侯學隆,王宗杰,姜青山

(海軍航空大學，山東 煙臺 264001)

現(xiàn)代反艦作戰(zhàn)，為了充分發(fā)揮中遠程反艦導彈的射程優(yōu)勢，基于遠程目標指示信息的超視距導彈攻擊已成為基本作戰(zhàn)模式[1]。在中遠程反艦導彈攻擊目標捕選決策中，基于穩(wěn)妥的戰(zhàn)術(shù)原則考慮，通常假設(shè)目標航向分布在2π范圍內(nèi)來估計最大散布范圍[2-3]，將射擊瞄準點定格在目標指示點，并以導彈開機覆蓋目標最大散布圓來計算末制導雷達搜索扇面角、搜索遠近界及開機距離等射擊參數(shù)[4-5]。

水面艦艇海上航行通常以遂行作戰(zhàn)任務(wù)為牽引，機動航向帶有鮮明的指向性，在2π角度范圍內(nèi)隨意掉頭機動的可能性非常小[6-7]。在偵察預警兵力給出目標概略航向信息的情況下，如果反艦導彈仍采用現(xiàn)在點方式對概略航向機動目標射擊，將會無形中擴大目標散布區(qū)，進而浪費導彈搜索資源、降低導彈射擊距離。著眼反艦導彈精準射擊的戰(zhàn)術(shù)需求，需要解決兩個問題：一是如何確定反艦導彈對概略航向機動目標的射擊瞄準點；二是如何確定末制導雷達搜索覆蓋的重點區(qū)域。以上兩個問題的解決關(guān)鍵在于確定目標的位置散布規(guī)律。

圍繞機動目標散布問題，文獻[8]研究了不同類型信息源條件下的目標初始位置散布概率密度；文獻[9-10]研究了4個隨機變量均服從零均值正態(tài)分布情況下的位置散布概率密度，其主要思想是基于泰勒公式將目標位置進行線性化處理，利用隨機變量的互不相關(guān)性求取近似概率密度；文獻[11]在目標初始位置及運動要素服從正態(tài)分布的情況下，假定目標機動后的位置散布概率密度服從二維正態(tài)分布，根據(jù)極限誤差理論研究了均方差的求取方法；文獻[12-14]在假設(shè)目標航向服從U(0,2π)、目標背離初始散布中心作徑向機動的情況下，建立極坐標系下的位置散布概率密度模型；文獻[15]轉(zhuǎn)而采用蒙特卡洛方法獲得組合散布的圖形化認識或進行假設(shè)檢驗，力求找到一種符合這種散布規(guī)律的近似分布模型，但這一點很難在工程上實現(xiàn)。

以上研究成果具有以下特點：文獻[9-11]所采取的建模方法只有在各隨機變量服從正態(tài)分布時才適用，求取的目標位置散布概率密度模型是近似模型；文獻[12-14]構(gòu)建的散布模型在初始散布中心附近區(qū)域出現(xiàn)概率密度為零的“空心區(qū)”，這與實際情況有一定偏差。此外，對于概略航向機動目標散布模型，目前尚未見到相關(guān)針對性的公開研究成果。為此，本文重點研究海上機動目標概略航向下的位置散布概率密度及其性質(zhì)，通過散布規(guī)律的仿真分析來確定射擊瞄準點的選擇依據(jù)及末制導雷達的重點搜索覆蓋區(qū)域。

1 海上機動目標正態(tài)概略航向下的位置散布概率密度

1.1 基本假設(shè)

為方便模型構(gòu)建，作如下假設(shè)：

1)偵察預警兵力對海上機動目標定位的均方差為σmz(σmz.>0)、系統(tǒng)誤差為零，即目標初始位置散布服從二維正態(tài)圓分布、目標初始位置散布中心點位于目標定位點。

2)偵察預警兵力觀測的概略航向信息包括兩個：一是目標航向角分布范圍ΔC，ΔC∈(0,π)；二是主航向角Cc，為航向分布范圍的角平分線與正北之間的夾角，Cc∈[0,2π]。

定義目標運動矢量與正北之間的夾角為目標航向角，記為c，c位于“|c-Cc|≤ΔC/2”所定義的區(qū)間。顯然，c為隨機變量，假設(shè)觀測誤差服從零均值的正態(tài)分布[9-11,16-17]。顯然，Cc為航向角散布中心。

