鄭一帆 黃光僑 林機(jī)

(浙江師范大學(xué)物理系,金華 321004)(2018年4月23日收到;2018年7月30日收到修改稿)

研究一維非局域三-五次非線性模型下,暗孤子和多極暗孤子的新解和傳輸特性.發(fā)現(xiàn)非局域程度和非線性參量變化對暗孤子的峰值和束寬產(chǎn)生影響,并且在特定的競爭非局域非線性參數(shù)下存在穩(wěn)定基態(tài)暗孤子和多極暗孤子的束縛態(tài).另外,討論了在局域自聚焦三次和非局域自散焦五次非線性介質(zhì)中暗孤子和兩極暗孤子的傳輸特性,發(fā)現(xiàn)孤子比在自散焦三次和自聚焦五次的非線性介質(zhì)中傳輸更加穩(wěn)定.進(jìn)一步研究了單暗孤子和三極暗孤子的功率與傳播常數(shù)和非局域程度的關(guān)系,并討論了不同類型暗孤子的線性穩(wěn)定性問題.

1 引 言

Mihalache等[1]在2006年提出一維非局域競爭三-五次(C-Q)非線性模型并研究了亮孤子和偶極孤子傳輸穩(wěn)定性.Doktorov和Molchan[2]根據(jù)Toda鏈模型給出了弱非局域C-Q介質(zhì)中的多孤子(鏈孤子)的解析解,并進(jìn)一步數(shù)值分析孤子與孤子之間的相互補(bǔ)償作用.對于弱非局域C-Q介質(zhì),Tsoy[3]研究了亮孤子和暗孤子的特點(diǎn).黃光橋和林機(jī)[4]研究了非局域自聚焦三次和自散焦五次非線性介質(zhì)中的多極亮孤子的存在條件和傳輸穩(wěn)定性.

暗孤子中心位置光束場強(qiáng)為零,遠(yuǎn)離中心位置光束場強(qiáng)逐漸增大最后兩端趨于一個固定值.近年來,對非局域三次非線性介質(zhì)的Snyder和Mitchell模型[5]的暗孤子研究也越來越多.Nikolov等[6]研究了暗孤子穩(wěn)定束縛態(tài)的形成和長程相互作用.Gao等[7]從實(shí)驗和理論上研究了自散焦非局域非線性介質(zhì)中的表面暗孤子特征.Ouyang等數(shù)值分析了暗孤子的特點(diǎn)[8],同時還研究了由多個暗孤子形成的束縛態(tài)特征和它們之間的相互作用[9].Fischer等[10]研究表明空間橫向傾斜暗條紋的相互作用特征與介質(zhì)的非局域非線性響應(yīng)相關(guān).Pu等[11]發(fā)現(xiàn),只有自散焦非線性的向列液晶中存在暗孤子和灰孤子,同時發(fā)現(xiàn)非局域非線性作用極大地影響了暗孤子和灰孤子的速度和束寬.暗孤子在準(zhǔn)一維的玻色-愛因斯坦凝聚中的碰撞等相互作用性質(zhì)也有相應(yīng)的研究[12].Krolikowski課題組[13,14]利用變分方法研究了非局域三次非線性介質(zhì)中的暗孤子的特性.對于非局域非線性C-Q模型,人們嘗試從解析和數(shù)值方法研究暗孤子,該課題組[15]對該模型進(jìn)行特定形變,使用變分方法并結(jié)合數(shù)值分析,研究了暗孤子的特點(diǎn)和相互作用.Xu等[16]對非局域非線性中孤子的特性和穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)研究.本文基于非局域非線性C-Q模型,研究非局域非線性C-Q介質(zhì)中不同暗孤子的特點(diǎn)和暗孤子之間的相互作用,并研究三次非局域和五次局域中的暗孤子的束縛態(tài)存在性和穩(wěn)定性.

2 非局域C-Q介質(zhì)中暗孤子的物理模型

在一維競爭非局域非線性C-Q介質(zhì)中光的傳播,滿足以下無量綱化的非局域非線性薛定諤方程:

其中,ψ是光場振幅;n3,5是光場誘導(dǎo)折射率;自變量x和z分別表示光束寬度橫向坐標(biāo)和光傳播方向的縱向坐標(biāo);采用指數(shù)函數(shù)類型的非局域響應(yīng)函數(shù)該函數(shù)滿足歸一化條件參數(shù)a3和a5分別表示三次和五次的非線性強(qiáng)度,它們?nèi)≌岛拓?fù)值分別對應(yīng)非線性分量的自聚焦和自散焦;d3,5代表三次和五次非線性對應(yīng)的非局域程度(d3,5→0對應(yīng)局域,d3,5→∞對應(yīng)強(qiáng)非局域).事實(shí)上,無量綱化的非局域非線性薛定諤方程(1)中的變量和參量與實(shí)際物理量之間由以下變換相聯(lián)系[17,18]

