■河南省潢川一中 王君昊

大家知道,基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí),高考對(duì)基本不等式的考查,主要以多元最值為背景的題型呈現(xiàn),而多元最值問題的求解卻并非僅僅依賴于基本不等式。在高考中,多元最值問題形式多樣,綜合性極強(qiáng),因而具有一定的挑戰(zhàn)性。面對(duì)變幻莫測的多元最值問題有何良策呢?讓我們從一道2018年的高考題說起。

【引例】(2018年天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則的最小值為。

解析：由a,b∈R,且a-3b+6=0得,3b=a+6。

評(píng)注：上述解法采用了代入消元法,從而把兩元最值問題轉(zhuǎn)化為一元最值問題,利用基本不等式求最值,這是求多元最值問題最基本的方法之一。

【變式1】(2018年江蘇高考)在△A B C中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠A B C=120°,∠A B C的平分線交A C于點(diǎn)D,且B D=1,則4a+c的最小值為 。

解析：如圖1,因?yàn)椤螦 B C=120°,且B D為∠A B C的平分線,所以∠A B D=∠C B D=60°。

圖1

又因?yàn)榻茿,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且B D=1,所 以S△A B C=a csin 120°,S△B D C=asin60°,S△A B D=csin60°。

于是,由S△A B C=S△B D C+S△A B D得：a csin120°=asin60°+csin60°。

故a c=a+c,即

于是4a+c=(4a+c)+5=4+5=9。

評(píng)注：本題的難點(diǎn)在于從圖形中找出a與c的關(guān)系式：a c=a+c,即。本題解析中利用基本不等式求多元最值時(shí)采用了整體代換的數(shù)學(xué)思想。

【變式2】若x,y,z均為正實(shí)數(shù),且x2+y2+z2=1,則的最小值為

解析：令1+z=t,則2＞t＞1。因?yàn)閤2+y2=1-z2≥2x y,所以≥==,當(dāng)且僅當(dāng)t=1+z=,x=y時(shí)取等號(hào)。

評(píng)注：本題共有三個(gè)變量,解題的關(guān)鍵是利用基本不等式消元,解答過程中兩次應(yīng)用了基本不等式,第一次應(yīng)用基本不等式既起到了消元的作用,又起到了放縮的作用,第二次應(yīng)用基本不等式是為了求出最值,在這里必須注意等號(hào)是否成立。

【變式3】已知正數(shù)x,y滿足2x y=,那么y的最大值為

解析：2x y==4x+。故y的最大值為。

評(píng)注：將兩個(gè)變量分離再將問題轉(zhuǎn)化為解對(duì)應(yīng)不等式問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)解題的“統(tǒng)領(lǐng)”作用。

【變式4】若實(shí)數(shù)x,y滿足2x2+x yy2=1,則的最大值為

解析：把2x2+x y-y2=1變?yōu)?x+y)·(2x-y)=1。

令2x-y=t,x+y=。

。

評(píng)注：從本題解析中可以看出,引進(jìn)參數(shù)不是增加變量,而是為了巧妙消元,引入一個(gè)變量t,消去兩個(gè)變量x與y,不僅使原式成為關(guān)于t的函數(shù),而且可將其配成基本不等式應(yīng)用的模式,真可謂“合理引參,巧奪天工”。