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        一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡捷證法

        2018-12-03 03:19:14袁季兵唐世清
        中小企業(yè)管理與科技 2018年32期
        關(guān)鍵詞:定義物理數(shù)學(xué)

        袁季兵,唐世清

        (衡陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,湖南 衡陽 421002)

        1 引言

        在物理學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系日益密切的今天,大量的物理問題需要借助數(shù)學(xué)手段輔以解決,這無疑對我們用數(shù)學(xué)方法處理物理問題提出了更高的要求。許多年以前,在物理學(xué)中經(jīng)常要遇到一些包含某種無窮大的量以及不連續(xù)函數(shù)的微分的這類問題,無法解決。20世紀(jì)30年代,為了解決連續(xù)譜的本征波函數(shù)不能歸一化的問題,狄拉克引入了一個實(shí)函數(shù)δ(x),稱之為狄拉克δ函數(shù)[1](以下簡稱為δ函數(shù)),從而使得連續(xù)譜的本征波函數(shù)可以歸一化為δ函數(shù)。由于δ函數(shù)的一些特殊性質(zhì),如局部無限突變,整體積分有限性,挑選性,對稱性等,為我們解決一些抽象的物理問題提供了一種方式,使復(fù)雜的問題變得簡單,因此,在電磁學(xué),電動力學(xué),光學(xué),量子力學(xué),電路等物理學(xué)的幾大分支領(lǐng)域中我們都能看到它的身影。由于δ函數(shù)的公式可以通過許多種不同的表達(dá)方式表示,例如,可以用階梯函數(shù)的微商形式表示,也可以用Fourier積分形式表達(dá);還可以表示成非奇異函數(shù)的極限。因此,本文先給出δ函數(shù)的定義,然后,再著重討論分析一種常見非奇異函數(shù)的極限可以用來表示δ函數(shù)。希望通過這些能夠給我們今后理解δ函數(shù)提供一種新的思路,使我們能夠更加靈活變通的運(yùn)用δ函數(shù)。

        2 δ函數(shù)的定義和性質(zhì)

        δ函數(shù)是一種很奇特的函數(shù),它和經(jīng)典的“一個點(diǎn)只能對應(yīng)一個點(diǎn)”的函數(shù)的定義是不符合的,因而一開始有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是一種數(shù)學(xué),以至于沒有深入研究,這種狀態(tài)一直持續(xù)到20世紀(jì)40年代引入了廣義函數(shù)這一概念后,才得到了數(shù)學(xué)界的廣泛認(rèn)可。一般認(rèn)為δ函數(shù)是由著名的物理學(xué)家狄拉克引入的,因此,又稱為狄拉克函數(shù)。一般人們把定義在區(qū)間上,滿足后面這兩個要求中的一個函數(shù),稱為一維δ函數(shù)。即

        δ函數(shù)具有很多很重要又很奇特的性質(zhì),挑選性,對稱性,乘法性,坐標(biāo)縮放等。

        3 δ函數(shù)可表示成一種常見非奇異函數(shù)的極限

        δ函數(shù)可以用階梯函數(shù)的微商表示,也可以寫成Fourier積分形式。隨著非奇異函數(shù)的極限的應(yīng)用越來越廣泛,而δ函數(shù)作為非奇異函數(shù)的一種,它也可以表示成非奇異函數(shù)的極限,使某些數(shù)學(xué)運(yùn)算更加簡潔。只要滿足自變量為零時,極限為無窮大;而自變量不為零時,極限為零;并且滿足歸一化的條件,就可以認(rèn)為是δ函數(shù)。

        證明:當(dāng)x=0時,

        利用留數(shù)定理有:

        如果留數(shù)定理不熟悉,我們也可以采用高等數(shù)學(xué)積分的辦法求出上式左邊第一項(xiàng)的結(jié)果。其方法是構(gòu)造一個積分,利

        由于被積函數(shù)是偶函數(shù),所以只需在最終結(jié)果的基礎(chǔ)上乘以二,就可以證明歸一化了。

        4 結(jié)語

        本文從狄拉克函數(shù)δ(x)函數(shù)的定義出發(fā),給出了一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡捷證法。對于學(xué)生來說是一種有益嘗試,不僅可以增強(qiáng)對δ函數(shù)及相關(guān)物理問題的理解和認(rèn)識,也可以對教學(xué)提供參考和借鑒,開拓思維。

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