☉江蘇省丹陽市第八中學(xué)景永興

教師著眼于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平與已有經(jīng)驗(yàn)精心設(shè)計(jì)系列問題，能令學(xué)生在生動(dòng)活潑、主動(dòng)而富有個(gè)性的學(xué)習(xí)中展開積極的思考，積極探究、體驗(yàn)與運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，并因此逐步積累起更加豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在教師的有效指導(dǎo)中落實(shí)真正有意義的探究活動(dòng)并獲得學(xué)習(xí)的進(jìn)步.

教師的啟發(fā)誘導(dǎo)、學(xué)生的獨(dú)立自主學(xué)習(xí)與合作討論都是有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)必不可少的，教師以問題為引領(lǐng)并啟發(fā)學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題，能令師生雙方在共同探究的過程中獲得富有個(gè)性化的思考，學(xué)生這一學(xué)習(xí)的主體在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中也會(huì)展現(xiàn)出更加豐富的思維動(dòng)態(tài)與個(gè)性化想法.一般來說，學(xué)生的探究活動(dòng)可以分為獨(dú)立探究、合作探究與引導(dǎo)探究這三種最基本的形式.

一、獨(dú)立探究

獨(dú)立探究這一探究活動(dòng)中最基本的活動(dòng)形式實(shí)際上就是學(xué)生個(gè)體對(duì)探究對(duì)象所進(jìn)行的獨(dú)立思考和探究.教師在一些較為基礎(chǔ)或簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)的研究中，可以設(shè)計(jì)一定的問題情境來引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和探究，使學(xué)生能夠在獨(dú)立思考和探究中自主發(fā)現(xiàn)有關(guān)知識(shí)并完成一定的學(xué)習(xí).

案例1：二元一次方程的建立.

教師在二元一次方程概念的建立過程中，可以設(shè)計(jì)以下三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探索.

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境.

長(zhǎng)城這一中華民族偉大的象征西起嘉峪關(guān)，東至遼東虎山，全長(zhǎng)約7300千米，其中西段實(shí)際上是指嘉峪關(guān)到山海關(guān)這一路程，東段則指山海關(guān)至遼東虎山這一路程，西段比東段長(zhǎng)約6100千米的距離，那么長(zhǎng)城的東段、西段的長(zhǎng)度各是多少呢？

（2）提出以下系列問題：

①已知量和未知量分別有哪些？

②有哪些等量關(guān)系？

③可否列出一元一次方法來解決此題？

④未知數(shù)有兩個(gè).假如設(shè)東段與西段分別長(zhǎng)x千米、y千米，用含有未知數(shù)x、y的代數(shù)式表示長(zhǎng)城全長(zhǎng)則為______；表示西段比東段長(zhǎng)6100千米為______.

學(xué)生在解決第④問時(shí)往往易得以下兩個(gè)方程：

x+y=7300；

y-x=6100.

（3）觀察上述方程并歸納其特點(diǎn).

學(xué)生往往能夠表達(dá)出上述兩個(gè)方程的部分特點(diǎn)，教師可以在學(xué)生思考與歸納的基礎(chǔ)上對(duì)其共同特點(diǎn)進(jìn)行概括與表達(dá)，直至將兩個(gè)方程均含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都是1這一本質(zhì)特點(diǎn)概括出來，二元一次方程的定義至此也就順利得出了.

學(xué)生思考并解決上述三個(gè)問題的過程正是二元一次方程建立的過程，學(xué)生在親身經(jīng)歷中對(duì)二元一次方程這一概念的產(chǎn)生形成了充分的認(rèn)識(shí)，學(xué)生在教師的精心設(shè)計(jì)中深刻體會(huì)到了源于生活而又服務(wù)于生活的數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)應(yīng)用，模型思想更易形成.

二、合作探究

以合作學(xué)習(xí)為前提所進(jìn)行的合作探究是學(xué)習(xí)小組成員之間對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行的共同探究活動(dòng).一般來說.學(xué)生在合作探究之前必然已經(jīng)進(jìn)行過一定程度的獨(dú)立探究，合作探究往往是其獨(dú)立探究后仍未能很好地解決時(shí)采取的一種探究方式.

案例2：多邊形內(nèi)角和.

教師在啟發(fā)、指導(dǎo)學(xué)生合作探究多邊形的內(nèi)角和時(shí)可以設(shè)計(jì)以下三個(gè)步驟.

（1）要求每個(gè)學(xué)生根據(jù)圖1中的多邊形進(jìn)行獨(dú)立思考并添加輔助線，自主推導(dǎo)n邊形的內(nèi)角和公式.

（2）組織學(xué)生將各自添加輔助線求n邊形內(nèi)角和的方法進(jìn)行組內(nèi)交流、相互比較并分享他人的成果.

