亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        幾個(gè)關(guān)于極坐標(biāo)的Bonnesen型不等式

        2018-12-03 08:47:18鄭高峰
        數(shù)學(xué)雜志 2018年6期
        關(guān)鍵詞:極坐標(biāo)原點(diǎn)定理

        鄭高峰,周 陽

        (華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北武漢 430079)

        1 引言

        經(jīng)典等周不等式:對(duì)平面內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線γ,設(shè)其周長(zhǎng)為L(zhǎng),所圍區(qū)域面積為A,有

        等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)γ是一個(gè)圓周.

        1882年,Edler第一個(gè)給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,此后相繼出現(xiàn)多種不同證明方法[3],而在這些證明中,用到極坐標(biāo)的情況非常少,不等式中帶有極坐標(biāo)形式的基本沒有.因此給出一些帶有極坐標(biāo)形式的等周型不等式是必要的.并且從文中定理2.4,定理2.5中帶有極坐標(biāo)的等周型不等式來看,當(dāng)L2?4πA=0時(shí),可以很直觀的發(fā)現(xiàn)該曲線為圓周.

        2 主要結(jié)果及其證明

        引理2.1[4]對(duì)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線γ,存在唯一一個(gè)包含γ的最小圓環(huán).并且至少存在四點(diǎn)P1,P2,P3,P4,其中P1,P3在該圓環(huán)的內(nèi)圓周上,P2,P4在該圓環(huán)的外圓周上,使得P1,P2,P3,P4依次排列在曲線γ上.

        注 Chouikha[5]對(duì)Jordan多項(xiàng)式的情形作出了證明,在文獻(xiàn)[4]中推廣到一般簡(jiǎn)單閉曲線.

        接下來,如無特別說明,我們一直假設(shè)γ是一條C2可求長(zhǎng)的正定向閉凸曲線,設(shè)其周長(zhǎng)為L(zhǎng),所圍區(qū)域面積為A.由引理2.1,存在唯一一個(gè)包含γ的最小圓環(huán),記其中心為O,其內(nèi)外圓周的半徑分別為rin(O),rout(O).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),任選一方向?yàn)闃O軸方向,建立極坐標(biāo)系 {O;ρ(θ)}.

        引理2.2[2]如果O是包含閉凸曲線γ的最小圓環(huán)的中心,則γ的Bonnesen函數(shù)

        注 Bonnesen[1]在1921年提出了Bonnesen不等式,由文獻(xiàn)[2]中(1.7)式可以得到此引理.

        定理2.3 若ρ(θ)是按上述定義在C2閉凸曲線γ上的極坐標(biāo),則有

        并且兩個(gè)不等式取等皆當(dāng)且僅當(dāng)γ為圓周.

        由于

        再運(yùn)用Cauchy不等式

        定理2.4 若ρ(θ)是按上述定義在C2閉凸曲線γ上的極坐標(biāo),則有

        并且該不等式取等當(dāng)且僅當(dāng)γ為圓周.

        證 由于{O;ρ(θ)}是以包含γ的最小圓環(huán)的中心為原點(diǎn),故

        因此由引理2.2,

        由此可得(2.6)式.

        若γ為圓周,則ρ(θ)≡ 0,(2.6)式兩邊恒為0,故取等.反過來,若(2.6)式取等,則(2.9)式取等,由(2.8)式左邊函數(shù)的連續(xù)性可知g(ρ)≡ 0,?ρ∈[rin(O),rout(O)],因此rin(O)=rout(O),故γ為圓周.

        定理2.5 若ρ(θ)是按上述定義在C2閉凸曲線γ上的極坐標(biāo),則有

        由于{O;ρ(θ)}是以包含γ的最小圓環(huán)的中心為原點(diǎn),故

        由ε的任意性可得(2.10)式.

        若γ為圓周,則ρ(θ)≡ 0,則(2.10)式兩邊恒為0,故取等.反過來,若(2.10)式取等,則由被積函數(shù)的連續(xù)性,因此rin(O)=rout(O),故γ為圓周.

        推論2.6 若ρ(θ)是按上述定義在C2閉凸曲線γ上的極坐標(biāo),k為曲線γ的曲率,且則有

        并且其中兩個(gè)不等式取等皆當(dāng)且僅當(dāng)γ為圓周.

        證 由于按照定理2.5的證明方法,可得(2.16)式左側(cè)不等式,至于后面的不等式,可由Cauchy不等式

        事實(shí)上,由橢圓極坐標(biāo)形式

        猜你喜歡
        極坐標(biāo)原點(diǎn)定理
        J. Liouville定理
        巧用極坐標(biāo)解決圓錐曲線的一類定值問題
        A Study on English listening status of students in vocational school
        Book Pilot 飛行選書師,讓書重新回到原點(diǎn)
        重返歷史“原點(diǎn)”的旅程
        極坐標(biāo)視角下的圓錐曲線
        “三共定理”及其應(yīng)用(上)
        在原點(diǎn)震蕩的擾動(dòng)Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的無窮多個(gè)解
        不能忽視的極坐標(biāo)
        關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不規(guī)則Gabor框架的構(gòu)造
        免费看美女被靠的网站| 日韩精品久久久肉伦网站| 亚洲国产成人久久一区www| 吃奶还摸下面动态图gif| 亚欧乱色束缚一区二区三区| 女同欲望一区二区三区| 亚洲成熟女人毛毛耸耸多| 少妇做爰免费视频了| 国产做a爱片久久毛片a片 | 国模无码一区二区三区| 亚洲国产精品无码久久电影| 色婷婷一区二区三区四区| 亚洲国产精品国自拍av| 天天爽夜夜爽人人爽一区二区| 男人无码视频在线观看| 日韩一二三四精品免费| 日韩有码在线免费视频| 乱子轮熟睡1区| 亚洲av无码电影网| 无码高潮少妇毛多水多水免费 | 国产精品午夜福利视频234区 | 精品少妇人妻av无码专区| 色欲av一区二区久久精品| 杨幂国产精品一区二区| 在线国人免费视频播放| 欧美丰满老熟妇aaaa片| 最新国产av无码专区亚洲| 一本一本久久久久a久久综合激情| 国产日韩一区二区精品| 激情五月我也去也色婷婷| 真人做爰片免费观看播放| 一级片麻豆| 国产精品自拍网站在线| 午夜三级a三级三点在线观看| 久久精品久久久久观看99水蜜桃 | 国产一区二区三区探花 | 亚洲人成无码网站在线观看| 日韩一区二区超清视频| 青青久久精品一本一区人人| 欧美大片aaaaa免费观看| 人人看人人做人人爱精品|