高慧明

推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程，它包括合情推理與演繹推理，合情推理又包括歸納推理和類比推理，歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，由部分到整體、歸納推理由個(gè)別到一般的推理類比；推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理；演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論. 演繹推理是由一般到特殊的推理. 高考中歸納推理和類比推理常以客觀題形式出現(xiàn)，演繹推理常和其他知識(shí)交匯，以解答題形式出現(xiàn).

一、歸納推理的求解策略

所謂歸納，是指通過對(duì)特例的分析來引出普遍結(jié)論的一種推理形式.它由推理的前提和結(jié)論兩部分構(gòu)成：前提是若干已知的個(gè)別事實(shí)，是個(gè)別或特殊的判斷、陳述，結(jié)論是從前提中通過推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷.其思維模式是：設(shè)Mi（i=1，2，…，n）是要研究對(duì)象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性質(zhì)P，則由此猜想M也可能具有性質(zhì)P.

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法，對(duì)于完全歸納法，由于它窮盡了被研究對(duì)象的一切特例，因而結(jié)論是正確可靠的.完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納法. 由于不完全歸納法沒有窮盡全部被研究的對(duì)象，得出的結(jié)論只能算猜想，結(jié)論的正確與否有待進(jìn)一步證明或舉反例.

（1）歸納推理的一般步驟：

①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；

②從相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題.

（2）歸納推理是一種重要的思維方法，但結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步證明，一般地，考查的個(gè)體越多，歸納的結(jié)論可靠性越大. 因此在進(jìn)行歸納推理時(shí)，當(dāng)規(guī)律不明顯時(shí)，要盡可能多地分析特殊情況，由此發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而獲得一般結(jié)論.

（3）歸納推理是每年高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中高檔題.高考對(duì)歸納推理的考查常有以下三個(gè)命題角度：①數(shù)值的歸納；②代數(shù)式的歸納；③圖形的歸納.

例1. 某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度相等，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來 的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖.

n級(jí)分形圖中共有________條線段.

【分析】分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級(jí)分形圖有3=（3×2-3）條線段，二級(jí)分形圖有9=（3×22-3）條線段，三級(jí)分形圖中有21=（3×23-3）條線段，按此規(guī)律n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an=（3×2n-3）（n∈N*）.

【點(diǎn)評(píng)】（1）歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍；（2）歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的；（3）歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用.

例2. 觀察下列等式：1 3=12，1 3+2 3=32，1 3+2 3+33=62，1 3+2 3+33+43=102，…根據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)等式為 .

【分析】因?yàn)? 3=12，1 3+2 3=（1+2）2，1 3+2 3+33=（1+2+3）2，1 3+2 3+33+43=（1+2+3+4）2，…由以上可以看出左邊是連續(xù)的自然數(shù)的立方和，右邊是左邊的數(shù)的和的立方，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為：

1 3+2 3+33+43+…+n3=（1+2+3+…+n）2=[ ] 2，所以答案應(yīng)為1 3+2 3+33+43+…+n3=[ ] 2.

二、類比推理的求解策略

數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測(cè)性方法進(jìn)行探測(cè)的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.類比、歸納是獲得猜想的兩個(gè)重要的方法.

所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式.類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證.

在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤.類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法.

（1）類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解；

（2）類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；

（3）類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移.

運(yùn)用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

可見，運(yùn)用類比法的關(guān)鍵是尋找一個(gè)合適的類比對(duì)象.按尋找類比對(duì)象的角度不同，類比法常分為以下三個(gè)類型.

（1）降維類比

將三維空間的對(duì)象降到二維（或一維）空間中的對(duì)象，此種類比方法即為降維類比.

（2）結(jié)構(gòu)類比

某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物，但可通過觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類比問題，然后可通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q，將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決.

（3）簡(jiǎn)化類比

簡(jiǎn)化類比，就是將原命題類比到比原命題簡(jiǎn)單的類比命題，通過類比命題解決思路和方法的啟發(fā)，尋求原命題的解決思路與方法.比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等.

例3. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，則cos2 A+cos2 B=1. 試在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想.

【解析】如圖1，在Rt△ABC中，cos2 A+cos2 B=（ ）2 +（ ）2 = =1.

于是把結(jié)論類比到如圖2所示的四面體P-A′B′C′中，我們猜想，三棱錐P-A′B′C′中，若三個(gè)側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1.

【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：（1）找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；（2）找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等.

例4. 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am=a，an=b（n-m≥1，m，n∈N），則am+n= . 類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}（bn>0，n∈N），若bm=c，bn=d（n-m≥2，m，n∈N），則可以得到bm+n=________.

【解析】設(shè)數(shù)列{an}公差為d1，數(shù)列{bn}的公比為q，則等差數(shù)列中an=a1+（n-1）d1，等比數(shù)列中bn=b1qn-1，∵ am+n= ，∴ bm+n= .

例5. 如圖所示，定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)A，都有f（x）≥A成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界.（提示：圖3、圖4中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零.

