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(侯集高級中學,江蘇 徐州 221121)

1 背景

2 試題解析

例1已知函數(shù)

的圖像恰好經(jīng)過3個象限，則實數(shù)a的取值范圍是______.

分析當a<0時，y=ax-1(其中x≤0)的圖像經(jīng)過第二和第三象限，而y=x3-ax+|x-2|>0在(0,+∞)上恒成立，從而圖像僅在第一象限，因此當a<0時顯然符合題意.當a≥0時，y=ax-1(其中x≤0)的圖像僅經(jīng)過第三象限，由題意y=x3-ax+|x-2|(其中x>0)的圖像需經(jīng)過第一和第四象限，等價于函數(shù)f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個零點.以下使用3種方法分別求解：

方法1函數(shù)最值法.

f(x)=x3-ax+|x-2|=

則

1)當0≤a≤1時，

a無解.

①當1

即可，解得2

②當11

于是y=x3-(a+1)x+2在(0,2)上單調(diào)遞減，y=x3-(a-1)x-2在[2,+∞)上單調(diào)遞增.要滿足題設(shè)，只需

f(x)min=f(2)=23-(a+1)×2+2<0

即可，解得11

③當a>13時，

即可，解得a>13.

綜上可得，a>2.

評注方法1是解決有解問題的最基本方法，其實質(zhì)就是討論函數(shù)極值點與分段函數(shù)的分界點的大小關(guān)系，從而確定函數(shù)的走勢，進而得到函數(shù)的最值.

方法2數(shù)形結(jié)合.

f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個零點，即方程x3-ax+|x-2|=0(其中x>0)有兩個解.問題可轉(zhuǎn)化為g(x)=x3+|x-2|與h(x)=ax在y軸的右側(cè)有兩個交點.

則

作出g(x)的圖像(如圖1),設(shè)切點為(x0,y0)，則

兩者聯(lián)立可解得x0=1,a=2，因此a>2.

評注該方法是將方程有兩個解的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像有交點的問題處理.這兩個函數(shù)的圖像一直一曲，即直線和曲線有兩個交點，因此先考查臨界狀態(tài)即相切的情況.這是利用導數(shù)的幾何意義解題，從過程上看，顯然比函數(shù)最值法有優(yōu)勢.

圖1 圖2

方法3分離參數(shù).

將方程x3-ax+|x-2|=0的兩邊同時除以x，方程變形為

得

可以求得h(x)min=2，容易作出h(x)的圖像(如圖2)，進而得到a>2.

評注解決恒成立、有解、零點的個數(shù)等問題，學生最喜歡的方法估計就是分離參數(shù)了.參變量分離后，函數(shù)不再“寄人籬下”，從含參中解放出來，成為了定函數(shù)，而參數(shù)成為了垂直于y軸的動直線，對于問題的解決，一目了然.

3 反思

本題考查的是函數(shù)的零點個數(shù)問題.此類問題是高中數(shù)學的常見題型，對于經(jīng)過了兩輪復習的高三學生而言，本應是比較容易入手的.教師拿到試卷后，幾乎一致認為：這是一道“熟題”，教師常講,學生常做，運用的是通性通法，至少也能答對一二百人吧,甚至有些教師擔心此題作為壓軸題可能會“壓不住”.但“理想很豐滿，現(xiàn)實很骨感”，考試結(jié)果讓人大跌眼鏡:很多學生反映在考場上大腦一片空白，不知從何下手；另外一些學生即便是想到了解題的方法也因為種種原因半途而廢.這讓筆者不禁思考：為什么教師辛苦地教，學生賣力地學，得分的考生卻寥寥可數(shù)，通法都去哪兒了？問題出在哪里？我們該如何解決？

1)通性通法的機械“植入”費時費力，放手給學生才是有效手段.