其中ξ,η和E(η,ξ)分別是實(shí)際光傳播方向、橫向坐標(biāo)和光電場強(qiáng)度;參量k=2πn0/λ;w0,n0,n2和E0分別表示介質(zhì)不考慮非線性效應(yīng)時的波數(shù)、暗孤子光束的橫向初始寬度、介質(zhì)的線性折射率、介質(zhì)的非線性折射率和光波電場強(qiáng)度的最大振幅.在該非局域響應(yīng)系統(tǒng)中暗孤子功率為

假設(shè)耦合方程(1)的解為ψ(x,z)=w(x)×exp(ibz),其中w(x)為一個實(shí)函數(shù),b為孤子的傳播常數(shù),方程(1)可化為

當(dāng)非局域程度d3,5→0,根據(jù)文獻(xiàn)[19,20],方程(2)有如下解析解:

3 暗孤子解和傳輸穩(wěn)定性

下面研究方程(1)中暗孤子解的特點(diǎn).結(jié)合文獻(xiàn)[22]的暗孤子解,采用牛頓迭代法對方程(2)進(jìn)行求解,得到暗孤子的幅值分布.這里采用相對無限大區(qū)間對暗孤子進(jìn)行牛頓迭代法求解,得到的暗孤子解的兩端具有振蕩的尾部.截取暗孤子的兩端是平行x軸的,故兩端值不固定在某一個數(shù)上.通過分步傅里葉方法可以驗證暗孤子的傳輸穩(wěn)定性.為了防止暗孤子兩端的振蕩尾部干擾傳輸,把兩端彎曲區(qū)間的取值和暗孤子兩邊平行x軸的數(shù)值一樣,然后進(jìn)行數(shù)值演化.另外,同時也對孤子的數(shù)值初值做了線性穩(wěn)定性分析,假設(shè)系統(tǒng)初值的擾動解為

其中v(x,z),w(x,z),h(x,z),g(x,z)是微擾小量;m3,m5為n3,n5的數(shù)值初值. 將(4)式代入方程(2),忽略高階小量,可得關(guān)于v(x,z)和w(x,z)的線性方程:

其中

通過數(shù)值方法計算λ,若孤子給出的λ含有實(shí)數(shù)部分,說明孤子是不穩(wěn)定的.

在本節(jié)中,設(shè)定傳播常數(shù)b=?1,非線性參量|a3|=1,討論在競爭非局域自散焦三次和自聚焦五次非線性介質(zhì)中暗孤子的特點(diǎn)和傳輸穩(wěn)定性.圖1給出了不同非局域程度下暗孤子的特點(diǎn)和穩(wěn)定傳輸圖,從圖1(a)可以看出,在五次非局域程度d5增大時,暗孤子的兩個凸出的駝峰逐漸降低,而光場誘導(dǎo)的折射率的幅值升高.然而,從圖1(d)發(fā)現(xiàn),在d3逐漸增大時,暗孤子的兩個駝峰也相應(yīng)增高,同時折射率的幅值也隨之增大.在圖1中,非局域C-Q介質(zhì)中的基態(tài)暗孤子始終保持穩(wěn)定傳輸?shù)臓顟B(tài).并且,根據(jù)線性穩(wěn)定性分析,從數(shù)值上也進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)基態(tài)暗孤子在它存在區(qū)域均是穩(wěn)定的,這與文獻(xiàn)[23]中數(shù)值證明基態(tài)暗孤子下有穩(wěn)定的束縛態(tài)結(jié)論相同.無論非局域程度d3和d5是否相等,基態(tài)暗孤子解依然存在.大量的數(shù)值結(jié)果表明,并不是所有a5自聚焦參量都能存在基態(tài)孤子解,當(dāng)d3=1,d5=10時,自聚焦五次非線性參量存在一個最大值只有a5小于該最大值時才存在暗孤子解.當(dāng)參數(shù)a3=?1,a5=0.2,d5=10時的單暗孤子功率P與傳播常數(shù)b的關(guān)系如圖1(g)所示,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)d3取不同值并且b<0時,單暗孤子功率是隨b的減少而單調(diào)增加的,在這樣的區(qū)間內(nèi),單孤子均存在.圖2給出了不同非線性參量下暗孤子的特點(diǎn)和穩(wěn)定傳輸圖,從圖2(a)可以看到,當(dāng)a5的值減小時,暗孤子的幅值也在減小,而折射率只是在中心區(qū)域發(fā)生了微小的增長.由此可知,即使不改變傳播常數(shù)b,暗孤子的幅值分布和a5也存在著相應(yīng)關(guān)系.

