王靖安，王 海

(安徽工程大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

薄板結(jié)構(gòu)在各種工程領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，但由于其自身結(jié)構(gòu)特性，薄板非常容易產(chǎn)生振動(dòng).因此，在薄板的實(shí)際工程應(yīng)用中，首先要解決的問題是對薄板進(jìn)行抑振.薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制方法常用的有主動(dòng)方法和被動(dòng)方法兩種.被動(dòng)抑振方法主要通過改變結(jié)構(gòu)的形狀，在結(jié)構(gòu)上設(shè)置加強(qiáng)筋以及粘貼阻尼片等方式來實(shí)現(xiàn)；主動(dòng)抑振方法主要采用電化學(xué)方法、形狀記憶合金方法以及壓電陶瓷方法來實(shí)現(xiàn).被動(dòng)抑振措施針對較高頻率的振動(dòng)有著良好的抑制效果，但是對于低頻振動(dòng)的抑振效果不佳；主動(dòng)抑振措施的抑振范圍較廣，但是需要消耗較多的能量.如果將主動(dòng)抑振方法和被動(dòng)抑振方法結(jié)合，則有望實(shí)現(xiàn)在消耗較少能量的條件下，實(shí)現(xiàn)對高、低頻范圍振動(dòng)的有效抑制.

劉鴻文[1]總結(jié)和闡述了關(guān)于板殼的基本概念與基本理論，并介紹了關(guān)于矩形板的數(shù)學(xué)解法和基于能量原理的解法.Marco Amabili[2]主要提出了關(guān)于彈性板的非線性振動(dòng)理論.Marian[3]針對隨機(jī)激勵(lì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，提出了基于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的被動(dòng)抑振方法.汪艷霞[4]綜述了在建筑設(shè)計(jì)中的主動(dòng)、被動(dòng)以及主被動(dòng)結(jié)合的振動(dòng)控制方法.Bodaghi[5]針對板結(jié)構(gòu)，采用有限元的方法，利用形狀記憶合金對板的振動(dòng)進(jìn)行被動(dòng)控制.Ferrari[6]利用彈性繩將一塊矩形板的四角吊起掛在一個(gè)框架中，模擬四邊簡支的條件進(jìn)行復(fù)合層板的抑振實(shí)驗(yàn)研究.王海[7]針對懸臂梁結(jié)構(gòu)，使用壓電片對梁的振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)，確定壓電片的最佳粘貼位置.Araujo[8]采用有限元方法，針對各向異性層合夾層結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了主、被動(dòng)混合阻尼的模型.Plattenburg[9]針對一個(gè)粘貼有主動(dòng)壓電片和被動(dòng)阻尼片的矩形薄板，采用瑞利-利茲法，構(gòu)建了解析模型，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證解析模型的準(zhǔn)確性.

針對上述研究中存在的問題，同時(shí)考慮在盡量減少能耗的條件下達(dá)到對振動(dòng)的有效抑制，提出了主、被動(dòng)混合模式的振動(dòng)抑制方法，把薄板等面積分成3×3共計(jì)9塊位置，通過在不同位置分別粘貼阻尼片和壓電片，對薄板的振動(dòng)進(jìn)行抑制.

1 矩形板建模及其抑振器設(shè)計(jì)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，薄板結(jié)構(gòu)主要以矩形板為主.總體示意圖如圖1所示.將薄板結(jié)構(gòu)簡化成一塊尺寸為600 mm×400 mm×1.2 mm的矩形板進(jìn)行分析，在矩形板上不同位置粘貼阻尼片和壓電片，對矩形板的振動(dòng)進(jìn)行抑制.

圖1 總體示意圖

基于Kirchhoff薄板理論對矩形板進(jìn)行建模，通過幾何關(guān)系和力平衡關(guān)系，可以得到矩形板橫向自由振動(dòng)的微分方程：

(1)

該微分方程的解可以表示為：

w(x,y,t)=W(x,y)sin(ωt+φ)，

(2)

將式(2)代入式(1)中，可得：

(3)

式中，

(4)

設(shè)置矩形板的長和寬分別為a和b，邊界條件為四邊簡支，表示為：

(5)

滿足該邊界條件的振型解可以表示為：

(6)

式中，A為常數(shù).

