邵賢虎
周二下午第三節(jié)課,月月數(shù)學(xué)沙龍又準(zhǔn)時(shí)開始了!
師 同學(xué)們,最近我們正在學(xué)習(xí)解析幾何中有關(guān)直線與圓的內(nèi)容,大家也都知道直線方程的五種形式,以及圓的方程的兩種形式,那我們今天就從方程形式的選擇談起,作為我們本次數(shù)學(xué)沙龍的開端. 第一次選擇 兩種通法對(duì)對(duì)碰 師 請(qǐng)同學(xué)們看下面的一個(gè)基本問題. 已知圓過點(diǎn)A(l,2),B(3,4),且在z軸上截得的弦長為6,求圓的方程.
求圓的方程應(yīng)采用怎樣的基本方法?
生 待定系數(shù)法,
師 那我們應(yīng)該選擇圓的一般方程呢,還是標(biāo)準(zhǔn)方程?
生1 已知條件中給出了圓過兩點(diǎn),沒有給出圓心坐標(biāo),我覺得設(shè)圓的一般方程比較好,解決如下:
設(shè)圓的方程為
生2 這道題的條件中有弦長這一條件,所以我覺得選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也完全沒有問題,解決如下:
師兩個(gè)同學(xué)談得都很好!圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程本質(zhì)一樣,但具體解題時(shí)各有所長.圓的一般方程用來解決已知圓上點(diǎn)時(shí)的問題較好,而圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則可解決和圓心、半徑以及弦長相關(guān)的問題.
第二次選擇 三種角度比比看
師下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)直線和圓的位置關(guān)系的問題.
已知直線l:y=kx+I,圓C:(x-1)2+(y+1)=9.
試證明:不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).
師 同學(xué)們思考一下,判斷直線和圓的位置關(guān)系有幾種方法?
生 有兩種基本方法:代數(shù)法和幾何法.
師 我們請(qǐng)兩位同學(xué)具體來說說,
生1我喜歡用代數(shù)法,解決如下:
則此方程有兩個(gè)不同的根.
換句話說,就是此時(shí)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),
所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).
生2 因?yàn)閳A是一個(gè)非常完美的幾何圖形,我認(rèn)為用幾何法比較好,能充分挖掘圓的平面幾何性質(zhì),解決如下:
要證直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),即可轉(zhuǎn)化為證明圓心到直線的距離小于半徑即可.
所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).
生3我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很簡單的方法:
不論k為何實(shí)數(shù),直線l總過定點(diǎn)A(O,l).
即不論k為何實(shí)數(shù),直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點(diǎn)A.
所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn),
師非常好!三個(gè)同學(xué)恰好談了解決直線和圓問題的三個(gè)角度,從解題實(shí)踐來看,運(yùn)用幾何的方法解決直線和圓的問題,直觀而簡潔;如果利用代數(shù)的方法,計(jì)算量較大,但是比較容易理清思路,掌握較為常規(guī)的解題方法;至于第三種角度,則是在綜合了代數(shù)與幾何的方法之后,解題更有技巧,更上一層樓的表現(xiàn),抓住實(shí)質(zhì),一擊即中.最后一種解法是不是很難想到呢?其實(shí)也不是,只要畫個(gè)草圖(學(xué)解析幾何的好習(xí)慣),觀察k變化時(shí)直線l:V=kx+l與圓的位置關(guān)系,就不難看透本題的“玄機(jī)”了.
第三次選擇 四種感覺慢慢品
師最后我們來討論直線和圓中一道非常經(jīng)典的問題.
過圓x2+y2=2外一點(diǎn)M(l,-3),作圓的兩條切線MA,MB,切點(diǎn)分別是A,B,求直線AB的方程.
生1 我的第一感覺就是求出A,B的坐標(biāo),解決如下:
切線的斜率不存在時(shí),其方程為x=l,不滿足題意,
則可設(shè)切線方程為y+3=k(x-1),即kx-y-k-3=0.由兩點(diǎn)式可求得直線AB的方程為x-3y-2=0.
生2生1的方法確實(shí)最容易想到,但是計(jì)算過程繁復(fù),運(yùn)算量過大,我感覺還可以通過兩個(gè)圓的公共弦方程來得到切點(diǎn)弦方程,解決如下:
生3生2的解法好,而且計(jì)算量少很多,受到他的啟發(fā),我感覺還可以這樣選擇,如果選擇另外的一個(gè)圓和已知圓相交于點(diǎn)A,B,計(jì)算也很簡單,具體解決如下:
則以M為圓心,MA為半徑的圓的方程為(-x1)2+(y+3)2=8,即x2-2x+y2+6y+2=0.
由x2+y2=2與x2-2x+y2+6y+2=0相減,得兩圓公共弦AB的方程為x3y-2=0.
生4其實(shí),如果我們平時(shí)對(duì)切線方程有所研究的話,完全可以直接寫出MA,MB的方程,然后求解,具體如下:
設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
則切線MA的方程為x1*+y1y=2,切線MB的方程為x2x+y2y=2.
因?yàn)閮芍本€都過點(diǎn)M(l,-3),所以x1-3y1=2且x2-3y2=2.
則由過兩點(diǎn)確定一條直線可得,弦AB的方程為x-3y-2=0.
師 以上四位同學(xué)給我們呈現(xiàn)了四種不同的解法,各有特色,生1的解法很樸實(shí),但往往運(yùn)算量會(huì)很大,同學(xué)們都要掌握;生2和生3的解法本質(zhì)一樣,但選擇的圓不一樣,也就別有一番風(fēng)味;生4的解法體現(xiàn)了他對(duì)這部分內(nèi)容最基本、最本質(zhì)的理解,也說明了他平日里對(duì)這方面的問題有過深入的探究,從而更進(jìn)一步,解題才能達(dá)到舉重若輕的層次,希望大家向生4學(xué)習(xí).
師我們?cè)诮忸}過程中經(jīng)常面臨選擇,如何選擇合適的解析式,如何選擇合適的方法,如何選擇簡單的算法……平時(shí)我們應(yīng)加強(qiáng)這方面的思考,比較優(yōu)劣,提升能力.今天的沙龍到此結(jié)束,期待下次的到來.