祝佳玲,李 楊,楊 晗

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 611756)

1 引言

本文研究了以下非線性Klein-Gordon方程的初邊值問題

其中u=u(t,x)是復(fù)值函數(shù),?是?上的Laplace算子,?是Rn中帶有光滑邊界Γ的有界域,1≤β<α,α=β+2,且α,β是常數(shù).當(dāng)n>2時(shí),1;當(dāng)n≤ 2時(shí),1<α<∞.

Klein-Gordon方程是相對(duì)論量子力學(xué)和量子場(chǎng)論中用于描述自旋為零的粒子的基本方程.對(duì)于該類方程的研究已有一些文獻(xiàn)[1–9].值得特別指出的是:Shatah[1]證明了對(duì)非線性項(xiàng)f(u)(其中x∈Rn,n≥3,基態(tài)的存在性和不穩(wěn)定性,得到了在不穩(wěn)定基態(tài)下解不爆破的結(jié)果.黃文毅[2]對(duì)一類帶有阻尼項(xiàng)和非負(fù)勢(shì)能的非線性Klein-Gordon方程

給出了當(dāng)空間維數(shù)限制為n≤3時(shí)解整體存在的充分必要條件,解爆破時(shí)的生命跨度的估計(jì)等等.李考慮了不同于文獻(xiàn)[1]的變分問題,對(duì)上不定號(hào)的情形加以了研究,Shatah的方法對(duì)此情形不適用,這也是該文的創(chuàng)新之處.

本文也有類似的困難,但李[9]中方程的非線性項(xiàng)確定了,勢(shì)井深度的正性容易通過顯性的方程求解來確定,而本文由于非線性項(xiàng)中的指數(shù)不是確定的,在確定勢(shì)井深度的正性時(shí),需要精細(xì)巧妙的討論和估計(jì)才能確定,且文獻(xiàn)[9]沒有考慮初始能量等于勢(shì)井深度臨界情形下的生命跨度,這也是本文的意義所在.

2 勢(shì)井深度

對(duì)u∈H1(?),n≤6,定義如下能量泛函

定義勢(shì)井

及其對(duì)應(yīng)的勢(shì)井外集

為勢(shì)井深度.

下面將證明d始終大于0,即有如下引理.

引理2.1 若d由(2.1)式給出,則d>0.

證 當(dāng)λ≥0時(shí),

注意到 J0(λu)= λa(u)+λβb1(u)? λαb2(u)=0 存在零根.

下面將證明J0(λu)=0存在正根,令注意到f(0)=a(u)>0,當(dāng)λ→+∞ 時(shí),f(λ)→?∞,因此由介值定理必然存在正根λ0,使得 f(λ0)=0,即

因?yàn)棣??)<∞ (μ為?的Lebesgue測(cè)度),由β<α有

由于 H1(?) 嵌入到 Lα+1(?),有 kukLα+1(?)≤ C2kukH1(?),結(jié)合 (2.2) 式有

即d>0,其中c1,c2為常數(shù).

3 解的不變集

為了得到解整體存在和爆破的條件,這一節(jié)將介紹不變集W1,W2.接下來,將利用如下事實(shí)a(u)>b2(u)?b1(u)有效等價(jià)于λ0(u)>1,a(u)

記W={u|u∈H1(?),J(u)

引理3.1W=W1∪W2,W1∩W2=?.

證 W1∩W2=?是顯然的.接下來將證明W=W1∪W2.實(shí)際上,只需證明W ?W1∪W2.容易看到等價(jià)于 a(u)=b2(u)?b1(u)>0.因此,若λ0(u)=1,則有于是,若u∈W,u 6=0,則λ0(u)6=1等價(jià)于a(u)6=b2(u)?b1(u).這意味著u∈W1{0}或u∈W2,即W?W1∪W2.

(不變集)若u0,u1∈Σ(其中Σ?H1(?)為集合),則(1.1)式的解u(t,x)∈Σ,把Σ叫做問題(1.1)的解的不變集.

引理3.2若

則W1和W2是問題(1.1)解的不變集.

證 由方程(1.1)有

這意味著u∈W.通常把u(x,0,u0,u1)簡(jiǎn)記為u(t).

(1)令u0∈W1,可以斷言u(píng)(t)∈W1.若不成立,則存在t0>0,使得u(t0)/∈W1.一方面,有u(t0)∈W2;另一方面,因?yàn)閍(u(t)),b1(u(t))和b2(u(t))關(guān)于t連續(xù),由W1和W2的定義,知存在時(shí)間t?(0

若a(u(t?))6=0,則λ0(u(t?))=1.因此J(u(t?))≥d,即u(t?)/∈W,這與(3.2)式矛盾.

若a(u(t?))=0,假設(shè)0

這個(gè)矛盾說明u(t)∈W1.

(2)令u0∈W2,可以斷言u(píng)(t)∈W2.假設(shè)不成立,即存在t0,使得u(t0)∈W1,則存在t?,使得 a(u(t?))=b2(u(t?))? b1(u(t?))(0

首先考慮a(u(t?))=0的情況.一方面,因?yàn)閍(u(t)),b1(u(t))和b2(u(t))關(guān)于t連續(xù),可以斷言

另一方面,因?yàn)閷?duì)0≤ t

若a(u(t?))6=0,則與 (1)相同的討論有J(u(t?))≥ d,這與(3.2)式矛盾.所以u(píng)(t)∈W2.