圖1 不同非局域程度下暗孤子的特點(diǎn)和穩(wěn)定傳輸圖 (a)a5=0.2,d3=1時暗孤子光場波形,d5=1對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線1,d5=10對應(yīng)紅色實(shí)線2,虛線1′和2′分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)a5=0.2,d3=1,d5=1時暗孤子傳輸;(c)a5=0.2,d3=1,d5=10時暗孤子傳輸圖;(d)a5=0.2,d5=10時暗孤子光場波形,d3=1對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線1,d3=2對應(yīng)紅色實(shí)線2,d3=5對應(yīng)黑色實(shí)線3;1′,2′和3′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)a5=0.2,d5=10,d3=2時暗孤子傳輸圖;(f)a5=0.2,d5=10,d3=5時暗孤子傳輸圖;(g)a3=?1,a5=0.2,d5=10時功率與傳播常數(shù)的關(guān)系;(h)a3=?1,a5=0.2,d3=1時功率與傳播常數(shù)的關(guān)系;(i)功率與非局域程度d5的關(guān)系圖Fig.1.Characteristics and stable propagation of the dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when a5=0.2 and d3=1;blue solid curve 1 corresponds to d5=1;red solid curve 2 corresponds to d5=10;dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when a5=0.2 and d3=d5=1;(c)propagation when a5=0.2,d3=1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index when a5=0.2 and d5=10;blue solid curve 1 corresponds to d3=1;red solid curve 2 corresponds to d3=2;black solid curve 3 corresponds to d3=5;dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when a5=0.2,d3=2 and d5=10;(f)propagation when a5=0.2,d3=5 and d5=10;(g)power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d5=10;(h)power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d3=1;(i)the power versus nonlocal parameters d5.

圖2 不同非線性參量下暗孤子的特點(diǎn)和穩(wěn)定傳輸圖 (a)d3=d5=1時暗孤子光場波形,藍(lán)色實(shí)線1對應(yīng)a5=0.2,紅色實(shí)線2對應(yīng)a5=0.02;1′和2′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)d3=d5=1,a5=0.02時暗孤子的傳輸圖Fig.2.Characteristic and stable propagation of the dark solitons for different nonlinear parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=d5=1,a5=0.2(blue solid curve 1)and a5=0.02(red solid curve 2);(b)propagation when d3=d5=1,a5=0.2.

圖3 不同非局域程度下兩極暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸?shù)氖`態(tài) (a)d3=1,d5=1時兩極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d3=1,d5=10時兩極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),1′和2′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)d3=1,d5=1時兩極暗孤子傳輸圖;(c)d3=1,d5=10時兩極暗孤子傳輸圖;(d)d5=10,d3=1時兩極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d5=10,d3=2時兩極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),d5=10,d3=5時兩極暗孤子光場波形(黑色實(shí)線3),1′,2′和3′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)線性穩(wěn)定性分析圖,擾動增長率實(shí)部與傳播常數(shù)關(guān)系圖(d3=2,d5=10和d3=5,d5=10)Fig.3.Characteristic and stable propagation of the double-pole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=d5=1(blue solid curve 1)and d3=1,d5=10(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=d5=1;(c)propagation when d3=1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index at d5=10 when d3=1(blue solid curve 1),d3=2(red solid curve 2),d3=5(black solid curve 3);dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)real part of the perturbation growth rate for the double-pole dark solitons versus propagation constant at d3=2d5=10 and d3=5,d5=10.

4 多極暗孤子的束縛態(tài)

