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        三角形兩解條件的一種巧記方法

        2018-12-10 05:37:32江西省豐城中學(xué)吳愛龍黃小華
        關(guān)鍵詞:銳角直角正弦

        ■江西省豐城中學(xué) 吳愛龍 黃小華

        在△A B C中,已知a,b和A,求解三角形。常用結(jié)論為:在A為銳角的情形下,若滿足條件bsinA<a<b,則△A B C必有兩解。

        上述結(jié)論,??山柚鷪D1來解釋。此法不僅操作性不強(qiáng),而且記憶困難。一旦將字母調(diào)換,就會造成一片混亂。

        圖1

        下面借助單位圓中的正弦線,更直觀地處理上述問題。

        在△A B C中,由正弦定理知

        如圖2,記∠P OM=A(A為銳角),∠Q O H=B(B為鈍角)。

        圖2

        由圖顯見,當(dāng)|M P|<|N Q|<1,即 sinA<時(shí),亦即bsinA<a<b時(shí),∠P O Q=C,此時(shí),A+B+C=π,三角形存在一解。

        同理,當(dāng)B為銳角時(shí),顯然又有一解,所以△A B C共有兩解。

        利用上述方法判斷三角形兩解問題時(shí),只需看題設(shè)是否滿足條件|M P|<|N Q|<1即可,若滿足則有兩解。倘若將題設(shè)中的已知角稱為“先角”,而由題設(shè)及正弦定理求出的角稱為“后角”,則不等式“|M P|<|N Q|<1”可用文字語言表達(dá)成“先角的正弦值<后角的正弦值<直角的正弦值”,這些文字方便記憶。

        例1在△A B C中,已知a=2,b=,A=45°,則滿足條件的三角形有( )。

        A.1個(gè) B.2個(gè)

        C.0個(gè) D.無法確定

        解析:由正弦定理,得sin。|MP|=sinA=,|NQ|=sinB=,滿足條件|MP|<|NQ|<1,故滿足條件的三角形有2個(gè),選B。

        例2在△A B C中,已知b=6,c=10,B=30°,則這樣的三角形有( )。

        A.0個(gè) B.1個(gè)

        C.2個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)

        解析:由正弦定理知sin,|MP|=sin,|NQ|=sin,滿足條件|MP|<|NQ|<1,有兩解,三角形有2個(gè),故選C。

        例3在△A B C中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若a=x,b=2,B=45°,且此三角形有兩解,則x的取值范圍為( )。

        A.(2,22) B.22

        C.(2,+∞) D.(2,22]

        解析:由正弦定理知,則sin。|MP|=sinB=

        由題設(shè)知三角形有兩解,故必須滿足條件|MP|<|NQ|<1,即,整理可得。故選A。

        運(yùn)用此法實(shí)際解題時(shí)不必畫出單位圓,只需判斷是否滿足“先角的正弦值<后角的正弦值<直角的正弦值”即可,滿足則有兩解。

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