潘 儼,姚媛媛

(1.上海海事大學經(jīng)濟管理學院,上海 201306)

(2.華東理工大學理學院,上海 200237)

1 引言

研究產(chǎn)生自相似集的所有迭代函數(shù)系起源于圖像壓縮理論,是分形幾何中一個基礎(chǔ)而又重要的問題[1].

豐德軍等在文獻[1]中首先研究了多種條件下一些直線自相似集的最小生成迭代函數(shù)系.對于高維情況,討論主要集中在滿足開集條件或強分離條件的壓縮比一致的自相似集[3,4]或幾類特殊的高維自相似集[5,6].此外,鄧國泰等[7]研究了直線自相似集平移交仍為自相似集時的所有迭代函數(shù)系族等.

以上研究結(jié)果或多或少依賴于某種分離條件.文[8]首次討論了一類具完全重疊結(jié)構(gòu)自相似集的所有迭代函數(shù)系.該類自相似集壓縮比一致且證明討論情況眾多,較為復雜.本文擬推廣文[8]中結(jié)論,討論一類壓縮比非一致且具完全重疊結(jié)構(gòu)自相似集的迭代函數(shù)系.證明主要依賴于該類自相似集的gap性質(zhì),十分簡潔.

定理1.1設(shè)g(x)=λx+b滿足0<|λ|<1且b∈R.若g(E)?E,則存在正整數(shù)n和i1,···,in∈ {1,2,3} 滿足 g(x)=fi1? ···?fin(x).

2 定理證明

首先需要如下引理和定義.

引理2.1[6]設(shè)是歐氏空間自相似集F的一個迭代函數(shù)系.更進一步,假設(shè)對任意自相似壓縮映射f滿足f(F)? F,均存在i∈{1,···,m},使得f(F)? gi(F).設(shè)h是滿足h(F)? F 的一個相似壓縮映射.則存在正整數(shù)n和i1,···,in∈{1,···,m},使得h(F)=gi1? ···? gin(F).

定義2.2稱開區(qū)間(a,b)為集合E中的gap若a,b∈E且(a,b)∩E=?.

定義 2.3 設(shè) i1,···,in∈ {1,2,3},定義 Ei1···in=fi1? ···? fin(E).

定理1.1的證明 首先證明

然后由引理2.1知存在正整數(shù)n和i1,···,in∈{1,2,3}滿足g(E)=fi1?···?fin(E).又E非對稱,故 g(x)=fi1?···?fin(x),定理獲證.

設(shè)E中最大gap長度為A,則該gap位于E2與E3之間且A=1?2b?a(1?b).

由b≤a知E1∪E2中最大gap長度為aA(見下圖).

為證(2.1)式,使用反證法:假定g(E)?E且對任意i=1,2,3,有g(shù)(E)6?fi(E).由于g(E)中最大的gap長度小于A,故g(E)?E1∪E2.注意到E13=E21,從而g(E1∪E2)?E1∪E2=(E11∪E12)∪E2且E11∪E12與E2的距離為aA.由于g(E1∪E2)最大的gap長度小于aA,故g(E1∪E2)是E11∪E12或E2的子集.下面分情況討論.

(1)g(E1∪E2)?E11∪E12.設(shè)ρg為自相似映射g的相似壓縮比,因為g(E1∪E2)?E11∪E12=f1(E1∪E2),故可得|ρg|≤ a.因為E1∪E2不對稱,故若|ρg|=a,則導致g=f1,與假設(shè)不符,故有|ρg|

(2)g(E1∪E2)?E2.下證g(E1∪E2)?E21∪E22或g(E1∪E2)?E23.

假設(shè)上述結(jié)論不成立,則g(E1∪E2)中最大gap的長度不小于E21∪E22與E23的距離,即 |ρg|·aA ≥ bA,從而 |ρg|≥.另一方面,又由 g(E1∪E2)? E2知|ρg|·(b+a(1?b))≤ b,從而(b+a(1?b))≤b,得b(1?a)≤0,矛盾.

下面分別討論上述兩種情況.

情況1 g(E1∪E2)?E21∪E22=f2(E1∪E2).由上式知|ρg|≤b.因為E1∪E2不對稱,故若|ρg|=b,則導致g=f2,與假設(shè)不符,故有|ρg|

情況2 g(E1∪E2)?E23.下證g(E3)?E23.否則g(E)的最大gap長度不小于bA,即 |ρg|·A ≥ bA,推出 |ρg|≥ b. 由 g(E1∪E2)? E23知 |ρg|(b+a(1? b))≤ b2. 從而b(b+a(1?b))≤b2,矛盾.故g(E)?E23?E2,矛盾.

由反證法,(2.1)式獲證.