甘肅 王宗斌

本文歸類分析2018年全國及各獨(dú)立命題省市高考試卷中出現(xiàn)的靜電場(chǎng)電勢(shì)分布考題類型，給出了詳盡的討論與基本的應(yīng)答策略，得出這類問題的發(fā)展趨勢(shì)與變化規(guī)律，得出靜電場(chǎng)考題基本求解思路與解題策略。

靜電場(chǎng)中電勢(shì)的分布與帶電體自身的特點(diǎn)以及電場(chǎng)空間分布有緊密聯(lián)系，這類問題需要較強(qiáng)的空間想象力、抽象的邏輯推理能力、敏銳的探察的能力，再加上學(xué)生沒有直接的、可觀察的實(shí)際模型，給學(xué)生的理解帶來較大難度。2018年高考中出現(xiàn)靜電場(chǎng)問題，以點(diǎn)電荷的電場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)為背景，考查了矢量合成、電場(chǎng)中的功能關(guān)系以及電場(chǎng)研究方法的思維遷移。本文就2018年全國高考出現(xiàn)靜電場(chǎng)問題給以分類總結(jié)，以期得出解決這類問題的基本方法。

一、以點(diǎn)電荷電場(chǎng)為背景，考查矢量運(yùn)算

【例1】 (2018·全國卷Ⅰ第16題)如圖1，三個(gè)固定的帶電小球a、b和c，相互間的距離分別為ab=5 cm，bc=3 cm，ca=4 cm。小球c所受庫侖力的合力的方向平行于a、b的連線。設(shè)小球a、b所帶電荷量的比值的絕對(duì)值為K，則

( )

圖1

【例2】(2018·海南卷第9題)如圖2所示，a、b、c、d為一邊長(zhǎng)為l的正方形的頂點(diǎn)。電荷量均為q(q>0)的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別固定在a、c兩點(diǎn)，靜電力常量為k。不計(jì)重力。下列說法正確的是

( )

圖2

B.過b、d點(diǎn)的直線位于同一等勢(shì)面上

C.在兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，ac中點(diǎn)的電勢(shì)最低

D.在b點(diǎn)從靜止釋放的電子，到達(dá)d點(diǎn)時(shí)速度為零

【點(diǎn)評(píng)】以點(diǎn)電荷為背景的復(fù)雜電場(chǎng)問題，一定抓住點(diǎn)電荷的電場(chǎng)特點(diǎn)，應(yīng)用庫侖定律、點(diǎn)電荷的電場(chǎng)公式，以平衡條件、動(dòng)能定理、電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)為依據(jù)，巧妙利用對(duì)稱性等特點(diǎn)，就會(huì)使問題得以解決。

二、以勻強(qiáng)電場(chǎng)為背景，考查功能關(guān)系

【例3】(2018·全國卷Ⅰ第21題)圖3中虛線a、b、c、d、f代表勻強(qiáng)電場(chǎng)內(nèi)間距相等的一組等勢(shì)面，已知平面b上的電勢(shì)為2 V。一電子經(jīng)過a時(shí)的動(dòng)能為10 eV，從a到d的過程中克服電場(chǎng)力所做的功為6 eV。下列說法正確的是

( )

圖3

A.平面c上的電勢(shì)為零

B.該電子可能到達(dá)不了平面f

C.該電子經(jīng)過平面d時(shí)，其電勢(shì)能為4 eV

D.該電子經(jīng)過平面b時(shí)的速率是經(jīng)過d時(shí)的2倍

【解析】勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)面間距相等，相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差相等，電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直且平行，所以電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向水平。設(shè)相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差為U，電子從a到d的過程中克服電場(chǎng)力所做功為Wad=6 eV，根據(jù)電場(chǎng)力做功的表達(dá)式Wad=3eU，可得U=2 V，且場(chǎng)強(qiáng)方向水平向右。已知b的電勢(shì)為2 V，則平面c上的電勢(shì)為零，選項(xiàng)A正確；由于af之間的電勢(shì)差為4U=8 V，一電子經(jīng)過a時(shí)的動(dòng)能為10 eV，且電子只受電場(chǎng)力，如果初速度方向?yàn)樗较蛴遥鶕?jù)動(dòng)能定理，-4eU=Ekf-Eka，Ekf=2 eV>0，則能到達(dá)，如果初速度方向不沿水平方向，則有可能達(dá)到f等勢(shì)面之前，水平方向的分速度為零，水平方向則會(huì)向左加速，到不了平面f，B正確；d等勢(shì)面的電勢(shì)面的電勢(shì)為-2 V，由電勢(shì)能的定義式，Ep=qφ，電子在d等勢(shì)面的電勢(shì)能Epd=2 eV，C錯(cuò)誤；由于只有電場(chǎng)力做功，根據(jù)能量守恒定律，電勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變，a時(shí)的電勢(shì)能為Epa=-4 eV，動(dòng)能為10 eV，b時(shí)的電勢(shì)能為Epb=-2 eV，則動(dòng)能為8 eV，d時(shí)的電勢(shì)能Epd=2 eV，動(dòng)能為4 eV，即b時(shí)的動(dòng)能為d時(shí)的動(dòng)能的兩倍，速率不可能為兩倍，D錯(cuò)誤，選AB。