（1）試判斷函數(shù)f（x）=x3+ 在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；

（2）具有圖所示特征的函數(shù)稱為在D上有上界，請(qǐng)你類比函數(shù)有下界的定義，給出函數(shù)f（x）在D上有上界的定義，并判斷（1）中的函數(shù)在（-∞，0）上是否有上界？并說明理由.

【解析】（1）∵ f′（x）=3x2- ，由f′（x）=0，得3x2- =0，x4 =16.

∵ x∈（0， +∞），∴ x=2.

∵當(dāng)0< x <2時(shí)，f′（x）<0，∴函數(shù)f（x）在（0，2）上是減函數(shù)；當(dāng)x > 2時(shí)，f′（x）>0，

∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù).

∴ x= 2是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值點(diǎn)， fmin（x） =f（2）=8+ =32.

于是，對(duì)任意x∈（0， +∞），都有f（x）≥32，即在區(qū)間（0，+∞）上，

存在常數(shù)A=32，使得對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥A成立.

所以，函數(shù)f（x）=x3+ 在（0，+∞）上有下界.

（2）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)B，都有f（x）≤B成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界.

設(shè)x<0，則-x>0， 由（1）知， 對(duì)任意x∈（0， +∞）， 都有f（x）≥32，∴ f（-x）≥32.

∵函數(shù)f（x）=x3+ 為奇函數(shù)，∴ f（-x）=-f（x），∴ -f（x）≥32，即f（x）≤-32.

即存在常數(shù)B=-32，對(duì)任意x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，

所以，函數(shù)f（x）=x3+ 在（-∞，0）上有上界.

【點(diǎn)評(píng)】本題以高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)有界性為命題素材，先給出一個(gè)定義，研究問題的結(jié)論，然后提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題. 數(shù)學(xué)中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識(shí)點(diǎn)，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構(gòu)”現(xiàn)象，立體幾何中的很多結(jié)論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進(jìn)行遷移. 我們復(fù)習(xí)時(shí)要注意研究知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，把握知識(shí)間的內(nèi)在規(guī)律，通過知識(shí)間的對(duì)比和類比，可以更好地掌握知識(shí)，提高解題能力.

例6. 設(shè)F1、F2分別為橢圓C： + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1， ）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q（0， ）是定點(diǎn)，求 |PQ| 的最大值；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值. 試對(duì)雙曲線 - =1（a>0，b>0）寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明.

【解析】（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2. 又點(diǎn)A（1， ）在橢圓上，∴ + =1，得b2=3，于是c2=1.

∴橢圓C的方程為 + =1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-1，0）， F2 （1，0）.

（2）設(shè)P（x，y），則 + =1，∴ x2=4- y2，

|PQ|2=x2+（y- ）2=4- y2+y2-y+ =- y2-y+ =- （y+ ）2+5.

又∵ - ≤y≤ ，∴當(dāng)y=- 時(shí)，|PQ|max= .

（3）類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線 - =1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.

下面給出證明：

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），其中 - =1.

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由KPM= ，KPN= ，得

KPM·KPN= · = ，

將y2= x2-b2，n2= m2-b2 代入，得KPM·KPN= （定值）.

三、演繹推理的求解策略

演繹推理的模式為：

三段論①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情況；③結(jié)論：根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.

應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的. 如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的.

例7. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1=1，an+1= Sn（n∈N+）. 證明：

（1）數(shù)列{ }是等比數(shù)列；

（2）Sn+1=4an.

【證明】（1）∵ an+1=Sn+1-Sn，an+1= Sn，

∴ （n+2）Sn=n（Sn+1-Sn），即nSn+1=2（n+1）Sn .

∴ =2· ，（小前提）

故{ }是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列.（結(jié)論）

（大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了）

（2）由（1）可知 =4· （n≥2），

∴ Sn+1=4（n+1） =4· Sn-1 =4an （n≥2）.（小前提）

又a2=3S1=3，S2=a1+a2=1+3=4=4a1，（小前提）

∴ 對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn+1=4an . （結(jié)論）

（第（2）問的大前提是第（1）問的結(jié)論以及題中的已知條件）

【點(diǎn)評(píng)】“三段論”式的演繹推理一定要保證大前提正確，且小前提是大前提的子集關(guān)系，這樣經(jīng)過正確推理，才能得出正確結(jié)論；常見易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)大前提“憑空想象、思維定勢(shì)、想當(dāng)然”，從而出錯(cuò)，或者小前提與大前提“不兼容”“不包容”“互補(bǔ)”而出錯(cuò).

例8. 下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是（ ）

A. 大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù)

B. 大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)

C. 大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)

D. 大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)

【解析】對(duì)于A，小前提與結(jié)論互換，錯(cuò)誤；對(duì)于B，符合演繹推理過程且結(jié)論正確；對(duì)于C和D，均為大前提錯(cuò)誤；故選B.