研究發(fā)現(xiàn),在競爭非局域C-Q模型中存在兩極暗孤子的束縛態(tài).對兩極暗孤子進(jìn)行數(shù)值分析前,給定參數(shù)b=?1,a3=?1,a5=0.2,然后研究在不同的d3和d5下束縛態(tài)的變化情況.由圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)隨著非局域程度d5的增大,兩極暗孤子的幅值減小并且束寬變窄,相應(yīng)的折射率幅值增大而寬度變窄.圖3給出不同非局域程度下兩極暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸?shù)氖`態(tài),由圖3(b)和圖3(c)可以看出,兩極暗孤子的束縛態(tài)能穩(wěn)定傳輸.并且在這些參量下,改變傳輸常數(shù),兩極暗孤子穩(wěn)定性不變.然而,當(dāng)d5不變而d3變大時,圖3(d)顯示兩極暗孤子的幅值和束寬同時增大,而相應(yīng)的折射率幅值和寬度減小.圖3(e)是兩極暗孤子線性穩(wěn)定性分析圖,在b=[?0.9,?1]區(qū)域,兩極暗孤子是不穩(wěn)定的.另外,兩極暗孤子束縛態(tài)的穩(wěn)定性還與它們中間負(fù)區(qū)域大小和折射率的峰值分布有著密切關(guān)系.圖4給出了兩極暗孤子不穩(wěn)定的束縛態(tài),由圖4(a)可以看出,當(dāng)折射率中心成一個波谷形狀時,兩極暗孤子負(fù)區(qū)域越大,即加絕對值后中心波峰越高,兩極距離越遠(yuǎn).因此中間負(fù)區(qū)域給兩極暗孤子的排斥作用越大,最終導(dǎo)致束縛態(tài)不穩(wěn)定傳輸(見圖4(b)).如果兩極暗孤子兩側(cè)向上的駝峰幅值分布大于向下的兩極(見圖4(d)),則駝峰所引起的吸引作用比兩極的排斥作用大,駝峰向中間靠近和暗孤子的兩極發(fā)生相互作用,導(dǎo)致四極變成兩極排斥傳輸(見圖4(e)).這些情況下的線性穩(wěn)定性分析發(fā)現(xiàn)λ存在實(shí)數(shù),驗證了它們的不穩(wěn)定傳輸(見圖4(c)和圖4(f)).

圖4 兩極暗孤子不穩(wěn)定的束縛態(tài) (a)d3=1,d5=3時兩極暗孤子的光場波形圖(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(b)d3=1,d5=3時對應(yīng)的兩極暗孤子的傳輸圖;(c)關(guān)于情形(a)的線性擾動增長率實(shí)部與虛部圖譜;(d)d3=5,d5=3時兩極暗孤子的光場波形圖(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(e)d3=5,d5=3時對應(yīng)的兩極暗孤子的傳輸圖;(f)關(guān)于情形(d)的線性擾動增長率實(shí)部與虛部圖譜Fig.4.Unstable propagation of the double-pole dark solitons:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=1 and d5=3;(b)propagation when d3=1 and d5=3;(c)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate for the case(a);(d)soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=5 and d5=3;(e)propagation when d3=5 and d5=3;(f)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate for the case(d).

圖5 不同非局域程度下三極暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸?shù)氖`態(tài) (a)d3=1,d5=1時三極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d3=1,d5=10時三極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),1′和2′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)d3=1,d5=1時三極暗孤子傳輸圖;(c)d3=1,d5=10時三極暗孤子傳輸圖;(d)d5=10,d3=1時三極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d5=10,d3=2時三極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),d5=10,d3=5時三極暗孤子光場波形(黑色實(shí)線3);1′,2′和3′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)d5=10,d3=2時三極暗孤子傳輸圖;(f)d5=10,d3=5時三極暗孤子傳輸圖;(g)a3=?1,a5=0.2,d5=10時功率與傳播常數(shù)的關(guān)系;(h)a3=?1,a5=0.2,d3=1時功率與傳播常數(shù)的關(guān)系;(i)b=?0.5,d3=1,d5=1時的線性擾動增長率實(shí)部與虛部圖譜Fig.5.Characteristic and stable propagation of the tri-pole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Tri-pole soliton structure and induced refractive index when d3=d5=1(blue solid curve 1)and d3=1,d5=10(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=d5=1;(c)propagation when d3=1,d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index at d5=10 when d3=1(blue solid curve 1),d3=2(red solid curve 2),d3=5(black solid curve 3);dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when d3=2 and d5=10;(f)propagation when d3=5 and d5=10;(g)power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d5=10;(h)the power versus the propagation constant when a3=?1,a5=0.2,d3=1;(i)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate when b=?0.5,d3=1,d5=1.

