩個不等的實數根？

（2）m為何值時，方程有兩個相等的實數根？

（3）m為何值時，方程有實數根？

（4）m為何值時，方程無實數根？

（5）對于問題（3）和問題（4），將“方程”改為“一元二次方程”呢？

（6）m為何值時，方程的兩個實數根的和為-1？

（7）m為何值時，方程的兩個實數根的積為-1？

【師生活動】出示題干后，引導學生自己提出問題，教師加以甄別，歸納整理為上述7個問題，學生獨立思考后交流、展示，教師在學生思維困惑處給予適時點撥.

設計意圖：將方程x2+x-1=0進行改造，變?yōu)楹凶帜赶禂档姆匠?，引導學生進一步探究，使不同的復習環(huán)節(jié)之間自然過渡，平滑轉場.開放性的問題設計，讓學生變被動為主動，可以自己提出問題，可以解答自己的問題，增強學生發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.根的判別式的應用是學生平時學習的易錯點、難點，這里通過題組的形式集中呈現，引導學生理解一元二次方程根的情況與Δ的值之間的對應關系，辨別方程與一元二次方程的區(qū)別與聯系，有效地突破了難點，同時培養(yǎng)學生分類討論的意識，形成嚴密的數學思維.后兩個問題是根與系數關系的應用，學生解答后發(fā)現方程又回到了x2+x-1=0，再次感受黃金分割，體會數學之美.

環(huán)節(jié)4：問題解決，提煉方法

問題4：用一條長40cm的繩子圍成一個矩形.

（1）怎樣圍成一個面積為75cm2的矩形？

（2）能圍成一個面積為101cm2的矩形嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由.

（3）能夠圍成的矩形的最大面積是多少？此時矩形的長和寬分別是多少？

（4）通過解答以上三道小題，你有什么發(fā)現？

【師生活動】課件逐次出示4個問題.對于前兩個問題，學生獨立解答后展示交流，對于后兩個問題，教師給予點撥引導，與學生一起探究.

設計意圖：問題4來源于課本復習題21第11題.前兩問是原題，主要考查學生用一元二次方程解決實際問題的能力.在學生完成了原題的解答后，心中不免會產生疑問：面積多大才能保證矩形能夠圍成呢？可見，問題的研究還不徹底，探究還要繼續(xù).基于此，增加了第（3）問，引導學生進一步探究，可設面積為S并列出方程（其實是二次函數的解析式），運用配方法求出面積的范圍（S≤100），從而獲得問題的解，而且學生很容易看出，此時矩形的長和寬都是10cm，矩形“特殊化”為正方形.第（4）問引導學生回顧梳理研究結果及方法，并進行“一般化”推廣，得出結論：當矩形周長一定時，正方形的面積最大.這4個問題由淺入深，層層遞進，將一個功能單一的練習題轉化為一個綜合性的問題，可培養(yǎng)學生思維的深刻性，積累基本活動經驗.

環(huán)節(jié)5：歸納小結，構建體系

問題5：回顧本節(jié)課的學習，思考以下問題：

（1）本節(jié)課復習了哪些主要內容？按照什么線索進行復習的？

（2）在問題解決的過程中，你學到了哪些方法？還有什么問題或困惑？

【師生活動】教師引導學生總結、交流，完善本章知識結構框圖（如圖5）.

圖5

設計意圖：通過小結，讓學生梳理本節(jié)課所復習的內容，回顧利用一元二次方程建立數學模型解決實際問題的基本過程，構建本章知識結構圖，感悟模型、化歸、分類等數學思想方法.

環(huán)節(jié)6：當堂檢測，反饋矯正

題1：已知x1=3是關于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一個根，則c=______，方程的另一個根x2是______.

題2：某種藥品經過兩次降價，每盒藥品的售價降低到原來售價的81%，若平均每次降低的百分率為x，則可列方程為______.

題3：已知關于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有兩個不相等的實數根.

（1）求k的取值范圍；

（2）當k取最大整數值時，求該方程的解；

（3）求方程的兩根的和與積（用k表示）.

設計意圖：課堂的最后階段，安排3道當堂檢測題，限時5分鐘完成，題目涵蓋本節(jié)課復習的主要內容，可以有效地檢測學生的復習效果.

二、基于核心素養(yǎng)的章復習課教學思考

1.聚焦主線，構建全章知識體系

基于核心素養(yǎng)的章復習課，教師不應將視野囿于對知識點的簡單梳理和對習題的訓練講解，更重要的是要體現知識線索的有效串聯、知識體系的全面構建和數學思想方法的有效滲透.所以，章復習課的首要目標是構建知識體系.一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數的關系構成了一條知識鏈，環(huán)環(huán)相扣，層層推進.從實際問題中抽象出數量關系，列出一元二次方程，求出它的根，進而解決實際問題，是本章學習的一條主線.本節(jié)復習課，就是借助這條學習主線，將零散的知識點串起來，逐步完善學生的知識鏈條，形成完整的單元知識結構.為了實現這一目標，需要教師結合學情，精心組織復習內容，讓學生在具體的問題情境中梳理知識，查漏補缺，夯實“四基”.值得注意的是，本課的問題情境都來源于教材，并進行了適當的改編拓展，這是復習課重視教材、回歸教材的直接體現.

2.讓學引思，促進思維自然生長

章復習課教學，除了要對所學知識進行梳理，查漏補缺，構建體系，復習的著眼點也應放在學生思維的發(fā)展、學習能力的提升上，讓學生的數學學習經歷一次再生長.這就要求教師在復習課上做到以生為本，落實“讓學引思”理念.“讓”出時間，“引”學生自主探究；“讓”出空間，“引”學生討論交流；“讓”出機會，“引”學生思維生長.本節(jié)課，教師以問題驅動課堂教學，引導學生主動而有深度地學習；重視啟發(fā)、參與、探究、交流，促進學生的數學思維向“廣度”“深度”生長.如在環(huán)節(jié)3中，借助一個開放的問題情境，引導學生自己提出問題、創(chuàng)編問題、分析問題、解答問題，將要復習的知識融入一個題組中，有效地整合了復習內容，溝通了知識的聯系，拓寬了學生思維的廣度.在環(huán)節(jié)4中，通過對課本中一道復習題進行深度探究，淺入深出，層層遞進，追本溯源，提升了思維的深度，也讓復習課有了濃濃的“探究味”.

3.滲透思想，發(fā)展學生核心素養(yǎng)

復習課是一章的尾聲，其根本目的是深化學生對本章核心內容及其反映的數學思想方法的理解，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng).“一元二次方程”一章涉及的數學思想方法主要有：由實際問題抽象為一元二次方程這個過程中蘊含的符號化、模型化思想；解一元二次方程的過程中蘊含的降次、化歸思想.本節(jié)課，從實際問題引入復習內容，并最終回到建立一元二次方程模型解決實際問題，讓學生完整地經歷“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的數學活動過程，積累數學活動經驗，發(fā)展數學抽象、數學建模素養(yǎng).環(huán)節(jié)2梳理、總結幾種解法的基本思路、各自特點和適用范圍，溝通了不同解法之間的內在聯系，體會如何根據方程的特點選擇恰當的解法，培養(yǎng)學生思維的敏捷性、靈活性、深刻性，發(fā)展數學運算素養(yǎng).通過問題4第（3）、（4）問的探究，體會配方法是一種重要的、應用廣泛的數學方法，為后面研究二次函數提供方法引領.這些“潤物細無聲”的思想滲透、方法引領，讓復習課成為培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一片沃土.