（3）引導(dǎo)全班學(xué)生進(jìn)行合作與共同概括，如圖2所示，添加輔助線的方法雖然多樣且各不相同，但分割多邊形并將多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和問題是此處探究的實(shí)質(zhì).因此，不管根據(jù)何種分割法進(jìn)行計(jì)算，最終得到的結(jié)果都是相同的.學(xué)生在獨(dú)立探究、合作探究與全班探究、概括的整個(gè)過程中運(yùn)用到了計(jì)算、歸納和發(fā)現(xiàn)，最終在大家的共同合作與努力中獲得了求n邊形內(nèi)角和的公式：（n-2）·180°.

圖1

圖2

獨(dú)立探究和合作探究在這一案例中都得到了體現(xiàn).問題（1）的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探究，使學(xué)生能夠在獨(dú)立思考中獲得求n邊形內(nèi)角和的不同推導(dǎo)方法.問題（2）和（3）的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作探究，使學(xué)生能夠在合作探究中發(fā)現(xiàn)盡管分割方法不盡相同，但殊途同歸，相同的結(jié)果都會(huì)在不同分割圖形的方法中得到，使得學(xué)生不禁產(chǎn)生是否具備共性的思考，也因此引發(fā)學(xué)生的繼續(xù)思考.

三、引導(dǎo)探究

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究與思考即為這里所指的引導(dǎo)探究，這種探究方式一般應(yīng)用于學(xué)生獨(dú)立探究和合作探究結(jié)束后又無結(jié)果或定論之時(shí).教師在學(xué)生探究無力或束手無策之時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究，往往能令學(xué)生獲得靈感或繼續(xù)探究的準(zhǔn)確方向.

案例3：確定圓的條件.

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓這一內(nèi)容往往不是學(xué)生獨(dú)立探究與合作探究中能夠輕易得出的，因此，教師在學(xué)生獨(dú)立探究與合作探究的基礎(chǔ)上，可以采取引導(dǎo)探究的方式幫助學(xué)生獲得知識(shí).

（1）在紙上作一點(diǎn)A并經(jīng)過該點(diǎn)作圓，大家能作多少個(gè)圓呢？

（2）在紙上作A、B兩點(diǎn)并經(jīng)過這兩點(diǎn)作圓，大家能作多少個(gè)圓呢？圓心在哪里？

（3）在紙上作A、B、C三點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)可以作出一個(gè)圓嗎？若能，應(yīng)如何作出？圓心在哪里？經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)能作出多少個(gè)圓呢？

說明：學(xué)生在獨(dú)立探索中即能解決問題（1）和（2）：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)能作出如圖3所示的無數(shù)個(gè)圓；經(jīng)過兩點(diǎn)能夠作出如圖4所示的無數(shù)個(gè)圓，所作出的圓的圓心都在如圖4所示的虛線上，已知兩點(diǎn)構(gòu)成的線段的垂直平分線即為這一直線，這一重要的發(fā)現(xiàn)對(duì)于解決問題3來說極有價(jià)值.

不過，學(xué)生面對(duì)問題（3）時(shí)往往頗感困難，教師可以設(shè)計(jì)以下問題促成引導(dǎo)探究：

師：若經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓O已經(jīng)作出，那么圓心O至A、B、C三點(diǎn)的距離如何？

生：相等.

師：到A、B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在何處？

生：在線段AB的垂直平分線上.

師：到B、C兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在何處？

生：在線段BC的垂直平分線上.

師：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心應(yīng)如何確定呢？

生：先后分別作出線段AB、BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為圓心.

……

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下很快作出了如圖5所示的經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓，不僅如此，還對(duì)該圓唯一作出了揭示.

圖3

圖4

圖5

探究?jī)?nèi)容難易上的差異、學(xué)生探究能力的高低往往會(huì)決定探究方式的選擇，教師在具體內(nèi)容的探究中，不管選何種方式，都應(yīng)始終記住數(shù)學(xué)教育應(yīng)令人人都獲得良好發(fā)展的教育宗旨與理念.因此，教師在具體教學(xué)中，一定要遵循學(xué)生能夠獨(dú)立探究時(shí)就不采用合作探究的原則，學(xué)生能夠合作探究解決的問題也盡量不采用引導(dǎo)探究，應(yīng)使學(xué)生能夠在獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上獲得最周全、細(xì)致的思考，在必要的時(shí)候運(yùn)用合作探究和引導(dǎo)探究作為補(bǔ)充.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)一般遵循如圖6所示的具體過程：

圖6

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法表達(dá)過自己的見解，強(qiáng)調(diào)實(shí)行“再創(chuàng)造”才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一的正確方法.因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中要堅(jiān)持由學(xué)生本人去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，杜絕將現(xiàn)成知識(shí)灌輸給學(xué)生的簡(jiǎn)單做法，運(yùn)用情境設(shè)計(jì)、問題引領(lǐng)等多種手段與方法啟發(fā)、引導(dǎo)、幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這種再創(chuàng)造.F