3)目標機動時間t以偵察預警兵力獲取目標定位信息時刻為零點計算。在反艦導彈對海上機動目標射擊時，該時間主要與目標指示信息老化時間tlh和反艦導彈的自控飛行時間tzk有關(guān)[18]，即：t=tlh+tzk。

4)目標在機動時間t內(nèi)航速、航向保持不變；設(shè)目標運動速率為v，則v為確定性變量。

在上述假設(shè)條件下，海上機動目標概略航向下位置散布的基本含義是：在初始位置散布服從系統(tǒng)誤差為零的正態(tài)圓分布(Circular Normal Distribution，CND)下，目標以確定速度(Certain Speed，CS)和正態(tài)概略航向(Approximate Course under Normal Distribution，ACND)機動一段時間后引起的位置散布。為方便書寫和描述，將該散布簡寫為“CND-CS-ACND散布”。

在CND-CS-ACND散布中，目標將以初始位置散布點為基準，在[-ΔC/2,ΔC/2]內(nèi)任意方向機動，如圖1(a)所示。這與目標背離初始散布中心作徑向機動是有區(qū)別的，如圖1(b)所示。以目標背離初始散布中心作徑向機動為假設(shè)條件[12-14]來建立CND-CS-ACND散布模型將存在一定誤差。為此，本文按圖1(a)所示原理建立目標機動后的概率密度。

1.2 目標初始位置散布概率密度

根據(jù)CND-CS-ACND散布的基本內(nèi)涵，偵察預警兵力對海上目標定位服從正態(tài)圓分布，定位系統(tǒng)誤差為零。以目標定位點為原點建立OXY直角坐標系，其中OX軸與航向分布范圍的角平分線平行且同向(即指向Cc方向)，OY軸符合右手定則，如圖1所示。則目標初始位置M(xmb0,ymb0)的概率密度為[19]

(1)

1.3 目標航向散布概率密度

根據(jù)一維正態(tài)分布“3σ”原則，目標航向角c落入“|c-Cc|≤ΔC/2”所定義區(qū)間的概率99.73%。則目標航向的數(shù)學期望μc和均方差σc可近似為

(2)

考慮到目標航向角位于“|c-Cc|≤ΔC/2”所定義的區(qū)間，不可能趨于負無窮或正無窮，建立航向角截斷正態(tài)分布(Truncated Normal Distribution, TND)模型[20-21]，即

(3)

定義目標航向偏離主航向的角度為航向差角，記為α，順時針為正，逆時針為負，α∈[-ΔC/2,ΔC/2]，則

α=Cc-c

(4)

將式(4)代入式(3)，可得航向差角的概率密度fα1(α)為

(5)

式中，α∈[-ΔC/2,ΔC/2]。

1.4 目標機動后的CND-CS-ACND散布概率密度

CND-CS-ACND散布中，目標將以任意一個初始位置散布點為基準，在[-ΔC/2,ΔC/2]內(nèi)任意方向機動，如圖1所示。設(shè)目標以恒定速度v從初始散布位置M(xmb0,ymb0)開始機動，t時間后到達位置P(xmb,ymb)，則

(6)

式中：α∈[-ΔC/2,ΔC/2]；d為目標機動距離；v、t的含義見1.1。

由上式可知，P(xmb,ymb)為二維隨機變量。結(jié)合式(6)和式(1)，在目標航向差角α與初始散布位置獨立時，則在給定α的條件下，位置點P(xmb,ymb)的條件概率密度k(x,y|α)為[22]

(7)

由條件概率密度及隨機變量α的概率密度，可得隨機變量(xmb,ymb,α)的聯(lián)合概率密度k(x,y,α)為

(8)

對k(x,y,α)在α維度積分可得P(xmb,ymb)的邊緣概率密度g(x,y)為

(9)

式中，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)。上式即為海上機動目標正態(tài)概略航向下的位置散布概率密度表達式，僅與σmz、ΔC、v、t參數(shù)有關(guān)，給定任意x、y時，可求出概率密度的數(shù)值解。

2 CND-CS-ACND散布概率密度的性質(zhì)

性質(zhì) 對于任意的x、y∈(-∞,+∞)，有：g(x,y)=g(x, -y)。

證明：

令h(α)=k(x,y,α)，將x=rcosθ、y=rsinθ、fα1(c)代入k(x,y,α)中，可得：

h(α)=Mexp[Pcos(α-θ)+Qα2]