【例4】(2018·全國卷Ⅱ第21題)如圖4，同一平面內(nèi)的a、b、c、d四點(diǎn)處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)方向與此平面平行，M為a、c連線的中點(diǎn)，N為b、d連線的中點(diǎn)。一電荷量為q(q>0)的粒子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，其電勢(shì)能減小W1；若該粒子從c點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn)，其電勢(shì)能減小W2。下列說法正確的是

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圖4

A.此勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向一定與a、b兩點(diǎn)連線平行

D.若W1=W2，則a、M兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差一定等于b、N兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差

【點(diǎn)評(píng)】分析勻強(qiáng)電場(chǎng)中電荷的功能關(guān)系，要緊緊抓住勻強(qiáng)電場(chǎng)的特征：場(chǎng)強(qiáng)處處相等，電場(chǎng)線平行且間距相等，等勢(shì)面平行且間距相等，電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直。由此而知電場(chǎng)線與等勢(shì)面均分任意一條線段。然后依據(jù)電場(chǎng)中功與能、力與運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就可使問題得以解決。

三、借助點(diǎn)電荷的認(rèn)知方法，形成能力意識(shí)，探索未知天地

【例5】(2018·北京卷第24題)(1)靜電場(chǎng)可以用電場(chǎng)線和等勢(shì)面形象描述。

a.請(qǐng)根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義和庫侖定律推導(dǎo)出點(diǎn)電荷Q的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式；

b.點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線和等勢(shì)面分布如圖5所示，等勢(shì)面S1、S2到點(diǎn)電荷的距離分別為r1、r2。我們知道，電場(chǎng)線的疏密反映了空間區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。請(qǐng)計(jì)算S1、S2上單位面積通過的電場(chǎng)線條數(shù)之比N1/N2。

(2)觀測(cè)宇宙中輻射電磁波的天體，距離越遠(yuǎn)單位面積接收的電磁波的功率越小，觀測(cè)越困難。為了收集足夠強(qiáng)的來自天體的電磁波，增大望遠(yuǎn)鏡口徑是提高天文觀測(cè)能力的一條重要路徑。2016年9月25日，世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST在我國貴州落成啟用，被譽(yù)為“中國天眼”。FAST直徑為500 m，有效提高了人類觀測(cè)宇宙的精度和范圍。

a.設(shè)直徑為100 m的望遠(yuǎn)鏡能夠接收到的來自某天體的電磁波功率為P1，計(jì)算FAST能夠接收到的來自該天體的電磁波功率P2；

b.在宇宙大尺度上，天體的空間分布是均勻的，僅以輻射功率為P的同類天體為觀測(cè)對(duì)象，設(shè)直徑為100 m望遠(yuǎn)鏡能夠觀測(cè)到的此類天體數(shù)目是N0，計(jì)算FAST能夠觀測(cè)到的此類天體數(shù)目N。

圖5

(2)a.地球上不同望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)同一天體，單位面積上接收的功率應(yīng)該相同，因此

b.在宇宙大尺度上，天體的空間分布是均勻的。因此一個(gè)望遠(yuǎn)鏡能觀測(cè)到的此類天體數(shù)目正比于以望遠(yuǎn)鏡為球心、以最遠(yuǎn)觀測(cè)距離為半徑的球體體積。設(shè)地面上望遠(yuǎn)鏡能觀測(cè)到此類天體需收集到的電磁波的總功率的最小值為P0，直徑為100 m望遠(yuǎn)鏡和FAST能觀測(cè)到的最遠(yuǎn)距離分別為L(zhǎng)0和L，則

可得L=5L0