渠東劍
本學(xué)年我代高一的數(shù)學(xué)課,上學(xué)期發(fā)生的一幕,我至今記憶猶新.我的一些學(xué)生因此而改變了學(xué)習(xí)方法,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重視課本,會(huì)用課本了,學(xué)習(xí)就能取得明顯的進(jìn)步.
我相信,這個(gè)故事對(duì)大家肯定是有啟發(fā)的.
一、背景
在學(xué)習(xí)“函數(shù)的單調(diào)性”之后,我給學(xué)生布置了一道課本上的題作為書面作業(yè)題:
已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[a,b],a
當(dāng)x∈[a,c]時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)x∈[c,b]時(shí),f(x)是單調(diào)增函數(shù).
求證:f(x)在x=c時(shí)求得最小值.
在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn),小明同學(xué)的解答如下,其他大部分同學(xué)的證明與之類似:
如圖1,當(dāng)x∈[a,c]時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x∈[c,b]時(shí),f(x)是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)在x=c時(shí)取最小值.
你認(rèn)為小明的證明正確嗎?
小明說的沒錯(cuò),畫出圖形說明他對(duì)題目是理解的,
問題是這樣的表述算證明嗎?怎樣證明呢?我決定和同學(xué)們一起回到課本中去.
二、經(jīng)過
課外活動(dòng),我(記為D)把他們(記為S)叫到辦公室,并讓他們把課本帶著,下面是當(dāng)時(shí)對(duì)話的要點(diǎn):
D 首先要弄清楚“它是什么”,什么叫函數(shù)的最小值?
S 函數(shù)值沒有比它更小的了,它本身要是函數(shù)值.
D概念你可能是理解的.但是,你怎樣才能很清楚地說明這些呢?你還能以另一種形式表述嗎?比如用數(shù)學(xué)符號(hào)語言.
S這……(搖頭)
D 遇到搞不明白的問題怎么辦?
S 問老師啊.
D 老師不可能總在你身邊啊,除了問老師,還有什么辦法嗎?
S……哦,看課本.
D 那你們現(xiàn)在就——
(同學(xué)們馬上打開了課本,找到課本上的“最小值的概念”:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果存在x0∈A,使得對(duì)于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),則稱f(x)在x0處取得最小值f(x0)
D課本上的定義找到了,你怎樣把定義用到具體的問題上去?
S …
D或者說,要證明本題的結(jié)論,必須要完成怎樣的過程?
(同學(xué)們進(jìn)行了討論,把一般定義落實(shí)到具體的問題上,認(rèn)識(shí)到要證明:對(duì)任意的x∈[a,b],都有f(x)≥f (c),找到了解決問題的切入點(diǎn).)
D 看來要先設(shè)任意的x∈[a,b],下面怎樣證明呢?請(qǐng)結(jié)合題目具體條件分析.
S 由于已知“當(dāng)x∈[a,c]時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x∈[c,b]時(shí),.f(x)是單調(diào)增函數(shù).”應(yīng)該分x∈[a,c]和x∈[c,b]兩種情況.
D 當(dāng)x∈[a,c]時(shí),怎樣證明f (x)≥f(c)?“條件f(x)是單調(diào)減函數(shù)”怎樣利用呢?單調(diào)性的定義是什么呢?
(同學(xué)們又一次打開課本,再一次理解“……x1