在競爭非局域C-Q介質(zhì)中能支持更高階暗孤子的穩(wěn)定束縛態(tài),圖5給出了不同非局域程度下三極暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸?shù)氖`態(tài).在非局域程度d3不變的情況下,三極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d5的增大而減小(見圖5(a)—(c)).然而,在d5不變的情況下,三極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d3的增大而增大.光場誘導(dǎo)的折射率變化情況卻恰恰與之相反(見圖5(d)—(f)).值得注意的是,從圖5(d)可以發(fā)現(xiàn),折射率分布曲線3′和其他兩條非常不一樣,中間峰值更高,提供給孤子更強(qiáng)的吸引作用來平衡強(qiáng)光場零點(diǎn)帶來的相互排斥作用.圖5(g)和圖5(h)給出了當(dāng)參數(shù)a3=?1,a5=0.2,d3=10和a3=?1,a5=0.2,d3=1時的三極暗孤子功率P與傳播常數(shù)b的關(guān)系圖.可以看出,當(dāng)d3和d5取不同值并且b<0時,功率是隨b減少而單調(diào)增加的;在這樣的參數(shù)和傳播常數(shù)取值區(qū)間內(nèi),三極暗孤子均存在.當(dāng)三極暗孤子的每個孤子峰之間達(dá)到合適的距離時,得到了三極暗孤子解,如圖6(a)所示,此三極暗孤子構(gòu)成束縛態(tài)可以穩(wěn)定傳輸,見圖6(c).三極暗孤子(圖6(b))在非局域程度d3>d5的情況下,仍然容易出現(xiàn)不穩(wěn)定的束縛態(tài),如圖6(d)和圖6(e)所示.而當(dāng)五次非線性參量a5>0.2時不存在該特征的束縛態(tài).在上述三極暗孤子的存在區(qū)間,隨著傳播系數(shù)b的改變?nèi)龢O暗孤子總是穩(wěn)定傳輸?shù)?圖5(i)給出了當(dāng)b=?0.5,d3=d5=1時線性擾動增長率實(shí)部與虛部圖,此時λ只存在虛部,能穩(wěn)定傳輸.然而,在之前給定的參數(shù)條件下不存在穩(wěn)定傳輸?shù)母唠A暗孤子,因此重新給定參數(shù)b=?2,a3=?0.5,a5=?0.3,找到穩(wěn)定傳輸?shù)乃臉O暗孤子,如圖7所示.在非局域程度d3不變的情況下,四極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d5的增大而增大,見圖7(a)—(c).在d5不變的情況下,四極暗孤子的幅值和光束束寬同樣會隨著d3的增大而增大,見圖7(d)—(f),而光場誘導(dǎo)的折射率變化情況與之相反.但是當(dāng)四極暗孤子兩兩孤子峰之間距離加大(見圖8(a))時,則出現(xiàn)了四極暗孤子不穩(wěn)定的束縛態(tài),如圖8(b)和圖8(c)所示.

圖6 三極暗孤子不同束縛態(tài)下的傳輸特征 (a)d3=d5=1時三極暗孤子的光場波形(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(b)d3=5,d5=3時三極暗孤子的光場波形(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(c)d3=d5=1,孤子間距為11.575時三極暗孤子的傳輸圖;(d)d3=5,d5=3時三極暗孤子的傳輸圖;(e)d3=5,d5=3時的線性擾動增長率實(shí)部與虛部圖譜Fig.6.Propagation of different tri-pole dark solitons:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=d5=1;(b)soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=5 and d5=3;(c)propagation when d3=d5=1 and L=11.575;(d)propagation when d3=5 and d5=3;(e)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate when d3=5 and d5=3.

暗孤子越高階越不容易存在穩(wěn)定的束縛態(tài),但在嚴(yán)格的參數(shù)限定下,仍能存在穩(wěn)定傳輸?shù)奈鍢O暗孤子,如圖9所示.給定參數(shù)b=?2,a3=?0.8,a5=?0.5時,非局域程度的影響與四極暗孤子相同,只是五極暗孤子的幅值、光束束寬以及對應(yīng)的光場誘導(dǎo)折射率改變甚微.即在非局域程度d3不變的情況下,五極暗孤子的幅值和光束束寬會隨著d5的增大而微小增大,如圖9(a)—(c)所示;在d5不變的情況下,五極暗孤子的幅值和光束束寬同樣會隨著d3的增大而微小增大,如圖9(d)—(f)所示.光場誘導(dǎo)的折射率變化情況與之相反.當(dāng)d5大于6.1時,不再存在五極暗孤子.為了驗證競爭非局域C-Q非線性介質(zhì)中并不容易穩(wěn)定傳輸?shù)奈鍢O暗孤子傳輸穩(wěn)定性,將方程(2)的初始輸入加入白噪聲ψ(x,z=0)=w(x)[1+ρ(x)],其中ρ(x)為高斯分布的隨機(jī)噪聲,且方差δ2=0.01.利用分步傅里葉方法進(jìn)行數(shù)值模擬可以得到白噪聲擾動下的五極暗孤子傳輸圖像,如圖10(a)和圖10(b)所示,加了白噪聲后的五極暗孤子仍能穩(wěn)定地傳輸?shù)絲=600之后更遠(yuǎn)的距離,同時可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)d5保持不變、d3增加時,五極暗孤子束縛態(tài)穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x會更遠(yuǎn).

