韓文美

如果解決解析幾何問(wèn)題的起點(diǎn)和方法不恰當(dāng)，往往會(huì)導(dǎo)致比較大的計(jì)算量，運(yùn)算繁雜，導(dǎo)致解答時(shí)間冗長(zhǎng)或不能完全解決問(wèn)題，因此我們有必要優(yōu)化解題過(guò)程，下面結(jié)合實(shí)例就解析幾何初步中減少運(yùn)算的幾類常見策略加以剖析.

1.巧用特殊化

在解決解析幾何初步的問(wèn)題時(shí)往往可以把研究對(duì)象特殊化處理，如點(diǎn)的特殊位置、直線的特殊方程、位置關(guān)系的特殊化等，通過(guò)特殊化處理，可以極大地優(yōu)化運(yùn)算，減少運(yùn)算量，

例1 已知圓O：x²+y²=1和點(diǎn)A（-2，0），若定點(diǎn)B（b，O）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓0上任意一點(diǎn)M，都有MB =AMA，則b= _____，λ=_______.

分析 常見的思路是設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合關(guān)系式MB =λMA及點(diǎn)在圓0上，建立相應(yīng)的方程組來(lái)求解.

按以上思路解決，運(yùn)算量大，我們不妨換一個(gè)解決途徑.根據(jù)點(diǎn)M的任意性，可取一特殊點(diǎn)來(lái)處理也必然滿足條件，從而減少運(yùn)算，

點(diǎn)評(píng) 特殊化處理可以大大減少分析與處理問(wèn)題的時(shí)間，減少計(jì)算量.同時(shí)也應(yīng)注意，這里的特殊化只能用于填空題，而且還可能存在不唯一的風(fēng)險(xiǎn)，所以，如果有時(shí)間，還是需要我們根據(jù)結(jié)論反向驗(yàn)證，以確保萬(wàn)無(wú)一失.

2.巧設(shè)參變量

當(dāng)某一具體問(wèn)題的解決可能有多種設(shè)法（如設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、設(shè)斜率、設(shè)方程）時(shí)，在設(shè)參變量之前要作一個(gè)預(yù)判，如能設(shè)得恰到好處，解決問(wèn)題時(shí)必能減少運(yùn)算量.

例2過(guò)點(diǎn)P（o，1）作一條直線l，使得直線l被兩條直線l₁：2x+y-8=0，l₂：x-3y+10=0所截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.

分析 常見的思路是設(shè)出直線Z的斜率為k，寫出方程，通過(guò)聯(lián)立方程組分別求出直線l與l₁，l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)P為中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出關(guān)于k的方程，解出k的值即可，當(dāng)然要對(duì)斜率不存在的情況做一個(gè)簡(jiǎn)單的說(shuō)明.

按以上思路解決，運(yùn)算復(fù)雜，計(jì)算量大.換一條解決途徑，除了確定直線的斜率外也可確定相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱性質(zhì)求解另一交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題，

解 設(shè)直線l與l₁的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（a，8-2a），則點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)N（-a，2a-6）在直線l₂：x-3y+10 =0上，可得-a-3（2a-6）+10 =0，解得a=4，則有M（4，0）.

那么直線l的方程為z+4y-4 =0.

點(diǎn)評(píng) 不同的設(shè)元，必定會(huì)產(chǎn)生不同的效果，而通過(guò)巧設(shè)參變量，可以使得運(yùn)算量大大減少，優(yōu)化解題過(guò)程，提升解題效益.

3.妙用幾何性質(zhì)

有時(shí)，在解題中充分挖掘和利用圖形本身的平面幾何性質(zhì)，往往可以得到一些優(yōu)美且簡(jiǎn)潔的解答.

例3 已知點(diǎn)P（1，2）在圓O：x²+y²=5上，A，B是圓0上與點(diǎn)P相異的兩點(diǎn)，若直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線AB的斜率是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出該定值;若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 常見的思路是根據(jù)直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)知對(duì)應(yīng)直線的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，寫出直線PA的方程，與圓O的方程聯(lián)立解出點(diǎn)A的坐標(biāo)，同理解出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后再求出直線AB的斜率，進(jìn)而再判定與分析.

按以上思路解決，沒(méi)有充分挖掘題目中的幾何圖形性質(zhì)，運(yùn)算繁雜且容易出錯(cuò)，而換一個(gè)解決角度，結(jié)合平面幾何中的相關(guān)性質(zhì)，利用對(duì)稱性、圓的性質(zhì)以及兩直線垂直的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)單易操作.

解 由于直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，則直線PA，PB與x軸圍成等腰三角形，

作點(diǎn)P關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（點(diǎn)Q（1，-2）也在圓O上），連結(jié)OQ，

因?yàn)镻Q平分∠APB，所以點(diǎn)Q為弧AB的中點(diǎn)，從而oo上⊥AB，

又點(diǎn)Q（l，-2），所以k_OQ=-2，于是k_AB=1/2為定值，

點(diǎn)評(píng) 充分挖掘解析幾何初步中直線的傾斜角、斜率、截距等，圓中的圓心、半徑等元素與對(duì)應(yīng)的平面幾何性質(zhì)之間的關(guān)系，往往可以使得問(wèn)題的解決更為直觀，操作更為方便快捷.

4.妙用設(shè)而不求

具體解題時(shí)只把設(shè)置的未知量作為解決問(wèn)題的橋梁，而不具體求出所設(shè)未知量即可達(dá)到破解問(wèn)題的目的.這種設(shè)而不求的思維方法可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升效益，

例4從圓c：（x-1）²+（y-1）²=1外一點(diǎn)P（2，3）向該圓引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，試求直線AB的方程，

分析 常見的思路是利用直線的點(diǎn)斜式方程設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求解對(duì)應(yīng)的切線方程，分析求出相應(yīng)的切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)再來(lái)求解直線AB的方程，

按以上思路解決，過(guò)程繁雜，運(yùn)算量大，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.換一個(gè)角度，利用圓的切線方程，我們可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

解 設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

則切線PA的方程為（x₁-1）（x-l）+（y₁-l）（y-1）=l.

而點(diǎn)P（2，3）在切線PA上，代人可得（x₁-1）（2-1）+（y₁-1）（3-1）=l，即x₁+2y₁=4，

同理可得x₂+2y₃=4，

由以上所求可知A，B坐標(biāo)滿足二元一次方程x+2y =4，故直線AB的方程為z+2y=4.

點(diǎn)評(píng) 設(shè)而不求是解析幾何初步中解題的基本手段，需要做到：（l）凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔的解決問(wèn)題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”;（2）“設(shè)而不求”不可避免的要設(shè)參，消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多，

減少解析幾何初步運(yùn)算的策略與方法還有很多，不同的問(wèn)題有不同的策略與方法.我們不能停留在常規(guī)的計(jì)算上，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，看清問(wèn)題的本源，尋找條件與題設(shè)之間的關(guān)系，這樣才能有助于我們更好地、更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題.