在圖1所示的OXY坐標系下，設(shè)A、B兩點關(guān)于ox軸對稱，A點的坐標為(xa,ya)，B的坐標為(xb,yb)。令xa=rcosγ、ya=rsinγ，則B的坐標為xb=rcos(-γ)，yb=rsin(-γ)。將A、B兩點的坐標分別代入h(α)中，可得

Q=-18α2/(ΔC)2

hA(α)=Mexp[Pcos(α-γ)+Qα2]

hB(α)=Mexp[Pcos(α+γ)+Qα2]

A點的概率密度為

令α=t+γ，可得

令kA(t)=hA(t+γ)，可得

kA(t)=Mexp[Pcost+Q(t+γ)2]

B點的概率密度為：

令α=t-γ，可得：

令kB(t)=hB(t-γ)，可得

kB(t)=Mexp[Pcost+Q(t-γ)2]

由kA(t)、kB(t)的表達式可知：kA(t)=kB(-t)，kA(-t)=kB(t)。因此

由于A、B關(guān)于ox軸對稱，因此有：g(x,y)=g(x, -y)。即CND-CS-ACND散布在直角坐標系下的概率密度關(guān)于航向分布范圍的角平分線對稱。

證畢。

3 給定概率下的CND-CS-ACND散布圓的確定方法

中遠程反艦導彈對水面目標射擊時，常用散布圓表征目標可能位置域，并依據(jù)該圓解算末制導雷達角度搜索范圍、距離搜索范圍及開機距離等參數(shù)[23-26]。散布圓的確定實際上就是在給定目標落入圓形區(qū)域概率的前提下，求解散布圓半徑。

在目標以正態(tài)概略航向機動的情況下，散布圓的圓心已偏離初始位置散布中心，不妨設(shè)散布圓圓心為(xk,yk)。假設(shè)散布圓半徑為R、目標落入此圓的概率為P*，則P*的計算公式為

(10)

式中，r為以散布圓為基準點的極徑；P*∈(0,1)；g(u,v)表達式見式(9)。當yk為零(即圓心位于ox軸)時，根據(jù)CND-CS-ACND的對稱特性，可將上式簡化為：

(11)

利用上式可將積分計算量減少一半。根據(jù)P*值，可以確定一個唯一的R，即：

P*=f(x*)

(12)

式中，x*為待求解的R，f為式(10)或式(11)所示的積分函數(shù)。

考慮到式(12)不能通過給定概率P*直接求取x*，文中采用二分法[27]迭代逼近x*。

1)確定初始迭代區(qū)間[x1，x2]

為了較為精準定位P*所對應x*的初始迭代區(qū)間[x1，x2]，以式(12)所示的積分區(qū)域建立滑動軸OX，以給定的Δx作為“滑動窗”向OX軸右側(cè)滑動，每次滑動Δx并計算目標落入“滑動窗”左、右邊界概率P1、P2，并與P*比較，直到P1≤P*≤P2為止，此時便可確定初始迭代區(qū)間[x1，x2]，如圖2所示。

理論上講，“滑動窗”長度Δx越小，初始迭代區(qū)間[x1，x2]越準確，后續(xù)計算x*的迭代次數(shù)越小。

2)優(yōu)化P1、P2的計算

為了提高計算效率，避免每次迭代計算P1、P2時積分下限總是從零開始，基于概率累加特性來減小積分計算量。

對于圓形散布區(qū)域，當x1、x2∈[0,+∞)，x1≤x2時，令P1=f(x1)、P2=f(x2)，有

(13)

Int(x1→x2)表示的積分區(qū)域如圖3中的陰影“環(huán)帶”所示。

在圖3中，Int(x1→x2)的計算方法為：

Int(x1→x2)=

(14)

由式(13)、(14)可知，在迭代計算P1、P2時可有效利用前續(xù)計算結(jié)果，可大幅減小計算量。

基于以上考慮，設(shè)計了散布圓半徑迭代計算流程，如圖4所示。

4 CND-CS-ACND散布規(guī)律仿真計算分析

計算條件：1)偵察預警兵力對目標定位均方差σmz=4km；2)目標航向分布范圍ΔC分別為2π/3、π/4、π/16，主航向角Cc均為零；3)目標機動距離d=vt=20km。計算結(jié)果如圖5(a)～(c)所示。