將式(6)代入式(3)，可得四邊簡支矩形板的第(m,n)階固有頻率：

(7)

如圖1所示，假設(shè)矩形板上共粘貼有Np塊阻尼片，則阻尼片和矩形板的運(yùn)動(dòng)分別可用下面的廣義位移矢量ri表示：

(8)

式中,u、v、w分別表示矩形板在X、Y、Z3個(gè)方向上的位移，Ψxz、Ψyz分別表示矩形板在XZ、YZ面內(nèi)的轉(zhuǎn)角.

假設(shè)該廣義位移矢量可以記成Ns個(gè)形函數(shù)的加權(quán)求和：

(9)

該阻尼板的動(dòng)能和勢能分別可以寫成：

(10)

式中,M是質(zhì)量矩陣，K是剛度矩陣，如式(11)所示：

(11)

在矩形板(xd,yd)位置施加一點(diǎn)激勵(lì)Fd：

Fd(x,y,t)=Fdδ(x-xd)δ(y-yd)ej(ωt+θd),

(12)

式中,θd表示激勵(lì)信號(hào)的相位.

如圖1所示，假設(shè)在矩形板上共粘貼有Nc塊壓電片，矩形壓電片對矩形板所施加的力可以等效成橫向偶極力[10]：

(13)

式中,θc表示激勵(lì)信號(hào)的相位，δ表示狄拉克δ函數(shù)，H表示海維賽德函數(shù)，M表示力矩，具體表示如式(14)所示：

(14)

針對上述各式使用拉格朗日方程，得到：

(15)

進(jìn)而得到矩形板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)矢量：

q(ω)=[K(ω)-ω2M]-1[Fd+Fc],

(16)

2 抑振策略分析

根據(jù)振動(dòng)理論可知，在振源附近位置和矩形板模態(tài)應(yīng)變最大位置進(jìn)行抑振會(huì)得到較好的抑振效果.通過在矩形板上粘貼阻尼片，增加局部阻尼，對矩形板的振動(dòng)進(jìn)行被動(dòng)抑制；通過在矩形板上粘貼壓電片，利用逆壓電效應(yīng)，給壓電片施加合適的電壓，產(chǎn)生與矩形板振動(dòng)方向相反的形變，對矩形板的振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制.

如圖1所示，為了便于描述在矩形板上粘貼阻尼片和壓電片的位置，把矩形板等面積分成3×3共計(jì)9塊位置.為了模擬外界干擾對矩形板的影響，在矩形板左下角(50，50)位置施加一正弦點(diǎn)激勵(lì).

碳纖維矩形板、丁基橡膠阻尼片和PZT-5H壓電片的參數(shù)如表1所示.

表1 矩形板、阻尼片和壓電片參數(shù)

使用COMSOL軟件進(jìn)行仿真，COMSOL是一款多物理場耦合有限元軟件，對矩形板做模態(tài)分析，得到矩形板前三階模態(tài)振型，其振型圖如圖2所示.由圖2可知，在一階模態(tài)下，矩形板正中央位置的應(yīng)變最大；二階模態(tài)下，矩形板沿著長度方向兩邊位置的應(yīng)變最大；三階模態(tài)下，矩形板沿著寬度方向兩邊位置的應(yīng)變最大.因此設(shè)計(jì)如圖3所示抑振方案，分別抑制該矩形板的前三階振動(dòng).左下角的點(diǎn)表示激振點(diǎn)，在激振點(diǎn)處施加幅值為1mm,頻率分別為142.66 Hz，220.56 Hz，350.96 Hz的三種點(diǎn)位移信號(hào)，模擬矩形板的前三階振動(dòng)，圖中黑色方塊位置表示該階振動(dòng)下，矩形板模態(tài)應(yīng)變最大位置，白色方塊位置表示激振處附近位置.

圖2 矩形板前三階模態(tài)振型

圖3 抑振方案示意圖

設(shè)計(jì)如下3組仿真來進(jìn)行對比：①僅給矩形板施加一正弦點(diǎn)激勵(lì)，不加任何控制；②給板施加一正弦點(diǎn)激勵(lì)，采用純被動(dòng)控制方法，在激振點(diǎn)附近位置和模態(tài)應(yīng)變最大位置分別貼上一塊阻尼片，來達(dá)到抑振的效果；③給板施加一正弦點(diǎn)激勵(lì)，采用主、被動(dòng)混合模式控制方法，在激振點(diǎn)附近位置粘貼阻尼片，在模態(tài)應(yīng)變最大位置粘貼壓電片，并給壓電片一個(gè)幅值為70 V，頻率與正弦點(diǎn)激勵(lì)頻率相同、相位相差180°的正弦電壓信號(hào)，來產(chǎn)生與矩形板振動(dòng)方向相反的形變，從而達(dá)到抑振的效果.

