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(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

曲面上測(cè)地線是曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何量, 曲面上任意兩點(diǎn)間的測(cè)地線段是該兩點(diǎn)間的局部最短連線。由于這一性質(zhì), 測(cè)地線被廣泛運(yùn)用于各領(lǐng)域中。比如, 工業(yè)產(chǎn)品或動(dòng)畫人物的網(wǎng)格外形復(fù)蓋件設(shè)計(jì), 路徑剪裁, 服飾鞋帽設(shè)計(jì), 紡織材料生產(chǎn)等。

測(cè)地線在微分幾何領(lǐng)域和CAGD領(lǐng)域中有很多重要的研究成果。過去測(cè)地線的研究主要集中在測(cè)地線的特征及計(jì)算。最近幾年一部分學(xué)者開始研究以給定曲線為曲面特征線的曲面反求, Wang等[1]給出了以給定曲線為公共測(cè)地線的曲面束構(gòu)造算法, 為后面學(xué)者的研究奠定基礎(chǔ), 這一課題提出以來, 相繼有國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究; Zhao等[2-3]提出了以給定曲線為測(cè)地線的有理Bézier曲面構(gòu)造和以給定曲線為曲率線的可展曲面構(gòu)造; Paluszny[4]提出過測(cè)地線的三次多項(xiàng)式曲面的構(gòu)造; Sanchez-Reyes等[5]提出了從給定測(cè)地線反向構(gòu)造帶約束多項(xiàng)式曲面; Sprynski等[6]給出了插值測(cè)地線的曲面構(gòu)造算法; Farouki等[7-8]進(jìn)一步研究了以給定Bézier曲線為測(cè)地線的Bézier曲面構(gòu)造和給定三條首尾相連的測(cè)地線為邊界線的三角形Coon曲面片的構(gòu)造和光順; 陳杰等[9]提出了過測(cè)地線的近似極小直紋曲面設(shè)計(jì); Li等[10-11]給出了過公共曲率線的曲面束參數(shù)表達(dá)式算法以及以已知曲線為測(cè)地線的近似極小曲面設(shè)計(jì); 楊火根等[12]基于插值邊界測(cè)地線的充要條件，提出了插值非均勻B樣條曲線為等參測(cè)地線的非均勻B樣條優(yōu)化曲面設(shè)計(jì); 壽華好等[13]提出帶法向約束下B樣條曲線擬合的實(shí)編碼GA算法。可應(yīng)用于曲面構(gòu)造的度量函數(shù)設(shè)計(jì)。最近Sáchez-Reyes[14]又給出了過測(cè)地線的極小曲面算法。以上研究都是基于給定曲線為連續(xù)情況, 離散情況的研究寥寥無幾。2015年,張威等[15]給了以離散曲線為曲率線的擬可展離散曲面的構(gòu)造。在離散幾何模型中, 許多連續(xù)的幾何變量的計(jì)算變得復(fù)雜不精確。因?yàn)殡x散形式丟失了原幾何模型的信息。所以以離散曲線為特征線的離散曲面反求相對(duì)比較困難。高家全等[16]提出了一種基于GPU的高效并行l(wèi)1最小化算法, 可用于提升算法執(zhí)行效率。劉震等[17]利用耳切三角化技術(shù)，提出了針對(duì)三維模型孔洞的一種基曲面構(gòu)建方法。筆者提出了一種以給定離散曲線為測(cè)地線的離散曲面反求算法, 這里的離散測(cè)地線與三角網(wǎng)格中定義的測(cè)地線并不等價(jià), 采用連續(xù)情況的定義。并將度量函數(shù)設(shè)計(jì)成B樣條曲線, 這樣設(shè)計(jì)者可以通過控制幾個(gè)點(diǎn)便能設(shè)計(jì)出滿足自身需求的曲面。

1 預(yù)備知識(shí)

令U={u0,u1,…,um}是一個(gè)單調(diào)不減的實(shí)數(shù)序列，即ui≤ui-1,i=0,1,…,m-1, 其中,ui稱為節(jié)點(diǎn), 用Ni,p(u)表示第i個(gè)p次B 樣條基函數(shù), 其定義為

(1)

p次B 樣條曲線定義為

(2)

式中：{Pi}為控制點(diǎn)；Ni,p(u)為定義在非周期且非均勻節(jié)點(diǎn)矢量, 如式(1)所示。B樣條還具有端點(diǎn)插值性, 即C(0)=P0,C(1)=Pn。

對(duì)C(u)求導(dǎo)得

(3)

2 過給定測(cè)地線曲面的參數(shù)表達(dá)式

給定空間參數(shù)曲線為

C:r=R(s),0≤s≤1

(4)

式中s為弧長參數(shù)。假設(shè)曲線滿足R′(s)×R″(s)≠0, 即曲線上每一點(diǎn)都存在單位切向量、單位法向量和單位從法向量, 分別記為T(s),N(s),B(s),構(gòu)成R(s)的Frenet標(biāo)架。空間中過給定曲線R(s)的曲面P(s,t), 可以定義為

P(s,t)=R(s)+(u(s,t),v(s,t),w(s,t))·
(T(s),N(s),B(s))T
0≤s≤1,0≤t≤1

(5)