題組練習(xí)：

1. 觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cos x）′=-sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（-x）=（ ）

A. f（x） B. -f（x） C. g（x） D. -g（x）

2. 將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為（ ）

1

3 5 7

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31

… … …

A. 809 B. 852 C. 786 D. 893

3. 已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列： （1， 1）， （1， 2），（2， 1）， （1， 3）， （2， 2）， （3， 1）， （1， 4）， （2， 3）， （3， 2）， （4， 1），…，則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是（ ）

A.（7，5） B.（5，7） C.（2，10） D.（10，1）

4. 如圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn).那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M， N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（ ）

5. 一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn（n∈N？鄢），其中xk（k=1，2，…，n）稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：x4 ？茌 x5 ？茌 x6 ？茌 x7 =0x2 ？茌 x3 ？茌 x6 ？茌 x7 =0x1 ？茌 x3 ？茌 x5 ？茌 x7 =0，其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0. 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 老師帶甲乙丙丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下：

甲說：“我們四人都沒考好”；

乙說：“我們四人中有人考的好”；

丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；

丁說：“我沒考好”.

結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則四名學(xué)生中 兩人說對(duì)了.（ ）

A. 甲 丙 B. 乙 丁 C. 丙 丁 D. 乙 丙

7. 已知x∈（0， +∞），觀察下列各式：x+ ≥2，x+ = + + ≥3，x+ = + + + ≥4，…，類比得：x+ ≥n+1（n∈N？鄢），則a=___________.

8. 如圖所示是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，若共得到1023個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為 ，則最小正方形的邊長(zhǎng)為 .

9. 在平面幾何中：△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為 = . 把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中（如圖）DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是________.

10. 已知等差數(shù)列 {an} 中， 有 = ，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類似的結(jié)論：________.

11. 觀察下列不等式：

1+ < ，

1+ + < ，

1+ + + < ，

…

照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________________.

12. 已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，則數(shù)列bn= （n∈N*）也是等比數(shù)列”. 類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.

13. 已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊于A′，B′，C′，則 + + =1，這是一道平面幾何題，其證明常采用“面積法”.

+ + = + + = =1.

請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四面體A-BCD，存在什么類似的結(jié)論？并證明.

答案簡(jiǎn)析：

1. 【解析】由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f（x） 是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故 g（-x）=-g（x）.

2. 前20行共有正奇數(shù)1+3+5+…+39=202=400（個(gè)），則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是2×405-1=809.

3.【解析】依題意，把“整數(shù)對(duì)”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和均為n+1，且第n組共有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”，這樣的前n組一共有 個(gè)“整數(shù)對(duì)”，注意到 <60< ，因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組（每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組）的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為： （1， 11）， （2， 10），（3， 9）， （4， 8），（5， 7），…，因此第 60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是（5， 7）.

4. 如圖所示，MN，M′N′為小圓的直徑，在運(yùn)動(dòng)過程中，∠M′NN′恒為90°，兩個(gè)圓的連心線保持不變，故M，N只能在大圓相互垂直的兩條直徑上，故選A.

5. 【解析】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為0，不同數(shù)字運(yùn)算后為1，由x4 ？茌 x5 ？茌 x6 ？茌 x7 =0可判斷后4個(gè)數(shù)字出錯(cuò)；由x2 ？茌 x3 ？茌 x6 ？茌 x7 =0可判斷后2個(gè)數(shù)字沒錯(cuò)，即出錯(cuò)的是第4個(gè)或第5個(gè)；由x1 ？茌 x3 ？茌 x5 ？茌 x7 =0可判斷出錯(cuò)的是第5個(gè)，綜上，第5位發(fā)生碼元錯(cuò)誤.

6. 如果甲對(duì)，則丙、丁都對(duì)，與題意不符，故甲錯(cuò)，乙對(duì)，如果丙錯(cuò)，則丁錯(cuò)，因此只能是丙對(duì)，丁錯(cuò)，故選D.

7. 根據(jù)題意，對(duì)給出的等式變形可得：x+ ≥2，x+ ≥3，x+ ≥4，…類比有x+ ≥n+1，所以有a=nn.

8. 【解析】設(shè)1+2+4+…+2n-1=1023，即 =1023，解得n=10. 正方形邊長(zhǎng)構(gòu)成數(shù)列 ， （ ）2， （ ）3， …，（ ）10， 從而最小正方形的邊長(zhǎng)為（ ）10= .

9. 由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得 = .

10. 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30=b2b29=…=b11b20，∴

= .

11. 【解析】左邊的式子的通項(xiàng)是1+ + +…+ ，右邊的分母依次增加1，分子依次增加2，還可以發(fā)現(xiàn)右邊分母與左邊最后一項(xiàng)分母的關(guān)系，所以第五個(gè)不等式為1+ + + + + < .

12. 類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

則數(shù)列bn= （n∈N*）也是等差數(shù)列.

證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

則bn= = =a1+ （n-1），

所以數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列.

13. 在四面體A-BCD中，任取一點(diǎn)O，連接AO，DO，BO，CO并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于E，F(xiàn)，G，H點(diǎn).

則 + + + =1.

在四面體O-BCD與A-BCD中

= = = .

同理 = ， = ， = ，

∴ + + + =

= = =1.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)