在矩形板模態(tài)應(yīng)變最大位置附近，避開所粘貼的阻尼片或者壓電片，確定一點(diǎn)作為測量點(diǎn)，測量其沿Z軸方向位移，另外測量整個(gè)矩形板的動(dòng)能，以這兩個(gè)數(shù)據(jù)作為依據(jù)來判斷抑振效果.把第i個(gè)方案的抑振率定義如下[7]：

(17)

式中，ED是矩形板模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的橫向位移的抑制率；EK是整個(gè)矩形板的動(dòng)能的抑制率；N表示所繪制的位移和動(dòng)能曲線圖的峰值的個(gè)數(shù)；pi0表示不施加任何控制時(shí)，每個(gè)峰值的大??；pij表示施加控制后，每個(gè)峰值的大小.

3 COMSOL仿真結(jié)果

矩形板一階振動(dòng)下的抑振結(jié)果如圖4所示.在矩形板一階振動(dòng)模式下，圖4a表示不加任何控制和純被動(dòng)控制兩種情況下，模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)沿Z方向的位移大小的對比；圖4b表示純被動(dòng)控制和主、被動(dòng)混合模式控制兩種情況下，模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)沿Z方向的位移大小的對比；圖4c表示不加任何控制和純被動(dòng)控制兩種情況下，整個(gè)矩形板總動(dòng)能大小的對比；圖4d表示純被動(dòng)控制和主、被動(dòng)混合模式控制兩種情況下，整個(gè)矩形板總動(dòng)能大小的對比.經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，可以得到如下結(jié)果：在純被動(dòng)控制下，對模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的位移的抑振率為26.12%，矩形板總動(dòng)能的抑振率為48.27%，綜合抑振率為37.195%；在主、被動(dòng)混合模式控制下，對模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的位移的抑振率為66.75%，矩形板總動(dòng)能的抑振率為82.11%，綜合抑振率為74.43%.

矩形板二階振動(dòng)下的抑振結(jié)果如圖5所示，在矩形板二階振動(dòng)模式以及純被動(dòng)控制下，對模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的位移的抑振率為28.88%，矩形板總動(dòng)能的抑振率為52.88%，綜合抑振率為40.88%；在主、被動(dòng)混合模式控制下，對模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的位移的抑振率為60.44%，矩形板總動(dòng)能的抑振率為74.92%，綜合抑振率為67.68%.

矩形板三階振動(dòng)下的抑振結(jié)果如圖6所示，在矩形板三階振動(dòng)模式以及純被動(dòng)控制下，對模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的位移的抑振率為15.39%，矩形板總動(dòng)能的抑振率為7.4%，綜合抑振率為11.395%；在主、被動(dòng)混合模式控制下，對模態(tài)應(yīng)變最大位置附近一點(diǎn)的位移的抑振率為28.37%，矩形板總動(dòng)能的抑振率為20.42%，綜合抑振率為24.395%.

將不同階振動(dòng)模式以及不同控制方法下的抑振率總結(jié)如表2所示.由表2可以看出，經(jīng)過控制，矩形板的振動(dòng)得到了一定的抑制，另外，主、被動(dòng)混合模式控制下的抑振率明顯高于純被動(dòng)控制下的抑振率.因此，主、被動(dòng)混合模式控制相對于純被動(dòng)控制，對于矩形板的振動(dòng)會(huì)有更好的抑制效果.

表2 矩形板前三階振動(dòng)模式下的抑振率

圖4 矩形板一階振動(dòng)下的抑振結(jié)果

圖5 矩形板二階振動(dòng)下的抑振結(jié)果

圖6 矩形板三階振動(dòng)下的抑振結(jié)果

4 結(jié)論

文章主要研究關(guān)于矩形板的振動(dòng)的抑制策略，通過在激振處附近位置和模態(tài)應(yīng)變最大位置粘貼阻尼片和壓電片，進(jìn)行被動(dòng)和主動(dòng)控制.通過對前三階振動(dòng)模式下的3組仿真的對比，可以得到結(jié)論：主、被動(dòng)混合模式控制相對于純被動(dòng)控制，抑振率分別增加了37.235%、26.8%和13%，對于矩形板的振動(dòng)會(huì)有更好的抑制效果.后期，將在此結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行更進(jìn)一步研究，研究施加在壓電片上的正弦電壓信號(hào)的幅值和相位對抑振效果的影響，另外，參考仿真模型，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，來驗(yàn)證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性.