對數(shù)據(jù)及圖形特征進行分析，有：

1)在直角坐標系下，CND-CS-ACND散布的概率密度關(guān)于過航向分布范圍角平分線的垂面對稱，這從側(cè)面驗證了前文所述性質(zhì)的正確性。

2)航向分布范圍ΔC對散布區(qū)域具有顯著的影響，ΔC越小，高概率密度區(qū)域越集中，目標散布區(qū)域越小。如果能利用各種可能的先驗知識及戰(zhàn)場態(tài)勢盡量縮小目標航向分布范圍，可以大幅減小目標散布區(qū)域。

3)CND-CS-ACND散布的概率密度最大值只有一個，位于航向分布范圍角平分線上。設(shè)其位置為(dnd,0)，dnd的計算結(jié)果如表1所示。

表1 最大概率密度取值點計算結(jié)果

由表1可知，當ΔC越小，dnd越趨近于d，但始終小于d。利用此結(jié)論，將坐標由(d,0)向(0,0)方向滑動，可通過程序快速求取最大概率密度的取值點。該取值點周邊區(qū)域目標出現(xiàn)的可能性最大。因此，該點可作為反艦導彈的射擊瞄準點。

4)以最大概率密度取值點(dnd,0)為圓心，逐步向周邊擴散，累加區(qū)域概率，直到概率達到給定要求時，停止計算，此時便可計算出給定概率下的散布圓。該散布圓就是目標高概率密度出現(xiàn)區(qū)域，反艦導彈的末制導雷達搜索區(qū)應重點覆蓋此區(qū)域。

以目標落入散布圓概率99.00%作為依據(jù)，對CND-CS-ACND散布在不同航向分布范圍下的散布圓半徑Rg計算結(jié)果如表2所示。顯然，該散布區(qū)域小于現(xiàn)在點射擊時以目標指示點為圓心的散布圓Rq(目標落入概率為99.00%時，按文獻[28]反算得29.64 km)，可大大減小末制導雷達的角度、距離搜索范圍，對隱蔽搜索、多目標選擇極為有利。

表2 以(dnd,0)為原點的散布圓半徑

5 結(jié)束語

推導了初始位置服從正態(tài)圓分布、以確定速度和正態(tài)概略航向機動下的CND-CS-ACND散布概率密度模型，研究該散布的性質(zhì)特征，得出以下結(jié)論：

1)采用“先條件→再聯(lián)合→后邊緣”的方法建立了海上機動目標正態(tài)概略航向下的位置散布概率密度模型，為目標散布區(qū)求解奠定了模型基礎(chǔ)。相對文獻[9-11]，該方法構(gòu)建的位置散布模型是精確解析模型，而不是近似模型；相對文獻[12-14]，該方法具有更好的普適性，可推廣應用于不同初始位置、航向、速度散布組合情況下的散布模型構(gòu)建。

2)在直角坐標系下，CND-CS-ACND散布的概率密度關(guān)于過航向分布范圍角平分線的垂面對稱。利用此結(jié)論，可以將目標落入對稱散布區(qū)域概率的積分計算量減少一半。

3)CND-CS-ACND散布的最大概率密度取值點只有一個，位于航向分布范圍的角平分線上。取值點與原點的距離接近d，但始終小于d。在σmz、d相同的情況下，ΔC越小，取值點與原點的距離越逼近d。以d作為起始點，可通過程序快速求取該取值點。

4)在偵察預警兵力給出概略航向的情況下，反艦導彈采用現(xiàn)在點射擊并不是很好的選擇，一種更好的方法是采取準前置點射擊，即射擊瞄準點選擇在CND-CS-ACND最大概率密度取值點，末制導雷達重點搜索覆蓋區(qū)選擇在以該取值點為中心的散布圓上。

以上研究內(nèi)容較好地解決了正態(tài)概略航向下反艦導彈射擊瞄準點及搜索覆蓋區(qū)的選擇問題，為反艦導彈精準射擊提供了理論依據(jù)。此外，該模型在航空搜潛，無人機、偵察衛(wèi)星對海搜索區(qū)域預測等方面也具有一定的應用價值。下一步將基于CND-CS-ACND散布規(guī)律研究不確定航速下的穩(wěn)妥散布區(qū)計算方法。