潘紅飛

（淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300）

1 引言

近世代數(shù)[1,2,3]是數(shù)學(xué)高年級本科生和研究生的基礎(chǔ)課,由于其課程的抽象性,學(xué)生剛接觸時(shí)很難有一個(gè)比較直觀的或生動(dòng)的理解.在教學(xué)過程中,我們也很容易忽視相關(guān)理論的來源,而是從定義出發(fā)來推理相關(guān)的命題和定理,這就少了課程學(xué)習(xí)的趣味性,對學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性的提高不利.本文我們圍繞群論這一教學(xué)內(nèi)容中一些不太復(fù)雜的例子來加深同學(xué)們對群的理解.

2 群的定義

群的等價(jià)定義有很多,本文我們給出如下的定義.

定義1稱非空集合G為一個(gè)群,若在G中定義了一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算（稱為乘法）：

且滿足如下三條

（1）結(jié)合律：

（2）單位元存在律：

（3）逆元存在律：

教材里可以找到一些簡單的例子用此定義來驗(yàn)證一個(gè)集合是否是群.如整數(shù)關(guān)于加法成群,非零有理數(shù)關(guān)于乘法成群,同階可逆矩陣關(guān)于乘法成群.接下來我們再給出幾個(gè)例子來認(rèn)識一下這個(gè)抽象群的內(nèi)涵.

3 對稱與群

對稱在我們生活中普遍存在,如中國京劇凈角臉譜,陰陽太極圖,故宮俯視圖.下面用群來描述平面圖形中的對稱,先給出如下兩個(gè)定義.

定義2對稱變換：平面圖形經(jīng)過平面剛體變換（保持平面任意兩點(diǎn)距離不變的變換）后與原來的圖形重合.

定義3反射變換：平面圖形圍繞對稱軸旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合.

由上面兩個(gè)定義我們可以非常直觀的描述平面圖形的對稱變換只有如下四種：

（1）恒等變換.

（2）1個(gè)反射變換.

可以發(fā)現(xiàn),用群來描述對稱變換,是簡潔明了的.

例1正四邊形的對稱變換描述.

解：正四邊形的四種對稱變換個(gè)數(shù)分別為：恒等變換1個(gè),反射變換4個(gè),旋轉(zhuǎn)變換3個(gè).從而正四面體的對稱變換對應(yīng)于8階二面體群這是4次對稱群的一個(gè)真子群.

4 整系數(shù)分式線性變換

復(fù)變函數(shù)[4]的第七章或復(fù)分析[5]的第14章中,分式線性變換（也稱Mobius變換）為：

在邊界為圓弧或直線的區(qū)域變換中很有作用.因?yàn)橛?/p>

所以有理數(shù)域上的分式線性變換可以化為整系數(shù)分式線性變換.而整系數(shù)分式線性變換關(guān)于函數(shù)復(fù)合成群,其復(fù)合運(yùn)算是繁瑣的,可用群PGL（2,Q）與其乘法來代替,這樣顯得簡潔明了.

例2考慮所有的整系數(shù)分式線性變換集合

其中，Z是整數(shù)集.

這里分式復(fù)合運(yùn)算的計(jì)算比較繁瑣,考慮對應(yīng)

注2、群PGL（2,Q）中的元素有無窮多個(gè),但是PGL（2,Q）的有限階子群只有9個(gè)：

1，C1，C2，C3，C4，D4，D6，D8，D12.

5 有限域上的低維線性群PSL（2,3）

低維線性群之間有很多生動(dòng)的群同構(gòu)的例子,我們以PSL（2,3）為例來說明.

例3、考察PSL（2,3）.

其中

從而可以寫出群PSL（2,3）的12個(gè)元為

6 結(jié)語

由于抽象性,近世代數(shù)這門課程不像高等數(shù)學(xué)中用數(shù)形結(jié)合思想來幫助學(xué)生理解知識內(nèi)容的特點(diǎn),需要我們圍繞知識結(jié)構(gòu)采取多形式的授課方式.針對課程特點(diǎn),不同的知識結(jié)構(gòu)需要不同的理解方式,鼓勵(lì)學(xué)生用自己的思維去接受知識,理解知識,改造知識,從而達(dá)到思維邏輯的訓(xùn)練和適應(yīng)更高的知識挑戰(zhàn).