■廣東省汕頭市澄海蘇北中學(xué) 陳躍琳

★原題再現(xiàn) 一目了然

例1設(shè)f(x)=x2-2m x+2,當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)≥m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：設(shè)F(x)=x2-2m x+2-m,則當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),F(x)≥0恒成立。

當(dāng)Δ=4(m-1)(m+2)＜0,即-2＜m＜1時(shí),F(x)＞0顯然成立。

當(dāng)Δ≥0時(shí),如圖1,F(x)≥0恒成立的充要條件為：解得-3≤m≤-2。

圖1

綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3,1)。

點(diǎn)評(píng)：設(shè)f(x)=a x2+b x+c(a≠0),(1)f(x)＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0;(2)f(x)＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0。若二次不等式中x的取值范圍有限制,則可利用根的判別式及對(duì)稱軸解題。

★舉一反三 一葉知秋

例2若對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,關(guān)于x的方程l o g2(a x2+2x+1)-m=0恒有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解：l o g2(a x2+2x+1)-m=0恒有解?y=a x2+2x+1能取遍一切正實(shí)數(shù)。

因此,a=0,或

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是將方程有解問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=a x2+2x+1能取遍一切正實(shí)數(shù),二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),需要進(jìn)行分類討論。

★反饋溝通 一絲不茍

例3已知函數(shù)f(x)=|x2-4x-5|,若在區(qū)間[-1,5]上,y=k x+3k的圖像位于函數(shù)f(x)的圖像的上方,求k的取值范圍。

解：本題等價(jià)于一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題,也即對(duì)于?x∈[-1,5],k x+3k＞-x2+4x+5恒成立,式子中有兩個(gè)變量,可以通過(guò)變量分離化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。對(duì)于?x∈[-1,5],k x+3k＞-x2+4x+5恒成立?對(duì)于?x∈[-1,5]恒成立。令,x∈[-1,5],設(shè)x+3=t,t∈[2,8],則,當(dāng)t=4,即x=1時(shí),ymax=2,k的取值范圍是k＞2。

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)分離變量,將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。本題中構(gòu)造函數(shù)求最值對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)有些難度,但通過(guò)換元后可巧妙地轉(zhuǎn)化為“對(duì)鉤函數(shù)”,從而求得最值。

★觸類旁通 一網(wǎng)打盡

例4已知,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)的值域是[0,+∞),試求實(shí)數(shù)a的值。

解：本題是一道恰成立問(wèn)題,相當(dāng)于的解集是x∈[1,+∞)。

當(dāng)a≥0時(shí),由于當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=,與其值域是[0,+∞)矛盾。

當(dāng)a＜0時(shí),上為增函數(shù),所以f(x)的最小值為f(1)。令f(1)=0,即1+a+2=0,a=-3。

綜合可得a=-3。

點(diǎn)評(píng)：不等式恰好成立問(wèn)題的處理,體現(xiàn)了方程與不等式之間的聯(lián)系。