圖7 不同非局域程度下四極暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸?shù)氖`態(tài) (a)d3=1,d5=1時四極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d3=1,d5=3時四極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),1′和2′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)d3=1,d5=1時四極暗孤子傳輸圖;(c)d3=1,d5=3時四極暗孤子傳輸圖;(d)d5=1,d3=1時四極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d5=1,d3=2時四極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),d5=1,d3=4時四極暗孤子光場波形(黑色實(shí)線3),1′,2′和3′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)d5=1,d3=2時四極暗孤子傳輸圖;(f)d5=1,d3=4時四極暗孤子傳輸圖Fig.7.Characteristic and stable propagation of the quadrupole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=1,d5=1(blue solid curve 1)and d3=1,d5=3(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=1,d5=1;(c)propagation when d3=1 and d5=3;(d)soliton structure and induced refractive index at d5=1 when d3=1(blue solid curve 1),d3=2(red solid curve 2),d3=4(black solid curve 3);dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when d3=2 and d5=1;(f)propagation when d3=4 and d5=1.

圖8 四極暗孤子不穩(wěn)定的束縛態(tài) (a)d3=3,d5=1.9時四極暗孤子的光場波形圖(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(b)d3=3,d5=1.9時對應(yīng)的四極暗孤子的傳輸圖;(c)d3=3,d5=1.9時的線性擾動增長率實(shí)部與虛部圖譜Fig.8.Unstable propagation of the quadrupole dark solitons:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when d3=3 and d5=1.9;(b)propagation when d3=3 and d5=1.9;(c)real part and imaginary part map of the perturbation growth rate when d3=3,d5=1.9.

圖9 不同非局域程度下五極暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸?shù)氖`態(tài) (a)d3=3,d5=5時五極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d3=3,d5=6時五極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),1′和2′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)d3=3,d5=5時五極暗孤子傳輸圖;(c)d3=3,d5=6時五極暗孤子傳輸圖;(d)d5=5,d3=3時五極暗孤子光場波形(藍(lán)色實(shí)線1),d5=5,d3=4時五極暗孤子光場波形(紅色實(shí)線2),1′,2′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)d5=5,d3=3時五極暗孤子傳輸圖;(f)d5=5,d3=4時五極暗孤子傳輸圖Fig.9.Characteristic and stable propagation of the penta-pole dark solitons for different nonlocal parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when d3=3,d5=5(blue solid curve 1)and d3=3,d5=6(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when d3=3,d5=5;(c)propagation when d3=3,d5=6;(d)soliton structure and induced refractive index when d3=3,d5=5(blue solid curve 1)and d3=4,d5=5(red solid curve 2);dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when d5=5,d3=3;(f)propagation when d5=5,d3=4.

圖10 加δ2=0.01白噪聲后五極暗孤子傳輸?shù)氖`態(tài) (a)d3=3,d5=5時五極暗孤子不穩(wěn)定的傳輸圖;(b)d3=4,d5=5時五極暗孤子不穩(wěn)定的傳輸圖Fig.10.Characteristic and propagation of the penta-pole dark solitons with the white noise of δ2=0.01:(a)Propagation with the white noise when d3=3,d5=5;(b)propagation with the white noise when d3=4,d5=5.

若將無量綱化的方程(1)轉(zhuǎn)化為實(shí)際物理量綱,對于單暗孤子(圖1)情形,選擇非局域非線性的若丹明B水溶液(濃度0.1 mmol/L)為介質(zhì),該溶液對光具有強(qiáng)吸收性質(zhì)是一種自散焦介質(zhì),當(dāng)選擇輸入光的波長為532 nm,輸入暗孤子的橫向?qū)挾葁0=25μm,功率為1.0 W,線性折射率n0為1.3,非線性折射率n2=4.0×10?11m2/W時[17],根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果,可估算得單暗孤子的實(shí)際橫向?qū)挾燃s為23.2μm.輸入光波長和暗孤子的橫向?qū)挾纫约肮β嗜≈低瑔伟倒伦忧樾我粯?同時,在滿足數(shù)值計算要求的實(shí)驗參數(shù)下,對非局域程度d3=3,d5=5時的五極暗孤子(圖9(b)),可計算其實(shí)際寬度約為110.5μm.