式中：u(s,t),v(s,t),w(s,t)為至少C1的函數(shù), 也稱為度量函數(shù),u(s,t),v(s,t),w(s,t)反映曲面上的點(diǎn)在t時(shí)刻分別沿T(s),N(s),B(s)方向的行進(jìn)的長度。Wang等[1]得出了以R(s)為測(cè)地線的曲面束, 度量函數(shù)u(s,t),v(s,t),w(s,t)應(yīng)滿足的約束條件(曲面法向)為

φ1(s,t)T(s)+φ2(s,t)N(s)+φ3(s,t)B(s)

(6)

其中

(7)

對(duì)于曲線R(s)的法向?yàn)?/p>

假設(shè)t=t0時(shí)P(s,t)=R(s), 則有N(s)‖n(s,t0),0≤s≤1, 即

φ1(s,t0)=φ3(s,t0)≡0
φ2(s,t0)≠0,0≤s≤1,0≤t0≤1

(8)

可化簡(jiǎn)為

(9)

曲線R(s)給定, 以其為測(cè)地線的曲面就完全由度量函數(shù)決定, 只要度量函數(shù)滿足式(9), 曲面的形狀可自行控制。Zhao等[2]研究了這類曲面的構(gòu)造, 當(dāng)給定曲線R(s)為Bézier曲線時(shí)的曲面構(gòu)造方法。

3 過給定測(cè)地線曲面的參數(shù)表達(dá)式

本節(jié)是筆者算法核心, 主要介紹如何設(shè)計(jì)滿足約束條件式(9)的度量函數(shù)，為了使得u(s,t),v(s,t),w(s,t)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便, 不妨假設(shè)u(s,t),v(s,t),w(s,t)為可因數(shù)分解, 即

(10)

則式(9)可寫為

(11)

其中假設(shè)

l(s)=m(s)=n(s)=1

(12)

3.1 度量函數(shù)為B樣條函數(shù)

假設(shè){U(t),V(t),W(t)}為R的Frenet標(biāo)架下的一條B樣條C(u), 這樣便于設(shè)計(jì)者控制生成曲面的形狀, 則式(11)可寫為

(13)

由B樣條的端點(diǎn)插值性和式(3), 則式(13)可表述為C(u)的控制頂點(diǎn)應(yīng)滿足P0=(0,0,0)(端點(diǎn)插值性),P0,y=P1,y,P0,z≠P1,z。

3.2 離散曲線的幾何量計(jì)算

(14)

令r2,rn-1的密切圓作為端點(diǎn)r1,rn的密切圓, 即O1=O2,On-1=On。

(15)

3.3 離散曲面構(gòu)造算法

以上兩小節(jié)介紹度量函數(shù)和離散幾何量的設(shè)計(jì)和計(jì)算, 將式(5)離散化為

(16)

構(gòu)造曲面具體算法步驟如下:

Step2根據(jù)自身需求分別設(shè)計(jì)滿足式(13)中{U(t),V(t),W(t)}的B樣條函數(shù)。

Step3根據(jù)式(16)計(jì)算離散曲面點(diǎn)。

4 實(shí)例

為了設(shè)計(jì)出符合自身需求的離散曲面, 以給定離散曲線為測(cè)地線，通過調(diào)整度量函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量U及其控制頂點(diǎn){Pi}, 下面將展示以給定不同的離散曲線和度量函數(shù), 分別構(gòu)造不同的離散曲面。

圖1 度量函數(shù)相同F(xiàn)ig.1 Same march-function

例2在實(shí)際生產(chǎn)設(shè)計(jì)中, 可以為每個(gè)ri設(shè)計(jì)不同的度量函數(shù)來滿足不同的需求?？梢酝ㄟ^調(diào)整各個(gè)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的度量函數(shù), 以修改曲面的局部形狀。效果如圖2所示。

圖2 度量函數(shù)不同F(xiàn)ig.2 Different march-function

5 結(jié) 論

以給定離散曲線為測(cè)地線的曲面構(gòu)造這一課題,很多學(xué)者是將給定的離散曲線通過插值成連續(xù)曲線處理,最后在連續(xù)情況下進(jìn)行曲面構(gòu)造。筆者采用離散情況的曲面構(gòu)造算法,讓設(shè)計(jì)者通過控制度量函數(shù)來設(shè)計(jì)滿足自身需求的曲面,如果普通的樣條不能滿足設(shè)計(jì)者需求,可以將度量函數(shù)設(shè)計(jì)為有理B樣條。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示該算法在給定任意離散曲面的情況下,能夠很好地控制和設(shè)計(jì)出滿足自身需求的曲面,并且具有很好的交互性。筆者算法通過度量函數(shù)的構(gòu)造來生成曲面,對(duì)不熟悉B樣條的設(shè)計(jì)者來說可能在曲面的構(gòu)造上需要多次調(diào)整和選擇合適的B樣條作為度量函數(shù)。今后的工作是研究如何在給定離散測(cè)地線的情況下直接生成離散曲面,或者是額外給定一些參數(shù)時(shí)，能夠直接生成離散曲面,而不是通過度量函數(shù)控制曲面形狀。