高中數(shù)學教學內(nèi)容多、任務(wù)重、時間緊,因此很多時候教師在課堂上舍不得給學生獨立思考解決問題的時間，而是滔滔不絕地一遍又一遍地講.有時學生甚至題目還未讀完，教師就開始頻頻“引導”；即便是思維比較活躍的學生在思考的過程中，也不斷被教師所謂的“啟發(fā)”所打斷.結(jié)果，一些通性通法被生硬地“植入”到學生的頭腦中，學生只能機械地解題，遇到新題、難題就抓耳撓腮，無所適從.

教學，既要教，也要學，更要教學生學.教是為學生創(chuàng)造條件，教是為了促進學，激發(fā)學，是為了加速學，但無論如何教不能代替學，沒有學則教無意義[1].富蘭克林曾說：告訴我，我會忘記；教給我，我可能記住；讓我參與，我才能學會.點燃學生思維的火花比灌輸給學生解題的方法更有效.比如在講解本題時，筆者先進行調(diào)查，讓學生大膽說出當時的想法以及思路遇到的障礙.“老師，我直接去絕對值討論的(函數(shù)最值法)，好像有點亂，搞暈了，沒做完”，“我用的數(shù)形結(jié)合，太緊張了，結(jié)果搞反了”，“我想到了分參，但也不怎么確定，沒敢做，時間也不太夠”，“我看到這一題時，大腦一片空白，好大一會沒有任何想法”，“對對對，我也是，什么法也想不到，根本沒有思路”……學生們求助的眼神告訴了筆者，他們急需聽到教師的講解，筆者沒有“心軟”，決定殘忍地“放手不管”.課堂上把時間還給學生，讓他們?nèi)プ灾魈骄?，并讓學生上臺展示，充分暴露學生的思維過程.即便是學生的板演出錯，教師也不是“一擦了之”，而是鼓勵學生大膽質(zhì)疑，大家共同研究出錯的原因，給出正解.其中部分學生思路中斷的做法也由學生合作完成“續(xù)集”，然后大家談感受、講收獲，最后總結(jié)解題經(jīng)驗、教訓.教師作為組織者的角色出現(xiàn)在課堂，當學生研究出現(xiàn)困難時，教師也僅僅是“友情客串”.在整堂課的研究過程中，學生的積極性被充分調(diào)動起來,課堂參與度高，這些通性通法、解題思想扎根于學生的腦海里，這樣的解題教學才是高效的.

2)淺層次的一題多練事倍功半，階梯式的探究方能修得正果.

章建躍曾說：在通性通法的解題教學中，要使學生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系出發(fā)思考和解決問題的習慣，這是發(fā)展學生思維能力的正道[2].如果學生不能很好地把握數(shù)學基本概念和思維，就很容易養(yǎng)成思維上的惰性.要使學生真正掌握數(shù)學本質(zhì)，熟悉通性通法，變式教學是一種行之有效的方法.但是所謂的“一題多變教學”很多僅停留在低層次的題?！吧稻殹鄙希瑑H局限于對試題模式識別層面上的求解，學生在考場上遇到此類雖似曾相識卻又較為復雜的問題時常無計可施.筆者認為階梯式的、遞進式的解題教學才是行之有效的，這需要教師引導學生經(jīng)常對問題進行深入挖掘.本題有這樣幾個“攔路虎”:含參、絕對值、分段函數(shù)，求解時需要涉及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論及數(shù)形結(jié)合等思想方法.如講解此題時，也可以先由一個容易題入手：

1)函數(shù)f(x)=x3-ax+x-2(其中x≥2)有兩個零點，則a的取值范圍是______；

2)函數(shù)f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個零點，則a的取值范圍是______；

這樣的教學設(shè)計層層遞進，可以達到潤物細無聲的效果.之后再輔之以必要的跟進訓練，學生就會感覺復雜題僅僅是增加了“豪華包裝”而已，難題并不難.如果層層剝繭揭開這些“豪華包裝”，那么此類問題就會迎刃而解.教學中學生思維的訓練深度決定了考場上的解題能力，只有平時引導學生多進行階梯式的研究性學習，才能提高學生創(chuàng)造性的解題能力，遇到新題難題能夠臨危不亂，冷靜分析，準確作答.