5 局域三次和非局域五次介質(zhì)中的暗孤子

在一維局域三次和非局域五次非線性介質(zhì)中,光場振幅ψ、橫坐標(biāo)上的光束寬度x和縱向坐標(biāo)上的衍射長度z,滿足以下非局域非線性薛定諤方程:

式中n是高階項下的誘導(dǎo)折射率,可表達(dá)為

圖11 不同非局域和非線性介質(zhì)中暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸圖像 (a)a3=0.1,a5=?1時暗孤子光場波形,d5=1對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線1,d5=10對應(yīng)紅色實(shí)線2,虛線1′和2′分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)a3=0.1,a5=?1,d5=1時暗孤子傳輸;(c)a3=0.1,a5=?1,d5=10時暗孤子傳輸;(d)a5=?1,d5=1時暗孤子光場波形;a3=0.1對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線1,a3=0.5對應(yīng)紅色實(shí)線2,a3=1對應(yīng)黑色實(shí)線3;1′,2′和3′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)a5=?1,d5=1,a3=0.5時暗孤子傳輸圖;(f)a5=?1,d5=1,a3=1時暗孤子傳輸圖Fig.11.Characteristic and stable propagation of the dark solitons for different nonlocal and nonlinear parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when a3=0.1 and a5=?1;blue solid curve 1 corresponds to d5=1;red solid curve 2 corresponds to d5=10;dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when a3=0.1,a5=?1 and d5=1;(c)propagation when a3=0.1,a5=?1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index when a5=?1 and d5=1;blue solid curve 1 corresponds to a3=0.1;red solid curve 2 corresponds to a3=0.5;black solid curve 3 corresponds to a3=1;dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=0.5;(f)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=1.

下面討論方程(4)和(5)的暗孤子解和折射率分布特點(diǎn).圖11給出了不同非局域和非線性介質(zhì)中暗孤子的光場波形和穩(wěn)定傳輸圖像,從圖11(a)看到,在自聚焦三次和非局域自散焦五次非線性介質(zhì)中,基態(tài)暗孤子的波形和折射率分布與非局域C-Q介質(zhì)非常類似.隨著非局域程度d5的增大,孤子的兩個駝峰升高,光束束寬也同時增大,而光場誘導(dǎo)的折射率的幅值變小,寬度展寬.在不同參數(shù)下,基態(tài)暗孤子都具有很好的傳輸穩(wěn)定性,如圖11(b)和圖11(c)所示.但從圖11和圖12發(fā)現(xiàn),折射率兩端并不像非局域C-Q介質(zhì)下那樣固定于某一值(非局域C-Q介質(zhì)中nmin=1),其兩端的絕對值隨著自聚焦非線性參量a3的增大而增大.如圖12(d)所示,基態(tài)暗孤子的幅值和光束束寬也隨著a3的增大而增大.因此,孤子在光強(qiáng)為零的地方產(chǎn)生的強(qiáng)排斥作用和誘導(dǎo)折射率產(chǎn)生的強(qiáng)吸引作用平衡,實(shí)現(xiàn)了基態(tài)暗孤子的穩(wěn)定傳輸,如圖11(e)和圖11(f)所示.值得注意的是,在非線性參量a3繼續(xù)增大的情況下,暗孤子兩個駝峰尾部也逐漸有波浪形的孤波產(chǎn)生.當(dāng)a3=1.27時,從圖12(a)看到暗孤子變成了呼吸孤子,并且能穩(wěn)定傳輸,如圖12(c)所示.在非線性參量a3>1.27時基態(tài)暗孤子不復(fù)存在.相應(yīng)于圖12(b)和圖12(d),暗孤子在自散焦三次和非局域自聚焦五次非線性的介質(zhì)中變得非常不穩(wěn)定.折射率分布在x軸的上半部分,引起暗孤子兩端的振蕩,進(jìn)而產(chǎn)生多個孤子峰造成暗孤子的不穩(wěn)定.

圖12 不同非線性介質(zhì)中暗孤子的光場波形和傳輸?shù)姆€(wěn)定性 (a)a3=1.27,a5=?1,d5=1時暗孤子的光場波形(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(b)a3=?1,a5=0.1,d5=1時暗孤子的光場波形(藍(lán)色實(shí)線)和誘導(dǎo)折射率(紅色虛線);(c)a3=1.27,a5=?1,d5=1時暗孤子的傳輸圖;(d)a3=?1,a5=0.1,d5=1時暗孤子的傳輸圖Fig.12.Characteristic and stable propagation of the dark solitons for different nonlinear parameters:(a)Soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when a3=1.27,a5=?1 and d5=1;(b)soliton structure(blue solid curve)and induced refractive index(red dash curve)when a3=?1,a5=0.1 and d5=1;(c)propagation when a3=1.27,a5=?1 and d5=1;(d)propagation when a3=?1,a5=0.1 and d5=1.