4 解的整體存在和爆破的條件

首先研究當(dāng)初始能量E(0)=d時(shí)解整體存在和爆破的條件.

定理4.1 假設(shè)E(0)=d,u0∈H1(?),u1∈L2(?).

1)若a(u0)=b2(u0)?b1(u0),且a(u0)6=0,則問題(1.1)存在整體弱解u(t,x)∈C([0,∞);(?)),ut(t,x)∈ C([0,∞);L2(?)).

2)若a(u0)>b2(u0)?b1(u0)或a(u0)=0,則問題(1.1)存在整體弱解u(t,x)∈C([0,∞);(?)),ut(t,x)∈ C([0,∞);L2(?)).

3)若(u0,u1)≥0,a(u0)0,使得

注 當(dāng)(u0,u1)<0時(shí),添上(ˉu為(1.1)式的平衡態(tài))這個(gè)條件,同理可證,證明過程略.

證 1)若a(u0)=b2(u0)?b1(u0)且a(u0)6=0.令{wj(x)}是H1(?)的一個(gè)基,構(gòu)造問題(1.1)的近似解um(t,x),使得

對(duì)于充分大的m,有

即 u(t,x)∈ C([0,∞);H10(?)),ut(t,x)∈ C([0,∞);L2(?)).

2)若a(u0)>b2(u0)?b1(u0)或a(u0)=0,可以斷言

或 a(u)=0,對(duì)所有的t≥0成立.

實(shí)際上,如果存在t1,使得

那么由于a(u(t)),b1(u(t))和b2(u(t))關(guān)于t連續(xù),則存在t0,使得

對(duì)t0

由于a(u(t0))6=0且a(u0)6=b2(u0)?b1(u0),所以有u(t)6≡u(píng)(t0),對(duì)0≤t≤t0成立.令 v(t)=u(t0?t)6≡ u(t0),則 v(0)=u(t0),v(t0)=u0,vt(0)=ut(t?t0)=0,v(t)滿足

然而u(t0)也是以上問題的一個(gè)解,這和解的唯一性矛盾.因此(4.6)式是有效的,類似1)的證明得 u(t,x)∈ C([0,∞);H10(?)),ut(t,x)∈ C([0,∞);L2(?)).

3)與2)的證明類似,若a(u0)

若(u0,u1)≥0,則存在使得t0>0,使得(u(t0),ut(t0))實(shí)際上,若由(4.8)和(4.9)式有

對(duì)所有t≥0成立,即

是有限的.因此

由a(u),b1(u),b2(u)≥0知對(duì)所有的t≥0,a(u),b1(u),b2(u)有限.由引理3.2的證明知存在序列又由 (4.8)式知

上式矛盾.這個(gè)矛盾說明存在t1>0,使得對(duì)所有的t>0成立,因此有當(dāng)然,存在t2>t1,使得因此有

對(duì)t≥t2.結(jié)果

對(duì)t>t2.因?yàn)閷?duì)t>t1,對(duì)是遞減的凹函數(shù),因此存在T<+∞,使得即

其次考慮當(dāng)初始能量E(0)

定理4.2 假設(shè)n≤6,0

1)若a(u0)?b2(u0)+b1(u0)>0(或a(u0)?b2(u0)+b1(u0)=0),則問題(1.1)有整體弱解 u(t,x)∈ C([0,∞);H10(?)),ut(t,x)∈ C([0,∞);L2(?)).

2)若a(u0)?b2(u0)+b1(u0)<0,則問題(1.1)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

證 1)同定理4.1中1)的證明,由E(0)0知

所以J(u0)0,得u0∈W1.對(duì)于充分大的m,有

且um(0)∈W1.同引理3.2,由(4.12)式對(duì)于充分大的m和0≤t<∞,可以證明um(t)∈W1且

因此

其中 c?為常數(shù),所以 u(t,x)∈ C([0,∞);H01(?)),ut(t,x)∈ C([0,∞);L2(?)).

2)當(dāng)a(u0)?b2(u0)+b1(u0)<0時(shí),類似定理4.1中3)的證明,易證在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

5 解爆破時(shí)生命跨度的估計(jì)

本文最后一部分將給出定理4.1和定理4.2中爆破解的生命跨度的上界估計(jì).

定理5.1 若E(0)=d,(u0,u1)≥0,a(u0)

證 由定理4.2,對(duì)所有t≥0,

又由引理2.1的證明有

由E(0)=d,得

因?yàn)閍(u0)0,使得對(duì)0≤t≤T1,y0(t)>0,

解上式并在0到T1上積分得

定理5.2若E(0)

1)若(u0,u1)>0,則

證 由定理4.2,對(duì)所有t≥0,同定理5.1的證明,由E(0)0,其中.表示“等價(jià)于”.所以

因?yàn)閍(u0)0,使得對(duì)0≤t≤T3,y0(t)≤0,

將上式在0到T3上積分得

現(xiàn)在考慮當(dāng)(u0,u1)>0時(shí),解的生命跨度.

注意到

與(5.1)式類似可以得

由b1(u),b2(u)≥0知

因?yàn)閆0(t)<0,把(5.8)式乘以Z0,積分得

存在t0,使得Z(t0)=0,因此上式積分得

特別地,若(u0,u1)=0,即Z0(0),則

將這個(gè)結(jié)果結(jié)合(5.7)式有

1)若(u0,u1)>0,則

2)若(u0,u1)≤0,則