在局域三次和非局域五次非線性的介質(zhì)中依然支持多極暗孤子的束縛態(tài).圖13給出了自聚焦三次和自散焦五次非線性介質(zhì)中兩極暗孤子的束縛態(tài).從圖13(a)可以看出,兩極暗孤子與基態(tài)暗孤子一樣,束縛態(tài)的駝峰和束寬都隨著非局域程度d5的增大而增大,光場誘導(dǎo)的折射率幅值減小.在非局域程度的變化區(qū)間內(nèi),兩極暗孤子始終有穩(wěn)定的束縛態(tài).其他參量不變,當(dāng)非線性a3逐漸增大時,兩極暗孤子波形會整體向上移動,并且駝峰升高,兩側(cè)開始出現(xiàn)振蕩波形,而折射率分布下降,峰值增大,也出現(xiàn)了振蕩波形,如圖13(d)所示.兩極暗孤子在a3>1.18時開始出現(xiàn)不穩(wěn)定傳輸,如圖13(f)所示,仔細(xì)觀察該圖發(fā)現(xiàn),束縛態(tài)的振蕩波形像水波一樣,不斷向外跌宕傳輸,這必定會引起兩極暗孤子最終排斥發(fā)散傳輸.當(dāng)非線性參數(shù)a3>1.27時不存在兩極暗孤子的束縛態(tài).

圖13 不同非局域和非線性介質(zhì)中兩極暗孤子的束縛態(tài)和傳輸?shù)姆€(wěn)定性 (a)a3=0.1,a5=?1時兩極暗孤子光場波形,d5=1對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線1,d5=10對應(yīng)紅色實(shí)線2,虛線1′和2′分別是相應(yīng)的折射率分布;(b)a3=0.1,a5=?1,d5=1時兩極暗孤子傳輸;(c)a3=0.1,a5=?1,d5=10兩極暗孤子傳輸;(d)a5=?1,d5=1時兩極暗孤子光場波形;a3=0.1時為藍(lán)色實(shí)線1,a3=0.5時為紅色實(shí)線2,a3=1時為黑色實(shí)線3;1′,2′和3′虛線分別是相應(yīng)的折射率分布;(e)a5=?1,d5=1,a3=1時微振蕩兩極暗孤子傳輸圖;(f)a5=?1,d5=1,a3=1.18時微振蕩兩極暗孤子傳輸圖Fig.13.Characteristic and stable propagation of the double-pole dark solitons for different nonlocal nonlinear parameters:(a)Soliton structure and induced refractive index when a3=0.1 and a5=?1;blue solid curve 1 corresponds to d5=1;red solid curve 2 corresponds to d5=10;dash curves 1′and 2′are the corresponding refractive index curves;(b)propagation when a3=0.1,a5= ?1 and d5=1;(c)propagation when a3=0.1,a5= ?1 and d5=10;(d)soliton structure and induced refractive index when a5=?1 and d5=1;blue solid curve 1 corresponds to a3=0.1;red solid curve 2 corresponds to a3=0.5;black solid curve 3 corresponds to a3=1;dash curves 1′,2′,and 3′are the corresponding refractive index curves;(e)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=1;(f)propagation when a5=?1,d5=1 and a3=1.18.

6 結(jié) 論

本文研究了非局域C-Q介質(zhì)中的基態(tài)暗孤子以及多極暗孤子的特點(diǎn).首先,研究了自散焦三次和自聚焦五次非線性中的暗孤子的幅值和束寬受非局域程度的影響.結(jié)果表明,非線性參量不僅對孤子的幅值增長造成影響,而且與孤子上下平移有著密切關(guān)系,但是光場誘導(dǎo)的折射率兩端值始終是一個固定值.數(shù)值分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),基態(tài)暗孤子可以穩(wěn)定傳輸,兩極和三極暗孤子也存在穩(wěn)定的束縛態(tài),對于更高極暗孤子,選擇合適的非局域常數(shù)和傳播常數(shù),仍然可以得到穩(wěn)定傳輸?shù)乃臉O和五極暗孤子,但是對于一些五極暗孤子,遠(yuǎn)距離傳輸將是不穩(wěn)定的.通過線性穩(wěn)定性分析發(fā)現(xiàn),兩極暗孤子存在不穩(wěn)定區(qū)域;而對于其他情形,線性穩(wěn)定性分析結(jié)果與傳播的穩(wěn)定性結(jié)果一致.其次,討論了局域三次和非局域五次非線性介質(zhì)中基態(tài)暗孤子和兩極暗孤子的特點(diǎn).結(jié)果表明,暗孤子和兩極暗孤子的幅值和束寬都受非局域程度和非線性參量的影響.而誘導(dǎo)的折射率兩端值則會因為三次非線性參量的改變而改變.暗孤子和兩極暗孤子的束縛態(tài)在自聚焦三次和非局域自散焦五次非線性下傳輸更容易穩(wěn)定,而在自散焦三次和非局域自聚焦五次非線性中發(fā)散不穩(wěn)定.